九年级数学第一章证明(二).doc

第一章 证明(二)总课时： 11 课时 使用人：1.1、 你能证明它们吗(一)学情分析: 在八年级下册第六章证明（一），学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。教学目标：1、知识与技能了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2、过程与方法经历“探索发现猜想证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。3、情感态度与价值观 进一步对学生进行事物是普片联系的辩证观点的教育教学重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。教学教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程一、课前复习：（学生完成5分钟）1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？二、导入新课：（学生探究得出证明过程10分钟）在证明（一）一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。同学们和我一起来回忆上学期学过的公理w 本套教材选用如下命题作为公理 :w 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; w 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）w 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）w 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）w 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）证明过程：已知：A=D,B=E,BC=EF求证：ABCDEF证明：A=D,B=E（已知）A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180）C=180-(A+B)F=180-(D+E)C=F（等量代换）BC=EF（已知）ABCDEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。三、新课教学（学生通过折纸分析出辅助线的引法并总结出结论10分钟）1、 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。定理：等腰三角形的两个底角相等。这一定理可以简单叙述为：等边对等角。已知：如图，在ABC中，ABAC。求证： BC证明：取BC的中点D，连接AD。ABAC，BDCD，ADAD，ABCACD (SSS)B=C (全等三角形的对应边角相等)2、想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。四、知识巩固（学生独立完成10分钟）做教科书第4页第1，2题。六、课堂小结：（师生共同总结5分钟）通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。七、课外作业：A组：创新设计第一课时B组：教科书第5页第1-4题。C组： 教科书第5页第1，2题。板书设计：1.1、你能证明它们吗(一)公理：SAS ASA SSS 推论：AAS 三线合一 对应相等的两个三角形全等。（AAS）教学反思：本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 “探索发现猜想证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果第一章 证明(二)总课时：11 课时 使用人：1.2、 你能证明它们吗(二)学情分析:在八年级下册第六章证明（一），学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。教学目标：1、知识与技能掌握证明的基本步骤和书写格式，结合实例体会反证法的含义。2、过程与方法经历“探索发现猜想证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。3、情感态度与价值观 进一步对学生进行事物是普片联系的辩证观点的教育教学重点等腰三角形的关性质定理和判定定理。教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟）让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。二、导入新课：（师生共同探究8分钟）1、 例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等已知：在ABC中，AB=AC, BD,CE是ABC的角平分线求证：BD=CE证法1：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)1=ABC，2=ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)三、新课教学（小组合作探究20分钟）（一）议一议：1、在ABC中，AB=AC,（1）若ABD= ABC, ACE=ACB, 当k=,时,BD是否与CE相等。引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。（2）当AD=AC,AE=AB,k=,时，引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。(3)引导学生进一步推广，把上面题中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?要求学生说明理由或给出证明。2、在ABC中，B=C,要想证明AB=AC,有哪些方法？试证明。定理：有两角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边（二）想一想：问题：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?如果成立，能否证明。小明是这样想的：在ABC中，已知BC,此时AB与AC要么相等，要么不相等。假设AB=AC,可得B=C,这与已知条件“BC”相矛盾，因此，ABAC你能理解他的做法吗？先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法四：知识巩固（学生独立完成8分钟） 五：课堂小结（学生口述2分钟 ）本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义六：布置作业：A组：P9页 1-5B组：P9页 1、2、3C组：P9页 1、2、1.1、你能证明它们吗(二)例1定理反证法板书设计：教学反思：本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。第一章 证明(二)总课时： 11 课时 使用人：1.3、 你能证明它们吗(三)学情分析:在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。教学目标：1、知识与技能掌握证明的基本步骤和书写格式。2、过程与方法经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。3、情感态度与价值观 进一步对学生进行事物是普遍联系的辩证观点的教育教学重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理教学难点：能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程：一、课前复习：（学生口答3分钟 ）引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。二、导入新课：（学生探究10分钟 ）你认为有一个角等于60 0的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？定理：一个角等于60的等腰三角形是等边三角形三：新课教学（ 学生拼图得出结论然后证明17分钟）1让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：能拼成一个怎样的三角形?能否拼出一个等边三角形?并说明理由。 2肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：在直角三角形中，30所对的直角边与斜边有怎样的大小关系? 