实验设计讲义 .doc

实 验 设 计 讲 义实验设计思想变异分析一个或两个样本平均数的假设测验，可用u测验或t测验来测定它们之间的差异显著性。当实验的处理数是k3时，上述方法已不敷应用。其原因是当是k3时就有k(k-1)2个差数进行比较，不仅工作量非常大，且精确度降低。因此，对多个样本平均数的假设测验，需采用一种更为合适的统计方法，即方差分析法。方差分析是生产和科学研究工作的一个十分重要的工具。第一节 方差分析的基本原理 方差分析就是将实验数据的总变异分解为来源于不同因素的相应变异，并作出数量估计，从而明确各个变异因素在总变异中所占的重要程度；也就是将实验数据的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起的变异量是否真实的一种统计分析方法。一、平方和与自由度的分解方差是平方和除以自由度的商。要想将一个实验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总平方和与自由度分解为各个变异来源的相应部分。因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步。下面先从简单的类型说起。假设有k个处理；每个处理有n个观测值，则该资料共有nk个观测值，其观测值的组成如表7-1。 表7-1中，i代表资料中任一样本；j代表样本中任一观测值；xij代表任一样本的任一观测值；Tt代表处理总和；代表处理平均数；T代表全部观测值总和；代表总平均数。表7-1 每处理具n个观测值的k组数据的符号表处理样本观察值处理总和Tt处理平均12jn1x11xi2x1jx 1nTt12x21xi2x2jx 2nTt2ixi1xi2xijxinTtikxk1xk2xkjxkn TkiT=x在表7-1中，总变异是nk个观测值的变异，故其自由度df=nk-1，而其平方和SST则为：SST= (7-1)式中的C称为矫正数： (7-2)产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶然因素影响造成的，即实验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。因此，总变异可分解为组间变异和组内变异两部分。 组间的差异即k个的变异，故自由度df=k1，而其平方和SSt。为： 组内的变异为各组内观测值与组平均数的变异，故每组具有自由度df=n-1和平方和，而资料共有k组，故组内自由度，df =k(n-1)，而组内平方和SS为：因此，得到表7-1类型资料平方和与自由度的分解式为：总平方和 = 组间(处理间)平方和 组内(误差)平方和记作： SST=SStSSe总自由度 = 组间(处理间)自由度组内(误差)自由度即： (nk-1)=(k-1) k(n-1)记作： DFT=DFtDFe求得各变异来源的平方和与自由度后，进而求得：总平方和 总自由度 dfT=nk-1处理平方和 处理自由度 dft=k-1区组平方和 区组自由度 dfr=n-1误差平方和 误差自由度 dfe=(k-1)(n-1)均方用MS表示，也可用s2表示，两者可互换。其组内均方MSe也称误差均方，它是多个处理内均方的加权平均值，而第6章中s2e为甲、乙两样本（处理）均方的加权平均值，故s2e与MSe意义相同。例7.1设有A、B、C、D4个大豆品种（k=4），其中D为对照，进行大区比较实验，成熟后分别在四块地测产，每块地随机抽样5点，每点产量（kg）列于表7-2，试作方差分析。表7-1 大豆大区抽样产量综合表品种样点Tt123451354128383117334.62282219352913326.63293534393216933.84252621272212124.2596（T）29.8（）1、平方和的分解 已知n=5，k=42、自由度的分解DFT=nk-1=54-1=19DFt=k-1=4-1=3DFe=k (n-1)=4(5-1)=163、求各变因的均方MSt=s2t=134.40MSe=s2e=21.7总变异均方s2T无须计算。以上品种内均方s2e =21.75系4个品种内变异的合并均方值，它是表7-2资料的实验误差估计；品种间均方s2t =134.40，则是不同品种产量效应的变异。二、F分布与F测验计算出均方后，要进一步测定不同处理的平均数差异是否显著，判断处理间是否存在真实的差别，要应用F分布进行F测验。 1、F值定义和F分布 在一个平均数为，方差为的正态总体中随机抽取两个独立样本，分别计算其均方s12和s22，将s12和s22的比值定义为F：图7-1 v1、v2不同的三个F分布曲线 (7-8)此F值具有s12的自由度v1和s22的自由度v2。