三、导数及其应用1(选修2-2).doc

1 三 导数及其应用 选修三 导数及其应用 选修 2 22 2 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 导数导数 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数理数 1010 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的三角 形的面积为 18 则a A A 64 B 32 C 16 D 8 命题意图命题意图 本试题主要考查求导法则 导数的几何意义 切线的求法和三角形的面积公 式 考查考生的计算能力 解析解析 33 22 11 22 yxka 切线方程是 13 22 1 2 yaaxa 令0 x 1 2 3 2 ya 令0y 3xa 三角形的面积是 1 2 13 318 22 saa 解得64a 2 2 20102010 辽宁文数辽宁文数 1212 已知点P在曲线 4 1 x y e 上 为曲线在点P处的切线的倾斜 角 则 的取值范围是 D A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 解析 解析 选 D 2 44 1 21 2 x xx x x e y ee e e 1 2 10 x x ey e 即1tan0 3 4 3 3 20102010 辽宁理数辽宁理数 1010 已知点 P 在曲线 y 4 1 x e 上 a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角 则 a 的取值范围是 D A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 命题立意命题立意 本题考查了导数的几何意义 求导运算以及三角函数的知识 解析解析 因为 2 44 1 1 2 x xxx e y eee 即 tan a 1 所以 3 4 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数文数 7 7 若曲线 2 yxaxb 在点 0 b处的切线方程是10 xy 则 A 2 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 解析解析 本题考查了导数的几何意义及过曲线上一点处的切线方程的求法 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切线 10 xy 1b 5 5 20102010 江西理数江西理数 1212 如图 一个正五角星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水面 记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 00S tS 则导函数 yS t 的图像 大致为 A 解析 本题考查函数图像 导数图 导数的实际意义等知识 重点考查的是对数学的探 究能力和应用能力 最初零时刻和最后终点时刻没有变化 导数取零 排除 C 总面积一 直保持增加 没有负的改变量 排除 B 考察 A D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑 考虑到导数的意义 判断此时面积改变为突变 产生中断 选择 A 6 6 设R R 函数a 1 0 1 0 ax xf x x xax 当 a 2 时 试确定函数的单调区间 f x 若对任何R R 且 都有 求 a 的取值范围 x 0 x 1f xx 解 当时 0 x 1 2f x x 因为 所以在上为增函数 0 1 2 x xf f x 0 当时 0 x 2 1f xx x 由 解得 由 解得 31 2 fxx x 0fx 2 3 x 0fx 2 0 3 x 1f xx 11x xax axx 设 则 h xxx 2 11 24 h xxxx 所以当 即时 有最小值 1 2 x 1 4 x h x 1 4 因为对任何 不等式恒成立 所以 0 x axx 1 4 a 综上 实数的取值范围为 a 1 3 4 a 7 7 20102010 浙江理数浙江理数 2222 已知a是给定的实常数 设函数 22 f xxaxb e bR xa 是 f x的一个极大值点 求b的取值范围 设 123 x x x是 f x的 3 个极值点 问是否存在实数b 可找到 4 xR 使得 1234 x x x x的某种排列 1234 iiii xxxx 其中 1234 i i i i 1 2 3 4 依次成等差数列 若存 在 求所有的b及相应的 4 x 若不存在 说明理由 解析 解析 本题主要考查函数极值的概念 导数运算法则 导数应用及等差数列等基础知识 同时考查推理论证能力 分类讨论等综合解题能力和创新意识 解解 f x ex x a 2 3 2 xab xbaba 令 2 22 3 2 3 a b 4 2 1 80 g xxab xbaba babaab 则 4 于是 假设 1212 0 x xg xxx 是的两个实根 且 1 当 x1 a 或 x2 a 时 则 x a 不是 f x 的极值点 此时不合题意 2 当 x1 a 且 x2 a 时 由于 x a 是 f x 的极大值点 故 x1 a0 由已知得 x alnx 1 2 x a x 解德 a 2 e x e2 两条曲线交点的坐标为 e2 e 切线的斜率为 k f e2 1 2e 