证明：在ABC中，ACB=900A=300,则B=600 延长BC至D，使CD=BC,连接ADACB=900ACD=900AC=ACABCADC(SAS)ABD是等边三角形BC=0.5BD=0.5AB定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于300,，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。4在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高CD的长.分析：观察图形可以发现在RtADC中，AC=2a而DAC是ABC的一个外角，而DAC=15=30，根据在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15DAC=ABC+ACB=15+15=30CD=AC=2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半)四、知识巩固：（学生独立完成8分钟 ）P13随堂练习五、课堂小结(学生口述2分钟 ）通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？六、布置作业：A组：P13页 1-5B组：P13页 1、2、3C组：P13页 1、2板书设计：1.1、你能证明它们吗(三)有一个角等于60的等腰三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，是等边三角形。 那么它所对的直角边等于斜边的一半。教学反思：本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30”和“直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果。第一章 证明(二)总课时： 11 课时 执笔人：徐丛海 金哲云 使用人：1.2直角三角形（一）学情分析: 直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此教科书将其两种证明方法放在“读一读中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的教学目标：1、知识与技能（1）经历和了解勾股定理及逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性.（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立2、过程与方法经历“探索发现猜想证明”的过程，能够用综合法证明定理及逆定理。3、情感态度与价值观在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲教学重点：了解勾股定理及其逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立教学难点：勾股定理及其逆定理的证明方法对不是“如果那么”形式的逆命题的叙述教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟） 直角三角形有哪些性质？二、导入新课：（学生探究得出证明过程8分钟）教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?请同学们打开课本P19，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方三、新课教学（学生共同探究总结出结论22分钟）1、如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出这个三角形是直角三角形的结论你能证明此结论吗?已知：如图：在ABC中，AB2+AC2BC2求证：ABC是直角三角形分析：要从边的关系，推出A90是不容易的，如果能借助于ABC与一个直角三角形全等，而得到A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证证明：作RtABC，使A90，ABAB，AC、AC(如图)，则AB2AC2.(勾股定理)AB2AC2BC2，ABAB，ACBC2BC2BCBCABCABC（SSS）AA90(全等三角形的对应角相等)因此，ABC是直角三角形定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形2、互逆命题和互逆定理观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?如果两个角是对顶角，那么它们相等如果两个角相等，那么它们是对顶角如果小明患了肺炎，那么他一定发烧如果小明发烧，那么他一定患了肺炎三角形中相等的边所对的角相等三角形中相等的角所对的边相等上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题 请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明。如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理 能举例说出我们已学过的互逆定理?四、知识巩固（学生独立完成5分钟）做教科书第18页第1，2题。六、课堂小结：（师生共同总结3分钟）本节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力七、课外作业：A组：教科书第21页第15题B组：教科书第21页第14题C组：教科书第21页第1，2题。板书设计：1.2、直角三角形（一） 勾股定理勾股定理的逆定理互逆命题和互逆定理教学反思：学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，显然，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。第一章 证明(二)总课时： 11 课时 执笔人：徐丛海 金哲云 使用人：1.2直角三角形（二）学情分析:学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前已经接触过，只是原来仅属于了解阶段。现在是要重新认识这个定理，并且要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题有一个较高的要求。教学目标：1、知识与技能（1）能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性利用“HL定理解决实际问题（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力2、过程与方法经历“探索发现猜想证明”的过程，能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理。3、情感态度与价值观对数学命题的获得产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯教学重点：HL定理的推导及应用教学难点：HL定理的推导及应用教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟） 判定两个三角形全等有哪些定理？二、导入新课：（学生探究得出证明过程3分钟）两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是全等吗？可以画图说明如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你的结论。三、新课教学（学生共同探究总结出结论22分钟）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示由师生共析完成“HL”定理已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求证：RtABCRtABC证明：在RtABC中，AC=AB2一BC2又在Rt A B C中，A C =AC=AB2一BC2 AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC (SSS)做一做问题 ：用三角尺可以作已知角的平分线：如图，在已知AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线你能证明OP就是AOB平分线吗?已知：如图，ON=OM，MP上OA，NP上OB，M、N分别为垂足求证：AOP=BOP 证明： MPOA，NPOB，OMP= NP=90 在RtOMP和RtONP中，OP=OP，OM=ON.RtOMPRtONP(HL定理)AOP=ZBOP(全等三角形的对应角相等)议一议如图，已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要什么条件?把它们分别写出来 这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战) 六种不同的答案例如.