通常s12s22所以习惯上称v1为大方差自由度，v2为小方差自由度。如果在给定的v1和v2的情况下，进行一系列随机独立抽样，就可得到一系列的F值而形成一个F分布，并制作成F分布曲线(图7-1)。F分布是由v1和v2所决定的一系列曲线。在v12时，曲线严重倾斜，呈反向J形。当v13时，曲线转为偏态。F分布的平均数=1，其取值范围为0，F分布下一定区间的概率可从已制成的统计表查出。附表5系各种v1和v2下右尾概率=0.05和=0.01时的临界F值(一尾概率表)。如查附表5，v1=5，v2=12时，F0.05=3.33，F0.0l=5.64，即表示如以v1=5，v2=12在一正态总体中连续抽样时，则所得F值大于3.33的概率仅有5%，而大于5.64的仅有1%。2、F测验的方法 F测验的目的是为了测验处理效应是否确实存在(是否由误差造成)。在进行处理间平均数差异显著性的F测验时，把处理均方作分子，把误差均方作分母，即： (7-8)F值可作为判断处理效应是否存在的依据。若纯属误差所致，一次获得FF0.05的概率P0.05，一次获得FF0.01的概率P0.01。根据小概率原理，一次获得FF0.05，则认为两变因差异显著；一次获得FF0.01，则认为两变因差异极显著；若FF0.05则认为差异不显著，即被测变因内各观测值之间的差异同于机误，或者说没有本质区别。F测验方法有3个步骤：首先提出假设，H0：处理（品种）间差异量小于或等于实验误差。差异不显著。对HA：处理（品种）间差异量大于实验误差。差异显著。其次列方差分析表进行F测验，为了避免差错和使测验计算结果一目了然，一般在这一步骤应列一方差分析表进行F测验。格式见表7-3。最后推断假设，按概率标准进行推断。FF0.05，P0.05，差异不显著，接受H0，FF0.05，P0.05，差异显著，否定H0，接受HA。FF0.01，P0.05，差异极显著，否定H0，接受HA。如果F1，不用查表即可判断差异不显著。在实际应用中，为简便起见，“提出假设”这一步也可省略。表7-3 方差分析表变异来源SSDFMSFF处理间DFt=k-1MSt=SSt/DFt处理内SSe=SST-SStDFe=k(n-1)MSe=SSe/DFe总变异SST=DFT=nk-1现对例7.1资料进行F测验：3、多重比较（1）不同药剂处理与对照（未处理）间比较 计算均数差数标准误查t表，当v=15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947。 LSD0.05= t0.05=2.1311.732=3.691LSD0.01= t0.01=2.9471.732=5.104表7-11不同药剂处理与对照株高差异比较(LSD法)处理CDBAE(CK)平均苗高()30252318 15与对照差异15*10*8*3测验结果表明：用药剂C、D、B处理黄瓜幼苗，株高极显著地高于对照E；药剂A处理与对照E差异不显著。（2）各处理间平均数的比较 计算平均数标准误根据v=15，查SSR表得k=2、3、4、5时的SSR0.05与SSR0.01值，将SSR值分别乘以SE值，即得LSR值于表75。7-5多重比较的LSR值计算kSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.173.695.1133.164.373.875.3543.254.503.985.5153.314.584.065.617-6不同药剂处理的显著性(SSR法)处理平均苗高()差异显著性=0.05=0.01CDBAE(对照)3025231815abbccAABBCCDD推断：药剂C与B、A、E差异极显著，药剂D与A、E差异极显著，药剂B与E差异及显著，C与D、B与A差异显著，其它处理间差异均不显著。二、组内观测值数目不等的单向分组资料的方差分析组内观测值数目不等资料方差分析的原理、步骤与组内观测值数目相等的完全相同，不同的是各处理的样本容量ni不等（即n1n2nink），以ni表示任一样本的样本容量，则该实验资料共有个观测值。在方差分析时，有关公式因ni不同而需作相应改变。1、 平方和与自由度的分解总变异平方和 处理间平方和 误差平方和 SSe=SSTSSt总变异自由度 处理间自由度 DFt=k1误差自由度 2、多重比较 由于各处理的重复数不同，可先算得各ni的平均数n0。然后有： 例7.3调查某苹果品种短枝型1、2号与普通型、小老树枝条节间的平均长度（cm），每类型样点数不等，调查资料列于表6-13，试测验不同类型树枝条节间长度的差异显著性。