2011全国中学生数学能力竞赛初赛初中答案.docx

一、 画龙点睛 （本大题共 8 道小题， 每小题 3 分， 总计 24 分） 1. -6 2. 1.37 伊 109 3. 2 4. 9 5. 无名指 6. -1 7. 142 8. 63 二、 一锤定音 （本大题共 4 道小题， 每小题 3 分， 总计 12 分） 9. A 10. D 11. C 12. B 三、 妙笔生花 （本大题共 4 道小题， 题 6 分， 题 7 分， 题 8 分， 题 9 分， 13 14 15 16 总计 30 分） 13. 因为 a2 - b 2 =（a + b） - b） （a 1分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 （2 + 4 + 6 + + 98 + 100 ）-（1 + 3 + 5 + + 97 + 99 ） 2 = 2 + 42 + 62 + + 982 + 1002 - 12 - 32 - 52 - - 972 - 992 2分 =（22 - 12）+（42 - 32）+（62 - 52）+ +（982 - 972）+（1002 - 992） 3分 =（2 + 1） - 1）+（4 + 3） - 3）+（6 + 5） - 5）+ +（98 + 97） （2 （4 （6 （98 - 97）+（100 + 99） （100 - 99） 4分 = 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 = 5050. 6分 14. 1 + 1 - 1 + 1 - 1 2002 3003 4004 6006 8008 1 1 1 1 1 = + + 2分 1001 伊 2 1001 伊 3 1001 伊 4 1001 伊 6 1001 伊 8 = 1 伊（ 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ） 4分 1001 2 3 4 6 8 = 1 伊 1 + 1 + 1 ）-（ 1 + 1 ） （ 5分 1001 2 3 6 4 8 = 5 . 7分 8008 15. 两种填法均可：- 1 -2011 年全国中学生数学能力竞赛 （初赛） 试题 初一年级组 参考答案5 3 21 4 1或 423 58分（填 正确一个数给 1.6 分） 16. 令 5x + 4y + 11z = 4020，淤 7x + 12y + 17z = 4024， 于 淤 + 于得， + 16y + 28z = 8044， 12x 即 4 伊（3x + 4y + 7z）= 8044， 所以 3x + 4y + 7z = 2011. 四、 一鼓作气 （本大题共 2 道小题， 题 12 分， 题 12 分， 17 18 总计 24 分） 17. 设尖头有 x 盏灯， 根据题意列方程， 有 x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381 （1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64） = 381 x 127x = 381 x=3 答： 尖头有 3 盏灯. 18. 由题中的三个图形可知： （个） 三角形， 第 1 个图形中有：1 + 3 = 4 第 2 个图形中有： + 3 + 3 = 1 + 3 伊 2 = 7 1 （个） 三角形， 第 3 个图形中有： + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 3 = 10 1 （个） 三角形， 第 4 个图形中有： + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 4 = 13 1 （个） 三角形， 第 10 个图形中有： + 3 + 3 + + 3 = 1 + 3 伊 10 = 31 1 （个） 三角形； 第 n 个图形中有： + 3n） （1 个三角形. 五、 再接再厉 （本大题总计 15 分） ； 19.