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文档简介

P.168 习题1验证数集有且只有两个聚点和解 当取奇数时,中的互异子列,所以是的聚点;当取偶数时,中的互异子列,所以是的聚点.设实数,. 取,因为子列和子列的极限都不是,所以在邻域内最多只有子列及子列中的有限多项,从而只有数集中的有限多项,所以不是数集的聚点.2证明:任何有限数集都没有聚点. 证明 设有限数集. 由聚点的定义,在的任何邻域内都含有中无穷多个点,而只有有限个点,所以没有聚点.3设是一个严格开区间套,即满足且. 证明:存在唯一的一点,使得证明 为严格递增有界数列,故有极限,且有,.其中等号不能成立,不然,若有,因为严格递增,必有,矛盾.故,.同理,严格递减有界数列也有极限,且,.唯一性的证明与教材P.162区间套定理7.1相同.4试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.解 设,则是单调递增的有理数列,是单调递减的有理数列,且(无理数)(1)点集非空有上界,但在有理数集内无上确界;点集非空有下界,但在有理数集内无下确界.(2)数列单调递增有上界,但在有理数集内无极限;单调递减有下界,但在有理数集内无极限.(3)是有界无限点集,但在有理数集内无聚点.(4)数列满足柯西收敛准则条件,但在有理数集内没有极限.(5)是一闭区间套,但在有理数集内不存在一点,使得,5设.问(1)H能否覆盖(0, 1)?(2)能否从H中选出有限个开区间覆盖 (i) ,(ii) ?解 (1)H能覆盖(0, 1).因为对任何,必有自然数,使得(2)不能从H中选出有限个开区间覆盖.因对H中任意有限个开区间,设其左端点最小的为,则当时,这有限个开区间就不能覆盖.能从H中选出有限个开区间覆盖.例如选区间:,即可.6证明:闭区间的全体聚点的集合是本身.证明 设,则对任何,故为的聚点.反之,若为的聚点,则必有.事实上,若,则或.不妨设,取,那么,这与为的聚点矛盾.7设为单调数列. 证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.证明 设为单调增加数列,为的聚点.先证是唯一的.假设也是的聚点,不妨设.取,由聚点的定义,在的邻域内有中无穷多个点,设.因为为单调增加数列,所以当时,.于是在的邻域内最多只有中有限多个点:. 这与为的聚点相矛盾.故为的唯一聚点.其次证明:为的上确界.先证是的一个上界.假设不是的一个上界,于是存在.这时取,则在的邻域内最多只有中有限多个点:,这与为的聚点相矛盾.然后证明:是的最小上界.,在的邻域内有中无限多个点,设,从而.所以.8试用有限覆盖定理证明聚点定理.证明 设为实轴上有界无限点集,则存在,使. 假若中任何点都不是的聚点,则,必存在相应的,使得在内最多只含的有限个点.设,则H是的一个开覆盖,由有限覆盖定理,H中存在有限个开区间:,覆盖了,当然也覆盖了,由于在每一个内最多只含的有限个点,故为有限点集,这与为无限点集矛盾.所以中必有的聚点.9试用聚点定理证明柯西收敛准则.证明 只证充分性:设,要证数列收敛.先证数列有界.取,存在,当时,有,于是. 令,则,所以数列有界.其次证明数列有收敛的子列.若集是有限集,则数列有常数子列,当然收敛.若集是无限集,并且已经证明了是有界的,故由聚点定理,知有聚点,设的聚点为. 再由聚点定义2(见教材P.163),存在互异的收敛数列,使得. 最后证明:. 由题设,. 再由, 知, , . 现在,取, 当时,有(任取), . 所以P.172 习题1设为R上连续的周期函数. 证明:在R上有最大值与最小值.证明 设的周期为T,则在0, T上连续,于是在0, T上有最大值与最小值.又因为为R上连续的周期函数,所以在R上有最大值与最小值.2设I为有限区间.证明:若在I上一致连续,则在I上有界. 举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立.证 设区间I的左右端点分别为,因在I上一致连续,所以对,存在(),使得当,且时,有. 令,则在上连续,于是在上有界,即存在,使得在上. 另一方面,当时,有,于是,;同样当时,有.令,则对任何,都有.设,则在上一致连续,但在上无界.3证明:在上一致连续.