表714某苹果品种不同类型树枝条节间长度类型样点Ttni1234567891011短枝1号1.71.81.81.61.71.81.91.81.81.817.71.7710短枝2号1.91.71.61.81.81.81.81.71.916.01.789普通型2.22.32.42.52.42.42.42.32.22.22.225.52.3211小老树1.41.51.41.31.61.78.91.486T=68.1=1.89=362、列方差分析表进行F测验分析步骤：1、 平方和与自由度的分解 SSe=SSTSSt=3.633.26=0.37 DFt=k1=41=3 类型间均方 误差均方 2、列方差表分析表进行F测验表715 表714资料方差分析变异来源SSDFMSFF0.05F0.01类型间3.2631.03790.58*2.904.46误差0.37320.012总变异3.6335假设H0：对HA：，F=MSt/MSe=1.087/0.012=90.58，查F表，当v1=3，v2=32时，F0.05=2.90，F0.0l=4.46，现实得F=90.58F0.01，P0.01，故否定H0，不同类型间差异极显著。3、多重比较现v=32，按v=30查SSR值表得k=2、3、4时的SSR值，将SSR值分别乘以SE值，即得LSR值于表7-16。由SSR值对4种类型果树枝条节间长度进行差异显著性测验的结果列于表717。表7-16多重比较时的LSR值计算kSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.893.890.1070.14433.044.060.1120.15043.124.160.1150.1547-17某苹果品种不同类型树枝条节间差异表(SSR法)类型节间长度差异显著性=0.05=0.01短枝1号短枝2号普通型小老树2.321.781.771.48abbcABBC推断：除短枝型1号与2号无差异外，其他类型之间差异都极显著。普通型枝条节间最长，小老树枝条节间最短。三、系统分组资料的方差分析系统分组资料，是组内（处理内）又分亚组的单向分组资料的简称。系统分组并不限于组内仅分亚组，亚组内还可分小组，小组内还可分小亚组，如此一环套一环地分下去。这种实验称为巢式实验。在农业实验上系统分组资料是常见的。如对数块土地取土样分析，每块地取了若干样点，而每一样点又作了数次分析的资料；或调查果树病害，随机取若干株，每株取不同部位若干枝条，每个枝条取若干叶片查其病斑数的资料；或在温室里作盆栽实验，每处理若干盆，每盆种若干株的资料等，皆为系统分组资料。以下讨论二级系统分组资料的方差分析。 最简单的系统分组资料是二级系统分组资料。它是l个组（处理），每组内又分个亚组，每个亚组内又有个观测值，则该资料共有个观测值，其资料类型如表7-18。表7-18二级系统分组资料个观测值的数据结构（）组(i)亚组(j)观测值亚组组总和平均总和平均（）1T11x112T12x121T12T21212系统分组资料的变异来源分为组间（处理间）、组内亚组间和同一亚组内各重复观测值间（实验误差）三部分。其平方和与自由度的计算公式如下：总变异 组间（处理间）变异 DFt=1 同一组内亚组间的变异 亚组内的变异 因而可得方差分析表7-19。表7-19二级系统分组资料的方差分析变异来源SSDFMSF组间1组内亚亚组内总变异由表7-19可知，为测验各组（处理）间有无不同效应，测验假设H0：=0F=为测验各组间有无不同效应，测验假设H0：=0F=在进行（处理）间平均数多重比较时均数标准误为：在进行组内亚组间平均数多重比较时均数标准误为：例7.4在温室内以4种培养液（=4）培养某作物，每种培养液培养3盆（=3），每盆4株（=4），全实验共有12个花盆完全随机排列，其它管理条件相同，一个月后测定株高生长量（mm），得结果于表7-20，试作方差分析。表7-20 4种培养液下的株高增长量培养液盆号生长量（）盆总和培养液总和培养液平均（）AA150554035180A23535304014049541.3A345404050175BB150455045190B25560505021562552.1B355456555220CC185609085320C26570806528088073.3C370707070280DD160553570220D26085457526577564.6D365658575290总和T=27751、平方和与自由度的分解总变异平方和 =172 025160 429.69=11 595.31培养液间平方和 167 556.25-160 429.69=7 126.56培养液内盆间平方和 =168 818.75167 556.25=1 126.56盆内株间平方和 总变异自由度 =(434)1=47培养液间自由度 DFt=1=41=3培养液内盆间自由度 =4(31)=8盆内株间自由度 =43(41)=36培养液间均方 培养液内盆间均方 盆内株间均方 2、列方差分析表进行F测验表7-21 表7-20资料方差分析变异来源SSDFMSFF0.05F0.01培养液间7126.5632375.5215.05*4.077.59培养液内盆间盆内株间（误差）1262.503206.25836157.8189.061.772.223.04总变异11595.3147对培养液内盆间作F测验, F=MSd/MSe=157.81/89.06=1.77，查F表，当v1=8，v2=36时，F0.05=2.22，F0.0l=3.04，现实得F=1.77F0.05，故盆间差异不显著。对培养液间变异作F测验, 假设H0：=0，F=MSt/MSe=2375.52/157.81=15.05*，查F表，当v1=3，v2=8时，F0.05=4.07，F0.0l=7.59，现实得F=15.05F0.01，故否定H0，培养液间差异极度显著。3、各培养液平均数间的比较 平均数标准误为按v=8查SSR值表得k=2、3、4时的SSR值，并算得各得LSR值于表7-21。由SSR值对4种培养液植株生长量进行差异显著性测验的结果列于表7-23。表7-22 4种培养液的LSR值（SSR法）PSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.264.7411.8317.2133.395.0012.3118.1543.475.1412.6018.66表7-23 4种培养液植株生长量的差异显著性培养液平均生长量差异显著性=0.05=0.01CDBA73.364.652.141.3aabbAABBCC 推断：4种培养液对生长量的效应，C与B、A差异极显著，D与A差异极显著，D与B差异显著，其它处理间差异均不显著第三节 两向分组资料的方差分析 两向分组资料是指实验指标同时受两个因素的作用而得到的观测值。如选用几种温度和几种培养基培养某种真菌，研究其生长速度，其每一观测值都是某一温度和某一培养基组合同时作用的结果，故属两向分组资料，又叫交叉分组。按完全随时设计的两因素实验数据，都是两向分组资料，其方差分析按各组合内有无重复观测值分为两种不同情况，本节将予以讨论。其它设计的两向分组资料，则留待以后介绍。 一、组合内无重复观测值的两向分组资料的方差分析 设有A和B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，每一处理组合仅有一个观测值，则全实验共有ab个观测值。其资料类型如表7-24, 表7-24两向分组资料每处理无重复观测值的数据结构（）A因素B因素TAB1B2BbA1TA1A2TA2AaTAaTBTB1TB2TBbT表中TA和分别表示各行(A因素的各个水平）的总和及平均数；TB和分别表示各列（B因素的各个水平）的总和及平均数；T和表示全部数据的总和及平均数。 两向分组资料的总变异可分为A因素、B因素和误差三部分。其计算公式如表7-25。 表7-25中F测验假设为H0：=0，H0：=0，实验资料如果A、B存在互作，则与误差混淆，因而无法分析互作，也不能取得合理的实验误差估计。只有AB互作不存在时，才能正确估计误差。但在田间实验中，随机区组实验中，处理可看作A因素，区组可看作B因素，处理与区组的互作在理论上又是不应存在可看作为误差。故可按照表中的形式来整理实验数据。（见第9章）。表7-25 表7-24类型资料方差分析表 变异来源SSDFMSFSEA因素a1B因素误差总变异例7.5将A1、A2、A3、A4 4种生长素，并用B1、B2、B3 3种时间浸渍菜大豆品种种子，45天后测得各处理平均单株干物重（g）于表7-26。试作方差分析。表7-26 生长素处理大豆的实验结果生长素（A）浸渍时间（B）TAB1B2B3A110910299.67A2254113.67A31314144113.67A41212133712.33TB374041T=1189.310.010.3=9.831、平方和及自由度的分解 根据表表7-25将各项变异来源的平方和及自由度分解。将以上结果填入表7-27中，并将自由度直接填入表7-27。表7-27 表7-26资料的方差分析变异来源SSDFMSFF0。05F0。01生长素间177.0359.078.67*4.679.78时间间误差2.24.5261.10.751.475.1410.92总变异183.7112、列方差分析表进行F测验 对生长素间差异作F测验，假设H0：=0，得：F=MSA/MSe=59.0/0.75=78.67*，按，当v1=3，v2=6查F表得F0.05=9.78，现实得F=78.6F0.0l，故否定H0，不同的生长素差异极显著，需作多重比较。