（1） = 2 + 4 + 6 + 8 + + 2n = n + 1） S （n （2） + 4 + 6 + + 2012 = 2 + 4 + 6 + + 2 伊 1006 = 1006 伊 1007 = 1013042. 2 六、 马到成功 （本大题总计 15 分） 20. 观察表中正整数的排列规律， 可知： 2 （1） m 为奇数时，m1 = m ； 当 a 2 当 m 为偶数时，m1 =（m - 1） + 1； a 当 n 为偶数时，1n = n2； a 2 当 n 为奇数时，1n =（n - 1） + 1援 a 上起第 12 行的数， （2） m = 10， = 12 时，mn 是左起第 10 列， 当 n a 由 （1） 及表中正整数的排列规律可知， 上起第 12 行的第 1 个数为 122 = 144援 第 12 行中， 自左往右从第 1 个数至第 12 个数依次递减 1， 所以 amn 为 135援- 2 10 个 32分 4分 6分 7分 9分 2分 6分 8分 10 分 11 分 12 分 1分 2分 4分 6分 8分 12 分 7分 15 分 2分 4分 6分 8分 11 分 13 分 15 分一、 画龙点睛 （本大题共 8 道小题， 每小题 3 分， 总计 24 分） 1. a + b + c 2. 2025078 3. 40 4. 72.5毅 5. 2 6. 4 7. 37.2 8. 3 二、 一锤定音 （本大题共 4 道小题， 每小题 3 分， 总计 12 分） 9. B 10. A 11. A 12. D 三、 妙笔生花 （本大题共 源 道小题， 题 6 分， 题 7 分， 题 8 分， 题 9 分， 13 14 15 16 总计 30 分） 13. 至少需要移动 3 枚硬币. 2分 如图所示：1元 1元 1元2011 年全国中学生数学能力竞赛 （初赛） 试题 初二年级组 参考答案1元 1元 1元 1元1元 1元 1元6分14. 我们先不考虑 6 米、 米、 米、 米、 米、 米、 米， 9 12 15 21 27 30 因为这些型号水管都是 3 米的倍 x=4 ， 所以需要 19 数， 因此本题转化成求 3x + 19y = 50 的正整数解.而该方程的正整数解为 y=2 米水管 2 根， 根 3 米水管.而 4 根 3 米水管恰好可由 1 根 12 米水管代替.所以应该采购 19 米 4 水管 2 根、 米水管 1 根. 12 7分 15.（1）1 - 1 ； 2分 n n+1 1 n 1 （2） 证明： 原 1 越 n+1 原 越 n+1-n 越 ； 5分 n n+1 n + 1） n + 1） n + 1） n + 1） （n （n （n （n （3） 原式 越 1 原 1 垣 1 原 1 垣 1 原 1 垣 垣 1 原 1 越1- 1 = 2009 . 8分 2 2 3 3 4 2009 2010 2010 2010 16. A + B = 16， + C = 20， + D = 34， A 约 B 约 C 约 D， A 约 8， 跃 8， 约 10， 跃 10， 约 B C 疫 亦 B B C C 17， 跃 17. D 4分 6分 由 8 约 B 约 10 且 B 只能取整数， B = 9. 得 亦 C = 11， = 23， = 7. D A 8分 答： ， C， 各班演员人数分别是 7 人、 人、 人、 人. A B， D 9 11 23 9分 四、 一鼓作气 （本大题共 2 道小题， 题 12 分， 题 12 分， 17 18 总计 24 分） 17.（1） 根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱 （70 - x） 调配给乙连锁店空调机 台, （40 - x） 台,电 冰箱 - 10） （x 台. 2分 则 y = 200x + 170 （70 - x）+ 160 （40 - x）+ 150 - 10） （x ， 即 y = 20x + 16800援 4分 x 逸 0， 70 - x 逸 0， 疫 亦 10 臆 x 臆 40， y = 20x + 16800（10 臆 x 臆 40） 亦 ； 6分 40 - x 逸 0， x - 10 逸 0，嗓扇 设 设 设 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 