量子力学曾谨言习题解答第七章.doc

第七章：粒子在电磁场中的运动1证明在磁场中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： （1） （2） （3）证明根据正则方程组： ，同理 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： = （4）正则动量与梯度算符相对应，即 ，因此 又仅与点的座标有关 （因）其余二式依轮换对称写出。2利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z轴方向）（解）设磁场沿Z轴方向，矢势的一种可能情形是在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）速度算符间的对易式是：根据（），分别和，对易，因此与对易，而：与有共同的本征函数，的本征值是本征值之和。 但，这和有心力势场一样是完全集合，（6）式是一个平面谐振子（二维）的能量算符和一个角动量分量算符之和，按7.2和前一章的第（15）题，（6）式中的本征值是 （7）又这个能量算符的本征值是可以连续取值的，它和沿z轴作自由运动的粒子的动能算符一样，因而有： 但取间任何值，E是连续谱。（3）证明在规范变换下 （1） （2） （机械动量的平均值）都不变 （3）（证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P243。17式） （4）则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后儿率密度：又设变换后儿率流密度是，将（4）代入（2）式右方，同时又代入 （5）注意到算符的对易关系推广到三维： （6）令则有： （7） (8)将（7）(8)代入（5）式等号右方第一项第二项，（5）式成为： （9）在证明第3式时，设变换后的 是 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和的矢势的变换式：前式第一个积分可重复用（7）式，得：命题得证4若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。（解）设粒子的柱座标是，取矢势的柱座标的分量度为 柱座标的梯度算符证明为以下形式 （1）式中的是一点上沿等势面作出的单位矢量，但和直角坐标的单位矢量不同，方向随着点变化，而且它们对的导数也 不是零，能证明： ， 参看附图计算哈氏算符：（要计及单位矢导数）（少图） (2) 观察（2）知道 =0， =0 ,但 =，=，因此，有共同本征函数，取（，）完全集合表示态，而波函数可含有，的本征函数作为其因式= （3）但m=0, k=任何值。将（3）代入的本征方程式： (4)在消去与和z有关系的公因式后得 （5）令 作自变量变换，则有： 代入（5）得 （6）式中 （7）其次求（6）的关于奇点上的近似解 时，（6）成为：渐近解时，（6）成为：渐近解，所以方程式（6）的特解可假设为：（8） 将（8）代入（6）后得关于的微分方程： （9） 这属于合流超几级数，后者的一般形式是： （10） 后者的解是合流超几级数；它表示为： （11）由于对比系数知道（9）的解是 （12）但从收敛的性质说，合流超几何级数的邻项比是（取极限），这和已知函数邻项比极限相同。 不适宜作为波函数，因此，若取（12）作为满足标准条件的解，级数需要中断，若（12）作为多项式最高幂n，则项的系数为零， 要求 +n=0即 （13） 从（7）知道，这条件是： 解出E，得到 （14）此式第一项与有关是沿纵方向（z轴）运动的能量，无磁场亦存在后项是磁场引起的。# 5设带电粒子相互的均匀电场和均匀磁场中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z轴，电场方向为x轴方向） 解 为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使 设电场的大小是,选择标势，使场沿着x轴， 哈密顿算符是：（1） 中不出现y和z，因此 可以依照本章中7。2均匀磁场中带电粒子的运动的解法，先求能量本征函数，由于，守恒，波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子： （2）代入能量本征方程式：整理，并约去同因式后，得到X（x）的本征方程 （3）或者简写作式中 ，方程式（3）明显的是一个沿x方向振动的谐振子的？定谔态 方程式，它的固有频率是，振动中心在一点上，同时具有能量本征值： 其中是有关于y、z方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是 (4)它的本征函数写作 （5）这外个运动点电荷的总能量E是： （6）#6设带电粒子在均匀磁场及三维各向同性谐振子场 中运动，求能谱公式。解 本题采用柱面座标时，可以像第4题那样，将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量本征值，解法也类似。 粒子座标为 令 此外应将谐振子的弹性力场写成柱面形成： 根据本章习题4中合 算符公式（2）再添上前述附加项： （1）哈氏算符的两面部分与有关，第二部分与z有关，这二者是对易，因此能量本征值也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分： （2）得到： （ 3）（3）式左方的哈氏算符可以和对易，因此可以和这个算符的本征函数有共同因式可设 但将（4）代入（3）得：整理后写成： (5)这个方程式和第4题的方程式（5）是相似的，其中，本题方程式（5）的相当于第4题（5）式的得，此外（5）式多出一项 这是谐振紫弹性力场势能，第四题的径向方程式是： 通过交换，得到合流超几何方程式（从略）以及能级公式 (6)式子的第一项是z方向运动的能量，第二项代表与有关横向能量，它与 成正比，将（5）与比较，令 得到本题的能级如下：（7） 这各能量公式的第一项是z向运动的方程式的决定的一维谐振自的能级，在公式（7）中 量子力学考试大纲 一绪论（3）1了解光的波粒二象性的主要实验事实；2掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 二波函数和薛定谔方程（12） (1)理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念 。 (2)掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性 (3)理解态叠加原理以及任何波函数(x，t)按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义 (4)了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位；薛定谔方程和定态薛定谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系 (5)对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法 (6)关于一维定态问题要求如下： a掌握一维无限阱的求解方法及其物理讨论； b掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点： c了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释 三力学量用算符表达（17）(1) 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算符(2) 掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数，它们的归一性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式 (3)电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例，学生应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法，特别是分离变量法 (4)掌握力学量平均值的计算方法将体系的状态波函数(x)按算符的本征函数展开是这些方法中常用的方法之一，学生应掌握这一方法计算力学量的可能值、概率和平均值理解在什么状态下力学量具有确定值以及在什么条件下，两个力学量同时具有确定值 (5)掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能量 (6)掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动量、角动量、宇称等 四态和力学量的表象（10） (1)理解力学量所对应的算符在具体的表象下可以用矩阵来表示；厄米算符与厄米矩阵相对应；力学量算符在自身表象下为一对角矩阵；(2)掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本征值、本征矢的矩阵方法(3)理解狄拉克符号及占有数表象 五微扰理论（16） (1)了解定态微扰论的适用范围和条件： (2)对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算(3)对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算 (4)掌握变分法的基本应用； (5)关于与时间有关的微扰论要求如下： a了解由初态 跃迁到末态的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式； b理解由微扰矩阵元Hfi0可以确定选择定则； c理解能量与时间之间的不确定关系：Et d理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由态跃迁到态的辐射强度均与矩阵元 的模平方2 成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则 (5)了解氢原子一级斯塔克效应及其解释 *六、散射问题（8） 七自旋和全同粒子（15） (1)了解斯特恩格拉赫实验电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率 (2)掌握自旋算符的对易关系和自旋算符的矩阵形式(泡利矩阵)与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法 (3)了解简单塞曼效应的物理机制 (4)了解L-S藕合的概念及碱金属原子光谱双线结构和物理解释 (5)根据量子力学的全同性原理、多体全同粒子波函数有对称和反对称之分掌握玻色子