切线的方程为 y e 1 2e x e2 2 由条件知 当 a 0 时 令 h x 0 解得 x 2 4a 8 所以当 0 x 2 4a时 h x 2 4a时 h x 0 h x 在 0 2 4a 上递增 所以 x 2 4a是 h x 在 0 上的唯一极致点 且是极小值点 从而也是 h x 的最 小值点 所以 a h 2 4a 2a aln 2 4a 2 当 a 0 时 h x 1 2 2a 2x 0 h x 在 0 递增 无最小值 故 h x 的最小值 a 的解析式为 2a 1 ln2a a o 3 由 2 知 a 2a 1 ln2a 则 1 a 2ln2a 令 1 a 0 解得 a 1 2 当 0 a0 所以 a 在 0 1 2 上递增 当 a 1 2 时 1 a 0 为单调递增区 间 最大值在右端点取到 max 1 1 2 ffa 14 14 20102010 安徽文数安徽文数 2020 sincos1f xxxx 0 2 x 求函数 f x的单调区间与极值 命题意图命题意图 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值的方法 考查综合 应用数学知识解决问题的能力 解题指导解题指导 1 对函数 sincos1f xxxx 求导 对导函数用辅助角公式变形 利用导数等于 0 得极值点 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负 判断区间的单 调性 求极值 12 4 23 0 422 xx xxxx xx 解 由f x si nx cosx x 1 0 x 2 知fsi n 令f 从面si n 得 或 当变化时 f f x 变化情况如下表 3 2 2 333 2 222 因此 由上表知f x 的单调递增区间是 0 与 单调递增区间是 极小值为f 极大值为f 12 思维总结思维总结 对于函数解答题 一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值 利用导数 为 0 得可能的极值点 通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性 进而得出极值 点 15 15 20102010 重庆文数重庆文数 1919 已知函数 32 f xaxxbx 其中常数 a b R g xf xfx 是奇函数 求 f x的表达式 讨论 g x的单调性 并求 g x在区间 1 2 上的最大值和最小值 16 16 20102010 浙江文数浙江文数 2121 已知函数 2 f xxa a b a bR a 0 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 若在区间 1 1 2 2 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析解析 本小题主要考查曲线的切线方程 利用导数研究函数的单调性与极值 解不等式 等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 解 解 当 a 1 时 f x 32 3 xx1 2 f 2 3 f x 2 33xx f 2 6 所 以曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即 y 6x 9 解 解 f x 2 333 1 axxx ax 令 f x 0 解得 x 0 或 x 1 a 17 以下分两种情况讨论 1 若 11 0a2 a2 则 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 2 0 f x 0 f x A 极大值A 当 1 1 xfx 2 2 时 0等价于 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a2 则 11 0 a2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 极大值A极小值A 当 1 1 x 2 2 时 f x 0 等价于 1 f 2 1 f 0 a 0 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式组得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a1 时 2x 2 0 从而 2x 2 e10 0 F x e 又所以 x 0 从而函数 F x 在 1 是增函数 又 F 1 1 1 ee0 所以x 1时 有F x F 1 0 即 f x g x 证明 1 若 121212 1 1 0 1 xxxxxx 12 由 及f xf x则与矛盾 2 若 121212 1 1 0 xxxxxx 12 由 及f xf x得与矛盾 根据 1 2 得 1212 1 1 0 1 1 xxxx 不妨设 由 可知 2 f x 2 g x 则 2 g x 2 f 2 x 所以 2 f x 2 f 2 x 从而 1 f x 2 f 2 x 因为 2 1x 所以 2 21x 又由 可知函数 f x 在区间 1 内事增函数 所以 1 x 2 2x 即 12 xx 2 19 22 22 20102010 福建文数福建文数 2222 已知函数 f x 32 1 3 xxaxb 的图像在点 P 0 f 0 处的 切线方程为 y 3x 2 求实数 a b 的值 设 g x f x 1 m x 是 2 上的增函数 