设 设 设 墒- 3 -（2） 按题意知： =（200 - a） + 170 y x （70 - x）+ 160 （40 - x）+ 150 - 10） （x ， 即 y =（20 - a） + 16800 x （10 臆 x 臆 40） 援 8分 9分 疫 200 - a 跃 170， a 约 30援 亦 当 0 约 a 约 20 时， x = 40， 取 即调配给甲连锁店空调机 40 台， 电冰箱 30 台， 乙连锁店空调 0 台， 电冰箱 30 台； 10 分 当 a = 20 时， 的取值在 10 臆 x 臆 40 内的所有方案利润相同； x 11 分 当 20 约 a 约 30 时， x = 10， 取 即调配给甲连锁店空调机 10 台， 电冰箱 60 台， 乙连锁店空调 30 台， 电冰箱 0 台. 12 分 2 2 2 2 18.（1）证明： x = x + 1， = y + 1， x - y =（x + y） - y）= x - y， x屹y， x + y = 1； 疫 y 亦 （x 疫 亦 4分 2 2 3 2 3 2 （2）疫 x = x + 1， = y + 1， x = x + x， = y + y， y 亦 y 6分 4 3 2 4 3 2 x = x + x， = y + y， y 7分 5 4 3 5 4 3 x = x + x， = y + y， y 8分 5 5 4 3 4 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 亦x +y =x +x +y +y =x +x +x +x+y +y +y +y=x +x+x +x +x+y +y+ y2 + y2 + y = 3 2 + y2）+ 2 + y）= 3 + 1 + y + 1）+ 2 + y）= 3 伊 3 + 2 = 11. （x （x （x （x 12 分 五、 再接再厉 （本大题总计 15 分） P 19. 证明:过 A 作 CD 的平行线， BC 的延长线于点 P, 交 BM 的延 交 C 3分 长线于点 N， 连接 CN. 疫 CM = MD， PN = NA ， 亦 4分 N M 疫蚁PCA = 90毅， CN = PN = NA .亦蚁A CD = 蚁CA N = 蚁NCA ， 亦 7分 A 亦蚁NCM = 2蚁A CD. （1） B D 疫 蚁MA N = 蚁A MD = 蚁BMD = 蚁MNA ， MA = MN. 亦 10 分 疫 MD = MC， MD = 蚁BMD = 蚁NMC， = MN， 蚁A MA 亦 吟MA D 艺 吟MNC，亦蚁A DM = 蚁NCM. （2） 13 分 由 （1） （2） 与 得蚁CDA = 2蚁A CD. 15 分 六、 马到成功 （本大题总计 15 分） 20. 以棋盘上竖线和横线为边的正方形， 这些都是 “正放” 的正方形. 1 伊 1 的正方形有 8 伊 9 = 72 （个） 2 伊 2 的正方形有 7 伊 8 = 56 ； （个） 3 伊 3 的正方形有 6 伊 7 = ； 42 （个） 4 伊 4 的正方形有 5 伊 6 = 30 ； （个） 5 伊 5 的正方形有 4 伊 5 = 20 ； （个） 6 伊 6 的正方形 ； 有 3 伊 4 = 12 （个） 7 伊 7 的正方形有 2 伊 3 = 6 ； （个） 8 伊 8 的正方形有 1 伊 2 = 2 ； （个） . 4分 因此，正放” “ 的正方形共有 72 + 56 + 42 + 30 + 20 + 12 + 6 + 2 = 240 （个） . 6分 以棋盘上交叉点为顶点的 “斜放” .每个这样 “斜放” 的正方形总是内接于一个上面那种 “正放” 的正方形. 1 伊 1 的 “正放” 正方形中不可能有这样的内接 “斜放 ” 正方形. 如下图所示是 2 伊 2 和 3 伊 3 正放” “ 正方形中的 “斜放” 正方形.所 以每个 2 伊 2 的正方形中有 1 个这样的 “斜放” 正方形； 每个 3 伊 3 的正方形中有 2 个这样的 “斜放” 正方形； 每个 8 伊 8 的正方形中有 7 个这样的 ； “斜放” 正方形. 13 分 因此， 斜放”正方形共有 1 伊 56 + 2 伊 42 + 3 伊 30 + 4 伊 20 + 5 伊 12 + 6 伊 6 + 7 伊 2 = 420 “ （个） . 