《线性代数》练习题参考答案.doc

线性代数练习题一参考答案一、填空题1 2 03. 4. 85. 相关 6. 7. 8. 或9. 1 10. 11. 12. 13. 相(关) 14. 15. 0二、单项选择题1. C 2. C 3. B 4. C 5. A6. D 7. D 8. A 9. A 10. C11. A 12. B三、证明题1如果向量组线性无关，证明：向量组 线性无关。证明：设整理得由于向量组是线性无关的，所以有：解得所以向量组 是线性无关的。2. 设向量组是线性无关的，且，证明：向量组也是线性无关的。证明：设，则有整理，得因为线性无关，所以该齐次线性方程组只有零解，即，所以线性无关。3. 设，是非齐次方程组的解，的具体表达式是其中，为常数。证明：是齐次方程组的通解，其中是任意常数。证明：将，代入中，解得，则方程组为其系数矩阵的秩为2，于是其导出组的基础解系中所含向量个数为。显然，是的解，且是线性无关的，因此，是的基础解系，所以的通解为其中是任意常数。4设矩阵非奇异，证明：。证明：因为矩阵是非奇异的，所以是可逆的，而，即存在可逆矩阵，使得，所以。四、计算题1给定向量组：，求：(1) 向量组的秩；(2) 该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。解：对进行初等行变换，得，则(1) 向量组的秩为3； (2) 该向量组的一个极大无关组为，且2. 给定向量组，求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大无关组；(3)将其余向量用极大无关组线性表示。解：，则向量组的秩为3，为极大无关组，。3. 求向量组的一个极大无关组，并将其余的向量用此极大无关组线性表示。解：对矩阵进行初等行变换，得则是该向量组的一个极大无关组，且有4给定向量组：，求：(1) 向量组的秩；(2) 该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。解：对进行初等行变换，得则：(1) 向量组的秩为2；(2) 该向量组的一个极大无关组为，且有，5. 设4阶方阵，其中均为4维向量，且行列式，求行列式。解：由行列式的性质，有 6. 设线性相关，线性无关，问：（1）可以用线性表示吗？为什么？（2）可以由线性表示吗？为什么？解：(1) 因为线性无关，所以也是线性无关的，又线性相关，故可由线性表示。(2) 假设可由线性表示，设为由(1) 知，可由线性表示，设为，将其代入上式中，得则是线性无关的，由题设矛盾，所以不能由线性表示。7. 设，求可逆矩阵，使得，其中为对角矩阵。解：解特征方程：从而得矩阵的全部特征值：对于，解齐次线性方程组，得其全部特征向量为(不全为零)。 对于，解齐次线性方程组，得其全部特征向量为(不为零)。 令，则有。8. 给定矩阵，如果能与对角矩阵相似，请求出相似对角矩阵及可逆矩阵。解：，所以的全部特征值为，对于，解齐次线性方程组，其基础解系为。 对于，解齐次线性方程组，其基础解系为。对于，解齐次线性方程组，其基础解系为。 ，满足。9. 设，求的特征值与特征向量。解：的特征方程为则的全部特征值为，。对于，解齐次线性方程组，得基础解系，则属于特征值的全部特征向量为，其中是不为零的常数。对于，解齐次线性方程组，得基础解系，则属于特征值的全部特征向量为，其中是不为零的常数。10. 求矩阵的特征值及相应的特征向量。解：解特征方程得其全部特征值：，对应特征值，解齐次线性方程组，得其对应的全部特征向量为，其中，是不全为零的任意实数。对应特征值，解齐次线性方程组，得其对应的全部特征向量为，其中是不为零的任意实数。11. 已知是矩阵的一个特征向量， (1) 试确定参数，的值； (2) 特征向量所对应的特征值。解：设特征向量所对应的特征值为，则有，即=计算，得从而，得方程组解得12. 给定线性方程组问：在什么范围内取值时，方程组有解？若解为无穷多个，写出其通解。解：对方程级的增广矩阵施以初等行变换，有则当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多组解，此时，有可得原方程组的特解为，其导出组的基础解系为，所以原方程组的通解为，其中为任意常数。13. 当，为何值时，方程组 无解；有唯一解；有无穷多解。解：当时，有唯一解；当且时，有无穷多解；当且时，无解。14. 用基础解系表示线性方程组：的全部解。解：对其增广矩阵进行初等行变换，得其对应的同解方程组为其一般解为令，得方程组的一个特解，为方程组的导出组所对应的一般解为令，得，令，得，从而，方程组的全部解为+其中，为任意的实数。15. 用基础解系表示线性方程组 的全部解。解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换，有所以方程组有无穷多解，其一般解为令，得特解，其导出组的一般解为令，得，则原方程组的全部解为，为任意常数。线性代数练习题二答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 127. 0 8. 9. 10. 二、单项选择题1. B 2. A 3. A 4. D 5. B6. B 7. C 8. D 9. B 10. C三、证明题1. 对于任一矩阵，证明：及都是对称矩阵。证明：因为所以及都是对称矩阵。2. 设为实对称矩阵，证明：的充分必要条件是。证明：显然，若，则有。若，设，因为为