(1)AC=BD；(2)BC=AD；(3)CBA=DAB；(4)CAB=DBA；(5)OA=OB；(6) OC=OD，等四、知识巩固（学生独立完成5分钟）做教科书第24页第1题。六、课堂小结：（师生共同总结3分钟）本节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力七、课外作业：A组：教科书第24页第13题B组：教科书第21页第13题C组：教科书第21页第1，2题。板书设计：1.2、直角三角形（二）KL定理做一做议一议教学反思: 本节HL定理的证明学生掌握得比较好，定理的应用方面尤其是“议一议”中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。第一章 证明(二)总课时： 11 课时 执笔人：徐丛海 金哲云 使用人：1.3线段的垂直平分线（一）学情分析: 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习生活中的轴对称中学生已经有了一定的基础。教学目标：1、知识与技能经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理能够利用尺规作已知线段的垂直平分线2、过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力3、情感态度与价值观体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神教学重点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。教学难点：两者的应用上的区别及各自的作用。教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟） 判定两个 三角形全等的定理有哪些？二、导入新课：（学生思考证明过程3分钟）我们曾利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等你能证明这一结论吗？三、新课教学（学生共同探究证明过程并总结出结论22分钟）定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点求证：PA=PB分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等证明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS) PA=PB(全等三角形的对应边相等)想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果那么”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出鼓励学生找出原命题的条件和结论。原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”此时，逆命题就很容易写出来“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等”写出逆命题后时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明请同学们自行在练习册上完成定理：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等”做一做：用尺规作线段的垂直平分线下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据已知：线段AB(如图)求作：线段AB的垂直平分线作法：1分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D2作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗?请与同伴进行交流从作法的第一步可知 AC=BC，AD=BDC、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点四、知识巩固（学生独立完成10分钟）教科书第28页第1题。六、课堂小结：（师生共同总结3分钟）本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线 七、课外作业：A组：教科书第28页第15题B组：教科书第21页第14题C组：教科书第21页第1，3题。板书设计：1.3、线段的垂直平分线（一）定理逆定理想一想做一做教学反思：在这一节中，所介绍的定理实际是在七年级曾经探索过的命题，作为探索活动的自然延续和必要发展，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透第一章 证明(二)总课时： 11 课时 执笔人：徐丛海 金哲云 使用人：1.3线段的垂直平分线（二）学情分析: 学生在证明三角形三边垂直平分线交于一点时可能也较抽象教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导，学生对它的理解要有一个过程教学目标：1、知识与技能经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交于一点经历猜想、探索，能够作出以a为底，h为高的等腰三角形2、过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和作图能力3、情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心 教学重点：能够证明与线段垂直平分线相关的结论 已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形 教学难点：证明三线共点是难点教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟） 线段的垂直平分线的定义、定理和逆定理的内容？二、导入新课：（学生思考3分钟）请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么? 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?与同伴交流三、新课教学（学生共同探究证明过程并总结出结论22分钟）通过教师演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可” 虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢?师生共析，完成证明已知：在ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP求证：P点在AC的垂直平分线上证明：点P在线段AB的垂直平分线上，PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)同理PB=PCPA=PCP点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?” （交点P到三角形三个顶点的距离相等）定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等议一议：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?做一做：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1作BC=a；2作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；3以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4连接AB、ACABC就是所求作的三角形四、知识巩固（学生独立完成10分钟）教科书第31页第1题。六、课堂小结：（师生共同总结3分钟）本节课通过折纸，推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平；分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”七、课外作业：A组：教科书第31页第13题B组：教科书第31页第12题C组：教科书第31页第1题板书设计：1.3线段的垂直平分线（二）定理议一议做一做教学反思：本节利用我们已学过的定理和公理证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从折纸，尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.尤其本节能够充分利用几何画板的动态演示功能，更能增强学生的理解力，我认为这样处理起来是比较好的。