不等式证明专题教师版(高二).doc

戴氏教育2010年暑假 高二数学 实验班 第五讲 2010年8月6日第五讲 不等式证明专题一比较法1若、为实数，求证：变式:已知，求证：证明：解法一 （当时取等号）解法二： 把三式相加得 作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.2,已知a，bR+，求证aabbabba证明：a，bR+，abba0综上所述，当a0，b0，必有aabbabba变式:设，求证：（）小结:商值比较法的理论依据是：二综合法3,已知a、b、c是不全等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc【分析】 采用综合法证明，利用性质a2+b22ab证明：b2+c22bc，a0，a(b2+c2)2abc同理b(c2+a2)2abc c(a2+b2)2abc a，b，c不全相等，中至少有一个式子不能取“=”号+，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc变式:已知a，b，cR+，求证：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc；【分析】 用综合法证明，注意构造定理所需条件证明：(1)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)16abc因此，当a，b，cR+，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc【说明】用均值定理证明不等式时，一要注意定理适用的条件，二要为运用定理对式子作适当变形，把式子分成若干分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘 综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。三分析法4,ac，bc，a+b2c，(*)式成立原不等式成立用充分条件代替前面的不等式变式:若a、b、c是不全相等的正数，求证：证明二：(综合法)a，b，cR+，abc成立上式两边同取常用对数，得小结:分析法和综合法是对立统一的两个方面在证法一中，前面是分析法，后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推四,反证法5,已知：a，b，c都是小于1的正数；【分析】对题中“至少a，b，c都是小于1的正数，故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确小结:反证法证明其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法五,换元法6变式:六,判别式法7,已知x，y，zR，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，证明：x，y，z0，证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(1xy)2=，整理成关于y的一元二次方程得：2y22(1x)y+2x22x+=0，yR，故04(1x)242(2x22x+)0，得0x，x0，同理可得y，z0，证法二：设x=+x，y=+y，z=+z，则x+y+z=0，于是=(+x)2+(+y)2+(+z)2=+x2+y2+z2+ (x+y+z)=+x2+y2+z2+x2+=+x2故x2，x，x0，同理y，z0，证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x0，则x20，=x2+y2+z2x2+，矛盾.x、y、z三数中若有最大者大于，不妨设x，则=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+=x(x)+；矛盾.故x、y、z0，七,放缩法8,证明不等式(nN*)对任意kN*，都有：变式 求证：放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）；利用基本不等式，如： ；利用常用结论：； ； （程度大） ； （程度小）八.综合提高9,已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证： (4)a2+b2+c2 (5)6证(4)证法一：a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)=3a2+3b2+3c2(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2证法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2证法三：a2+b2+c2a2+b2+c2证法四：设a=+，b=+，c=+.a+b+c=1，+=0a2+b2+c2=(+)2+(+)2+(+)2=+ (+)+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2原不等式成立.证法二：6原不等式成立.四个重要不等式的运用11.已知a，bR，且a+b=1. 求证：. 证一：（比较法） 即（当且仅当时，取等号）.证法二：（分析法） 因为显然成立，所以原不等式成立. 点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）.证法四：（反证法）假设，则 .由a+b=1，得，于是有.所以，这与矛盾.所以.证法五：（放缩法） 左边右边. 点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式.证法六：（均