所以共能连成 240 + 420 = 660 （个） 正方形. 15 分- 4 -2011 年全国中学生数学能力竞赛 （初赛） 试题 初三年级组 参考答案一、 画龙点睛 （本大题共 8 道小题， 每小题 3 分， 总计 24 分） 2 2 k 1. 9900 2. 12 3. 8 4. k - 1 ， + 1 （每空 1.5 分） 2 2 5. - 3 6. 2 7. 9 8. n + 2） （n 2 二、 一锤定音 （本大题共 4 道小题， 每小题 3 分， 总计 12 分） 9. D 10. B 11. C 12. C 三、 妙笔生花 （本大题共 源 道小题， 题 6 分， 题 7 分， 题 8 分， 题 9 分， 13 14 15 16 总计 30 分） 3 ， 2 ， 13.（1） P 疫 （小明去听讲座）= P （妹妹去听讲座）= 2分 5 5 亦P （小明去听讲座）屹 P （妹妹去听讲座） 亦 这个办法不公平； ， 3分 （2） 根据题意， 3x - 3 = 2x， 得 解得 x = 3. 6分 亦 当 x 3 时对小明有利； x 3 时对妹妹有利； x 越 3 时游戏公平. 当 当 2 2 2 14. 将 a = 4 + 2b 代入 ab + c - 1 = 0， 2b + 4b + c - 1 = 0， 得 1分 疫 b， 都是整数， 只能取 c 亦2 亦 b = -2 依 姨6 - 2c 援 2相对应 a1 = 4，2 = 4，3 = 园，4 = 0援 a a a 7分 故所求 a + b + c 的值有 4 个， 分别为 5， -1， 3， -3援 15. 用 O 表示没有提到的那个按钮， 根据叙述， 可知这 6 个按钮的排列顺序为 DECA OB， 因此 应该按从左往右数第 5 个按钮， 或从右往左数第 2 个按钮. 8分 16.（1） 伊 6 - 52 = 24 - 25 = -1； 4 3分 2 （2） 答案不唯一， n + 2）-（n + 1） = -1 是大于 0 的整数） 如 （n （n ； 6分 7分 （3） 成立. 2 2 2 2 2 理由： + 2）-（n + 1） = n + 2n -（n + 2n + 1）= n + 2n - n - 2n - 1 = -1. n （n 9分 四、 一鼓作气 （本大题共 2 道小题， 题 12 分， 题 12 分， 17 18 总计 24 分） 17.（1） 答案不唯一， 当取出的是舆时， 将剩下的图形向上平移 1cm （如图 1） ； 当取出的是虞时， 将愚舆向上平移 2cm （如图 2） ； （两个答案均可）淤 榆 虞 于 盂愚 淤 愚 舆 于 盂榆= 0， = 0， = -2， = -2， 嗓 b = 1；嗓 b = -1；嗓 b = 1； 嗓 b = -1. c c c c1 1 2 2 3 3 4 42分 5分4分（2） 能. 理由：因为每个小等边三角形的面积为 姨 3 cm2，五个小等边三角形的面积和为 4 5 姨 3 cm2， 4图1图2- 5 -正 六边形的面积为 3 姨 3 cm2， 10 分 2 所以正六边形没有被取出的三角形盖住的面积能等于 5 cm2援 而 5姨 3 5 3姨 3 ， 4 2 2 2 12 分 18.（1） 由题意得 400 伊（2x + 400 ）+ 300 伊 400 + 200 伊 80 = 47200， 2分 x x 化简得 x2 - 39x + 350 = 0， 解得 x1 = 14，2 = 25. x 4分 经检验 x1 = 14，2 = 25 都是原方程的根,但 25 米16 米 x （不合题意， 应舍去） . 5分 当池长为 14 米时， 池宽为 100 米16 米， 符合题意， 所以池长为 14 米； 6分 7 （2） 47200 元为总造价来修建三级污水处理池， 以 不是最合算. 7分 8分 理由： 当池长为 16 米时， 池宽为 12.5 米16 米， 故池长为 16 米， 符合题意. 400 伊 700 + 200 伊 80 = 46300 47200， 这时总造价为 800 伊 16 + 16 亦