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文档简介

一、 第一讲1）设是正整数，计算。解：。2）设，证明数列极限都存在且相等。证明：1） 由单调有界准则可得，存在，设，则有 3）求极限。提示： 4）某短跑选手再一次百米赛跑时的成绩刚好是10秒，有人说此选手在比赛过程中的某个一秒钟内刚好跑了10米，这个说法正确吗?说明自己的理由。提示：设时间为，为从秒到秒所跑的路程，则函数是连续函数。5）设在闭区间上连续，并有数列，使得，证明存在一点使得。提示：如果不存在一点使得，则有，或者。（零点定理）无妨设，设，则在闭区间上连续，在闭区间上有 这与在闭区间有界矛盾。二、 第二讲1）求函数的阶导数。提示：注意利用第二讲例2的办法。2）设在上有阶导数，且，证明：存在，使得。提示：对函数在上运用罗尔中值定理。3）设在上有二阶导数，且存在使得证明：存在，使得。提示：对分别在上运用拉格朗日中值定理，得到使得，再对在上运用拉格朗日中值定理即得所证结论。4）设在区间上三次可微，证明：存在，使得 提示：利用泰勒公式：可得 最后利用达布定理可得所证结论。5）设函数在上是导数连续的有界函数，证明： 提示：因为 三、 第三讲1）计算提示：2）设是上的连续函数，证明： 提示：设为正方形 3）设连续，且，其中为，求。提示：利用柱面坐标定限再利用洛比达法则即可。4）设函数具有二阶连续的导数，且，试确定函数，使，其中是任意一条不与相交的简单正向闭曲线。提示：利用曲线积分与路径无关的条件可得 设，则有，解此微分方程可得结果。5）计算，其中为曲面的外侧提示：利用高斯公式再用换元法，设四、 第四讲1）证明级数收敛并求其和。提示：利用斯托尔茨求极限方法，和为1。2）设是单调增加的正数列，证明：级数收敛的充分必要条件是有界。提示：设若有界，设，所以级数收敛；若级数收敛，由柯西收敛准则，对任意的正整数有，因此对于取定的，存在正整数，当时有特别的有，取，则有。3）计算。提示：，4）求级数的和。提示：考虑级数利用逐项求导求其和函数。5）证明：当且仅当存在常数，使得对所有大于某个的，都有 时，函数才是有理函数。提示：如果函数是有理函数，设 则有，比较系数可得，当时有 反之
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