对浸渍时间间差异作F测验，假设H0：=0，得：F=MSB/MSe=1.1/0.75=1.47，按，当v1=2，v2=6查F表得F0.05=5.14，现实得F=1.47F0.05，故接受H0，三种浸渍时间间差异不显著。不需再作多重比较。3、生长素间比较当v=6时，查SSR值表得k=2、3、4时的SSR值，并算得各LSR值列于表7-28。进而进行多重比较列于表7-29。表7-28 4种生长素的LSR值kSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.465.241.732.6233.585.511.792.7643.645.651.822.83 表7-29 4种生长素处理的差异显著性生长素平均干物重(g/株)差异显著性=0.05=0.01A3A4A1A213.6712.339.673.67aabcAABC 推断：4种生长素对大豆单株平均干物重的效应，除A3与A4比较差异不显著外，其余4对比较都是极显著。二、组合内有重复观测值的两向分组资料的方差分析设实验有A、B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每一处理有n个观测值，于是资料共有abn个观测值。如果实验按完全随机设计，则其资料的类型如表7-30。表7-30两向分组资料每处理有重复观测值的数据结构A因素重复B因素TAB1BbA112A212Aa12T表7-30内符号的含义：TA为A因素总和。而、分别为A因素各个水平的总和。为A因素平均数。而、分别为A因素各个水平的平均数。为B因素各个水平的总和。为B因素平均数。而、分别为B因素各个水平的平均数。处理组合总和，而、为各个处理的总和。处理组合平均数，而、为各个处理的平均数。T实验资料总和，实验资料平均数，为资料内任一观测值。这类资料在方差分析时，总变异可分解为A因素、B因素、AB互作及误差4部分。其各变异来源的平方和与自由度公式见表7-31。表7-31 表7-30类型资料平方和与自由度的分解变异来源SSDFMSFSE处理组合ab1A因素B因素AB互作实验误差总变异在上述测验中，互作的分析非常重要。常首先由F=测验互作的显著性。如果互作不显著，则必须进而对A、B效应的显著性作测验，这时可以为F测验的分母。如果互作是显著的，则可以不必再测验A、B效应的显著性，可直接进入各处理组合的多重比较，但习惯上往往仍对各因素效应作测验。因为在互作显著时，因素平均效应的显著性在实际应用中的意义并不重要。 【例7.6】施用A1、A2、A3、A4 4种肥料于B1、B2、B3 3种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合3盆，得其产量结果（g）于表7-32。试作方差分析。 1、平方和及自由度的分解 根据表7-31计算各变异来源的平方和及自由度：将以上结果填入表7-32中，并将自由度直接填入表7-32。表7-32 4种肥料施于3种土壤的小麦产量（a=4，b=3，n=3，abn=36）肥料种类（A）盆号（n）土壤种类（B）TAB1（油沙）B2（二合）B3（黏土）A1112.013.013.3214.213.714.0118.213.1312.112.013.938.338.741.2A2112.814.212.0213.813.614.6122.013.6313.713.314.040.341.140.6A312321.421.219.618.817.616.617.5169.218.820.116.462.754.851.7A4115.313.114.5214.112.715.1127.314.1314.913.813.844.339.643.4185.6174.2176.9536.714.915.514.514.72、列方差分析表进行F测验表7-33 表7-32资料的方差分析变异来源SSDFMSFF0。05F0。01处理组合间213.741119.4324.66*2.223.09肥料间（A）土类间（B）186.395.9232162.132.9678.85*3.763.013.404.725.61肥料土类（AB）21.4363.574.53*2.513.67实验误差18.91240.788总变异232.6535由7-33可知，该实验肥类土类的互作和肥类的效应间差异都是极显著的，均需作多重比较，而土类间差异不显著，故不需作多重比较。3、平均数的比较（1）各处理组合平均数的比较 肥类土类的互作显著，说明各处理组合的效应不是各单因素效应的