曲线的参数方程1.ppt

在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法 在求某些曲线方程时 直接确定曲线上点的坐标x y的关系并不容易 但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁 那么就可以方便地得出坐标x y所要适合的条件 即参数可以帮助我们得出曲线的方程f x y 0 下面我们就来研究求曲线参数方程的问题 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 2 所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么方程 2 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 请用自己的语言来比较一下参数方程与普通方程的异同点 2 圆的参数方程 y M x y 圆周运动是生产生活中常见的 当物体绕定轴做匀速转动时 物体中各个点都做匀速圆周运动 那么怎样刻画运动中点的位置呢 设圆O的半径为r 点M从初始位置出发 按逆时针方向在圆O上做匀速圆周运动 点M绕点O转动的角速度为 以圆心O为原点 所在直线为x轴 建立直角坐标系 显然 点M的位置由时刻t惟一确定 因此可取t为参数 r 圆的参数方程的一般形式 由于选取的参数不同 圆有不同的参数方程 一般地 同一条曲线 可以选取不同的变数为参数 因此得到的参数方程也可以有不同的形式 形式不同的参数方程 它们表示的曲线可以是相同的 另外 在建立曲线的参数参数时 要注明参数及参数的取值范围 练习1已知圆方程x2 y2 2x 6y 9 0 将它化为参数方程 解 x2 y2 2x 6y 9 0化为标准方程 x 1 2 y 3 2 1 参数方程为 为参数 练习 2 1 例2如图 圆O的半径为2 P是圆上的动点 Q 6 0 是x轴上的定点 M是PQ的中点 当点P绕O作匀速圆周运动时 求点M的轨迹的参数方程 y o x P M Q 6 0 o x P M Q 6 0 分析 取为参数 则圆O的参数方程是 为参数 当 变化是 动点P在定圆O上运动 线段PQ也随之变动 从而使点M远动 因此点M的运动可以看成是由角 决定的 于是 选 为参数是适合的 思考 这里定点Q在圆O外 你能判断这个轨迹表示什么曲线呢 如果定点Q在圆O上 轨迹是什么 如果定点Q在圆O内 轨迹又是什么 3 参数方程和普通方程的互化 将曲线的参数方程化为普通方程 有利于识别曲线的类型 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 一般地 可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 如果知道变数x y中的一个与参数t的关系 例如 把它代入普通方程 求出另一个变数与参数的关系那么就是曲线的参数方程 参数方程和普通方程的互化 1 普通方程化为参数方程需要引入参数 如 直线L的普通方程是2x y 2 0 可以化为参数方程 t为参数 在普通方程xy 1中 令x tan 可以化为参数方程 为参数 2 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 如 参数方程 消去参数 可得圆的普通方程 x a 2 y b 2 r2 可得普通方程 y 2x 4 通过代入消元法消去参数t x 0 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 例3 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 2 把平方后减去得到因为所以因此 与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分 所以 代入 练习 1 将下列参数方程化为普通方程 1 2 1 x 2 2 y2 9 2 y 1 2x2 1 x 1 3 x2 y 2 X 2或x 2 步骤 1 消参 2 求定义域 2 求参数方程 表示 A 双曲线的一支 这支过点 1 B 抛物线的一部分 这部分过 1 C 双曲线的一支 这支过点 1 D 抛物线的一部分 这部分过 1 分析 一般思路是 化参数方程为普通方程 求出范围 判断 解 x2 1 sin 2y 普通方程是x2 2y 为抛物线 又0 2 0 x 故应选 B 说明 这里切不可轻易去绝对值讨论 平方法 是最好的方法 例4 解 1 把带入椭圆方程 得到于是由参数的任意性 可取因此椭圆的参数方程为 为参数 思考 为什么 2 中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程 因此椭圆的参数方程为 x y范围与y x2中x y的范围相同 代入y x2后满足该方程 从而D是曲线y x2的一种参数方程 曲线y x2的一种参数方程是 注意 在参数方程与普通方