i 求实数 m 的最大值 ii 当 m 取最大值时 是否存在点 Q 使得过点 Q 的直线若能与曲线 y g x 围成两个封 闭图形 则这两个封闭图形的面积总相等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 20 21 23 23 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数理数 2020 已知函数 1 ln1f xxxx 若 2 1xfxxax 求a的取值范围 证明 1 0 xf x 24 24 20102010 湖北文数湖北文数 2121 设函数 32 1a xxbxc 32 f x 其中 a 0 曲线 xyf 在点 P 0 0f 处的切线方程为 y 1 确定 b c 的值 设曲线xyf 在点 11 xxf 及 22 xxf 处的切线都过点 0 2 证明 当 12 xx 时 12 fxfx 若过点 0 2 可作曲线xyf 的三条不同切线 求 a 的取值范围 22 25 25 20102010 湖北文数湖北文数 1919 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a 单位 m2 其中 有部分旧住房需要拆除 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10 建设新住房 同事也拆除面积为 b 单位 m2 的旧住房 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30 则每年 拆除的旧住房面积 b 是多少 计算时取 1 15 1 6 26 26 20102010 山东理数山东理数 2222 已知函数 1 ln1 a f xxax x aR 当 1 2 a 时 讨论 f x的单调性 设 2 24 g xxbx 当 1 4 a 时 若对任意 1 0 2 x 存在 2 1 2x 使 12 f xg x 求实数b取值范围 23 当 1 4 a 时 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 2 上是增函数 所以对任意 1 0 2 x 有 1 1 f x f 1 2 又已知存在 2 1 2x 使 12 f xg x 所以 2 1 2 g x 2 1 2x 即存在 1 2x 使 2 1 24 2 g xxbx 即 2 9 2 2 bxx 即 9 2 2bx x 11 17 24 所以 11 2 2 b 解得 11 4 b 即实数b取值范围是 11 4 命题意图 本题将导数 二次函数 不等式知识有机的结合在一起 考查了利用导数研 24 究函数的单调性 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题 考查了同学们分类讨 论的数学思想以及解不等式的能力 考查了学生综合运用所学知识分析问题 解决问题的 能力 1 直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性 2 利用导数求出 f x的最小值 利用二次函数知识或分离常数法求出 g x在闭区间 1 2 上的最大值 然后解不等式求参 数 27 27 20102010 湖南理数湖南理数 2020 已知函数 2 f xxbxc b cR 对任意的xR 恒有 fx f x 证明 当0 x 时 2 f xxc 若对满足题设条件的任意 b c 不等式 22 f cf bM cb 恒成立 求 M 的最小值 解析 解析 25 28 28 20102010 湖北理数湖北理数 1717 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙 需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年的能源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度 x 单位 cm 满足 关系 C x 010 35 k x x 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 求 k 的值及 f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x 达到最小 并求最小值 26 29 29 20102010 福建理数福建理数 2020 已知函数 3 x x xf 其图象记为曲线C i 求函数 x f的单调区间 ii 证明 若对于任意非零实数 1 x 曲线 C 与其在点 111 P x f x 处的切线交于另一点 222 P x f x 曲线 C 与其在点 222 P x f x 处的切线交于另一点 333 P x f x 线段 1 122312 2 PP P P S S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S则为定值 对于一般的三次函数 32 g x ax bx cx d a0 请给出类似于 ii 的正 确命题 并予以证明 命题意图命题意图 本小题主要考查函数 导数 定积分等基础知识 考查抽象概括能力 运算 求解能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 特殊 与一般思想 解析解析 i 由 3 x x xf得 2 x 3x 1f 33 3 x x 33 当 3 x 3 和 3 3 时 x 0 f 当