证明 因为,所以,当时,有. 又因为,所以,当时,有. 令,显然在连续,于是在一致连续,从而,当且时,有. 现在取,当且时,则必有以下三种情形之一发生:或者或者若,由式,有若,由式,有若,由式,有. 所以在上一致连续.4试用有限覆盖定理证明根的存在定理.证 设在连续,. 由连续函数的局部保号性,存在,使得在内,在内. 假设对任何,都有,则由连续函数的局部保号性,存在的某邻域,使得在此邻域内且的符号与的符号相同. 集合族是的一个开覆盖,由有限覆盖定理,存在的一个有限子集覆盖了. 将中的邻域分成两部分:使的邻域记为,使的邻域记为. 的所有开区间中右端点最大的区间记为,令这个最大的右端点. 因为在内,所以,即. 因为覆盖了,所以存在中的一个区间,使得. 由于是的所有开区间右端点中最大的,故区间不属于而属于,从而,有. 因为区间的右端点属于区间,所以区间必与区间相交,那么在这两个区间相交的公共部分内既大于零,又小于零,矛盾.5证明:在上的连续函数为一致连续的充要条件是与都存在.证 (必要性)设在上一致连续,故,当且时,成立. 于是当,时,必有,从而. 由Cauchy收敛准则,可知存在,同理可证存在.(充分性)补充定义,则在连续,于是在一致连续,从而在一致连续.P.175 习题1求以下数列的上、下极限:(1) (2)(3) (4)(5) (6)解 (1)数列的收敛子列的极限只有两个,分别为:2,0,故其上极限为2,下极限为0.(2)数列的收敛子列的极限只有两个,分别为:,故其上极限为,下极限为(3)数列是正无穷大量,故其上极限、下极限都为(4)数列的收敛子列的极限只有五个,分别为:-2,0,2,故其上极限为2,下极限为-2(5)因为,故其上极限、下极限都为(6)因为只取两个值:,1,所以,于是,当时,有 ,从而,故其上极限、下极限都为1.2设,为有界数列,证明: 证 由定理7.9, 证 设,由定理7.7,对任给的,存在,当时,有,于是. 再由定理7.8得,. 由的任意性得. 若,(),则,证 设,由定理7.7,对任给的,存在,当时,有,于是. 再由定理7.8得,. 由的任意性得.同理可证: 若,则证 设,由定理7.7,对任给的,存在,当时,有. 于是,从而,由的任意性得.设,由定理7.7,对任给的(),存在,当时,有. 于是,从而,由的任意性得,即.所以.3证明:若为递增数列,则.证 若为递增无上界数列,则. 因为,所以也有.若为递增有上界数列,则极限存在,且. 又因为是递增数列,所以对任何正整数,有,从而.4证明:若()且,则数列收敛.证 总练习题1证明:为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.证 (必要性)设为有界数列,则的任一子列都为有界数列,由致密性定理,知其存在收敛子列.(充分性)反证法. 假设无界,则对任何正整数,存在数列中的某项,使得(),于是,从而子列不存在收敛子列.2设在内连续,且. 证明:在内有最大值或最小值.证 令,则在上连续,于是在上取得最大值和最小值. 若,则在上为常数0,从而在内为常数0,所以在内的最大值和最小值都为0.若,则因,使得最大值与最小值至少有一个在内取得,从而在内有最大值或最小值.3设在上连续,又有,使. 证明:存在,使.证 因,故有界,由致密性定理,知其存在收敛子列. 设,因为在上连续,所以4设函数和都在区间上一致连续. 若为有限区间,证明在上一致连续;证 因为和都在区间上一致连续,所以和都在区间上有界(P.172习题2),于是存在,使得对任何有,. 由一致连续的定义,使得,只要,就有,. 从而有所以在上一致连续. 若为无限区间,举例说明在上不一定一致连续.证 设,则和都在区间上一致连续,但在区间上不一致连续.5设定义在上. 证明:若对内任一收敛数列,极限都存在,则在上一致连续.证 反证法. 假设在上不一致连续,则存在,对(),存在相应的两点,尽管,但有. 于是得数列与,由致密性定理,存在的收敛子列,设. 同时由,得(),又有. 作数列:则,由,知极限不存在,这与题设矛盾.6设函数在上连续,且有斜渐近线,即有数与,使得证明在上一致连续.证 因,由函数极限的柯西准则,使得当时,就有

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