第一章 证明(二)总课时： 11 课时 使用人：1.4角平分线（一）学情分析: 本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质教学目标：1、知识与技能角平分线的性质定理的证明角平分线的判定定理的证明用尺规作已知角的角平分线2、过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力3、情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心教学重点：角平分线的性质和判定定理的证明用尺规作已知角的角平分线并说明理由教学难点：正确地表述角平分线性质定理的逆命题正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟） 角平分线的定义、定理和逆定理的内容？二、导入新课：（学生思考3分钟）我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等你能证明它吗?三、新课教学（学生共同探究证明过程并总结出结论22分钟）请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E求证：PD=PE证明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的对应边相等)定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 你能证明它吗?(由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PEOB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上证明：PDOA，PEOB，PDO= PEO=90在RtODP和RtOEP中OP=OP，PD=PE，RtODP RtOEP(HL定理)1=2(全等三角形对应角相等)定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。做一做：用尺规作角的平分线已知：AOB(如图)求作：射线OC，使AOC=BOC作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE2分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在么AoB内交于点C3作射线OCOC就是AOB的平分线(教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程)完成做法后，请学生说明OC为什么是AOB的平分线，与同伴交流从作图的过程中，不难发现OD=OE，CE=CD，OC=OC，OCECOCD(SSS)1=2，即OC是AOB的角平分线四、知识巩固（学生独立完成10分钟）教科书第34页第1- -2题。六、课堂小结：（师生共同总结3分钟）这节课我们在折纸的基础上，证明了角平分线的性质定理和判定定理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力七、课外作业：A组：教科书第36页第14题B组：教科书第31页第1-3题C组：教科书第31页第1-2题板书设计：1.4、角平分线（一）定理逆定理做一做教学反思：在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。第一章 证明(二)总课时： 11 课时 使用人：1.4角平分线（二）学情分析: 学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。教学目标：1、知识与技能（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用2、过程与方法经历“探索发现猜想证明”的过程，能够证明角平分线有关的定理及应用3、情感态度与价值观能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲教学重点：三角形三个内角的平分线的性质综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题教学难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟） 角平分线的定义、定理和逆定理的内容？二、导入新课：（学生思考3分钟）问题：我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角形的三个内角的角平分线交于一点。你能证明这个结论吗？三、新课教学（学生共同探究证明过程并总结出结论22分钟）已知：如图，设ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在BAC的角平分线上证明：过P点作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理：PE=PFPD=PF点P在BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)ABC的三条角平分线相交于点P在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等问题2（要求学生思考、交流）如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E(1)已知CD=4 cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD师生共同分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长第(2)问中，求证AB=AC+CD这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE(1)解：AD是ABC的角平分线，C=90，DEABDE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)AC=BC B=BAC(等边对等角)C=90，B=90=45BDE=904545BE=DE(等角对等边)在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，AC=BC=CD+BD=(4+42)cm(2)证明：由(1)的求解过程可知，RtACDRtAED(HL定理)AC=AEBE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD四、知识巩固（学生独立完成10分钟）教科书第39页第1- -2题。六、课堂小结：（师生共同总结3分钟）本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题七、课外作业：A组：教科书第39页第14题B组：教科书第39页第1-3题C组：教科书第39页第1-2题板书设计：1.4、角平分线（二）定理例题教学反思：本节对学生能力的要求很高，如例1中问题作为教师要善于 利用这个典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。如果课堂时间允许还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解。第一章 证明(二)总课时： 11 课时 使用人：第一章 回顾与思考 （一）学情分析: 学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式的；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.教学目标：1、知识与技能在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2、过程与方法通过习题加以讲解训练进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3、情感态度与价值观通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.教学重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固教学难点：本章知识的综合性应用教学方法：分组讨论法教 学 过 程一、课前复习：（学生口答5分钟）问题1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？问题2：向你的同伴讲述两个命题的证明思路和证明方法.综合法：从已知出发利用公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；反证法问题3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？二、导入新课：（学生思考10分钟）建立本章的知识框架图本章所证明的命题大多与等腰三角形和