三角债的模糊矩阵表示和关系划转的数学模型.docx

三角债的模糊矩阵表示和关系划转的数学模型1. 引言 债务网络俗称为三角债，是经济生活中的一种重要关系。因为债务本身是可度量的，用数量的方法研究更能提供准确的信息和科学手段。目前已发现有图论、网络分析，线性规划几种方法。本文用模糊矩阵表示债务关系，开始了用阵的运算寻找间接债务关系的方法，而间接债务关系分析是决策的基础。重点给出债务阵划转的概念，它用统一的公式给出阵的变换，描述了“转账”的过程和结果，简化和清晰了债务关系，为相应的软件开发做出了数学准备。2. 借贷关系矩阵表示及债务关系存在定理首先我们给出借贷关系的矩阵表示：记X1，X2，Xn为有债务关系的n个单位，首先可以用一个有向图来表示单位间的债务关系，若Xi欠Xj的债务量为a0，则连一条由Xi到Xj的有向弧（Xi，Xj），并赋值为a，这样得到的有向图称为债务图。定义1 称n阶方阵A为债务阵，如果满足：1）aij0，2）aijaji=0，i，j=1，2，n。由2）知，当i=j时aij=aji=0，表明单位自身不存在债务问题，ij时，若aij=aji=0，说明彼此不存在债务关系，当aij0时，aji=0，表明债务关系只能是单向的。 债务图对应一个n阶方阵A=（aij）nXn，其中A， xi欠xj的债务量为aAij=0， xi不欠xj的债务 显然a的元素满足上述二个条件，即a是债务阵。命题1 非负阵a是债务阵的充要条件为a =0.其中运算x为同阶方阵元素相乘， 是a的转置。 证明 由a =（aijaji）nxn=0命题可证。 规定非负实数集的二元运算 为命题2 非负阵a是债务阵充要条件 证明 由 运算的定义和性质aijaji=0直接可验证可得。例1 由知a是债务阵，它表明：x1欠x2的债务为4，x2欠x3的债务为5等。下面给出间接债务关系的数学描述及其存在的定理：定义2 设a是债务阵，如果存在路 满足 ，称xi到xj有数量为a的k步传递债务，称k2是的传递债务为间接债务，k=1时为直接债务，间接和直接债务统称为债务，l为债务路。 间接债务是经过系列直接债务复合而成的一种债务关系，即俗称的三角债，它是一个复杂的关系网络，用模糊的方法研究是本文的目标。 债务阵的模糊变化与债务阵在债务关系的表达和相关处理方面有确定的对应关系，为此，本文下面的债务阵都视为模糊阵。用 表示a的传递闭包。Aij表示 的第i行第j列元素。定理1 若xi对xj有向量为a的k步传递债务 则 若 则有xi到xj的量为a的k步债务。证明 有定义2 可得 定理1 告诉我们通过幂运算得到 ， 它的元素 表明了间接债务关系的存在，同时也给寻找间接债务关系路提供了路权范围。定理2 若xi到xj有量为a的债务则 ，若tij=a则有量为a的xi到xj的债务。证明 若xi到xj的有量为a的债务，定义3 称tij到xi到xj的最大债务，若w（L）=tij，称l为xi到xj的最大债务路。最大债务路是在债务关系分析中扮演重要的角色。寻找债务路是债务关系分析的重要内容之一和基础，上述的存在定理是寻找债务路的准则，而具体实施还要做进一步的工作，由于篇幅所限不在此叙述了，有兴趣的读者可参考（6），（7）。3 债务阵的划转变换 定义4 设 是a的xi到xj的传递债务为a的路，称b为a关系于l的债务划转阵，如果b满足 把定义4确定的由a到b的变换记为 ，b称为a的划转阵，不难看出，当路l给定时，划转阵b由aji的情况而定，下面就由其三种可能的情况具体化并说明实际意义。定理3 l如定义4所述，当ajia时有 证明 由 的规定和定义4，显然有 ，根据债务关系的定义 此时aij=0，这样定理3有直观的图形象和简化债务关系的意义。事实上，满足定理3条件l是权为a的债务圈，其结论表明，此时a是把l的每个边权减去a的变换，即债务关系构成圈时，变换a使之相互消去量为a的债务。首先设表明：在xj不欠xi债的情况下，转账结果是xi欠xj债务应当在原来xi欠xj债aij的基础上加上转来的a，当然aij=0的情况不矛盾。对 的情形， 此时 显然有：表明：当xj欠xi的债aij小于转账过来xi欠xj的债a时，抵消以后，xi欠xj的债为a-aij。 上面的结果列表如下由以上分析，定义4包括了划转债务路可能三种类型。定理4 债务阵的划转阵是债务阵。证明定理4 表明债务阵的划转还是债务阵，可按定义4继续划转，下面将证明，经过有限步，任何债务阵都可以划为没有间接债务的阵。定理5证明定义5 称不存在间接债务关系的阵为简单阵。4结束语无论从行政决策和业务管理角度，研究和处理三角债问题首先要做的工作是对债务状况的了解和分析。文中给出的债务网络的模糊矩阵表示，使得通过相互间的直接债务探讨间接债务成为可能，利用模糊阵的运算判别债务路的存在不仅是模糊方法的应用的一个新例，也给债务关系分析引进了科学的方法。阵划转变表达了“转账”的过程和结果，这样，可通过系列的变换，在保持了间接债务关系的基础上，简化了债务网络，使人一目了然。由于这种划转是用数学