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学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 2 1 2 1 映射 函数 反函数映射 函数 反函数 一 知识导学一 知识导学 1 映射 一般地 设 A B 两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合 A 中的任 何一个元素 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 那么这样的单值对应叫做集合 A 到集 合 B 的映射 记作 f A B 包括集合 A B 及 A 到 B 的对应法则 2 函数 设 A B 都是非空的数集 如果按某种对应法则 对于集合 A 中每一个元f 素 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 且 B 中每一个元素都的原象 这样的对应叫x 做从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 yf x 其中所有的输入值组成的集合 A 称为函数定义域 x yf x 对于 A 中的每一个 都有一个输出值与之对应 我们将所有输出值组成的集合xyy 称为函数的值域 3 反函数 一般地 设函数 y f x x A 的值域是 C 根据这个函数中 x y 的关系 用 y 把 x 表示出来 得到 x f 1 y 若对于 y 在 C 中的任何一个值 通过 x 在 A 中都有唯 一的值和它对应 那么 x f 1 y 就表示 y 是自变量 x 是自变量 y 的函数 这样的函数 叫做函数 y f x x A 的反函数 记作 x f 1 y 我们一般用 x 表示自变量 用 y 表示 函数 为此我们常常对调函数 x f 1 y 中的字母 x y 把它改写成 y f 1 x 反函数 y f 1 x 的定义域 值域分别是函数 y f x 的值域 定义域 二 疑难知二 疑难知识导析识导析 1 对映射概念的认识 1 与 是不同的 即 与 上有序的 或者说 映射是有方向的 2 输出值的集合是集合 B 的子集 即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值 集 合 A 中每一个输入值 在集合 B 中必定存在唯一的输出值 或者说 允许集合 B 中有剩留元 素 允许多对一 不允许一对多 3 集合 A B 可以是数集 也可以是点集或其它类型的集合 2 对函数概念的认识 1 对函数符号 的理解知道 y 与 的含义是一样的 它们都表示 是 f x f x f x 的函数 其中 是自变量 是函数值 连接的纽带是法则 是单值对应 f x 2 注意定义中的集合 A B 都是非空的数集 而不能是其他集合 3 函数的三种表示法 解析法 列表法 和图像法 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 3 对反函数概念的认识 1 函数y 只有满足是从定义域到值域上一一映射 才有反函数 f x 2 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域 因此反函数的定义域一般不 能由其解析式来求 而应该通过原函数的值域而得 3 互为反函数的函数有相同的单调性 它们的图像关于 y x 对称 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 设 M a b c N 2 0 2 求 1 从 M 到 N 的映射种数 2 从 M 到 N 的映射满足 a b f c 试确定这样的映射的种数 fff 错解错解 1 由于 M a b c N 2 0 2 结合映射的概念 有 共 6 个映射 220022 0 2 2 2 0 2 222220 aaaaaa bbbbbb cccccc 2 由 1 得满足条件的映射仅有一种情况 2 0 2 a b c 错因错因 没有找全满足条件的映射个数 关健是对概念认识不清 正解正解 1 由于 M a b c N 2 0 2 结合映射的概念 有 一共有 27 个映射 2 符合条件的映射共有 4 个 0222 2 2 0 0 2220 aaaa bbbb cccc 例例 2 2 已知函数的定义域为 0 1 求函数的定义域 f x 1 f x 错解错解 由于函数的定义域为 0 1 即 f x01x 112x 的定义域是 1 2 1 f x 错因错因 对函数定义域理解不透 不明白与定义域之间的区别与联系 其实在 f x f u x 这里只要明白 中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了 f xx f u x u x 正解正解 由于函数的定义域为 0 1 即 满足 f x01x 1 f x 011x 的定义域是 1 0 10 x 1 f x 例例 3 3 已知 求 xN 5 6 2 6 xx f x f xx 3 f 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 错解错解 5 6 2 6 xx f x f xx 2 2 53f xxx 故 3 3 0 5 6 3 6 xx f x xx 3 f 错因错因 没有理解分段函数的意义 的自变量是 3 应代入中去 而不是代入 3 f 2 f x 5 中 只有将自变量化为不小于 6 的数才能代入解析式求解 x 正解正解 5 6 2 6 xx f x f xx 7 5 2 3 f 32 5 ff 52 7 ff 例例 4 4 已知的反函数是 如果与的图像有交点 那么交点必在 f x 1 fx f x 1 fx 直线上 判断此命题是否正确 yx 错解错解 正确 错因错因 对互为反函数的图像关于直线对称这一性质理解不深 比如函数yx 的图像的交点中 点不在直线上 由此可以 1 16 1 log 16 x yyx 与 1 11 1 2 44 2 yx 说明说明 两互为反函数图像的交点必在直线上 是不正确的 yx 例例 5 5 求函数 的值域 2 46yf xxx 1 5 x 错解错解 22 1 14 163 5 545611ff 又 的值域是 1 5 x f x 311 错因错因 对函数定义中 输入定义域中每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应 错误地理解为 x 的两端点时函数值就是 y 的取值范围了 正解正解 配方 得 22 46 2 2yf xxxx 对称轴是 当时 函数取最小值为2 1 5 x 2x 2x 2 f 5 11f xf 的值域是 f x 211 例例 6 6 已知 求函数的解析式 34f xx 1 1 fx 错解错解 由已知得 1 3 1 437f xxx 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 即 37 yx 7 3 y x 1 1 fx 7 3 x 错因错因 将函数错误地认为是的反函数 是由于对函数表达式理解不透 1 1 fx 1 f x 彻所致 实际上与并不是互为反函数 一般地应该由先求 1 f x 1 1 fx f x 再去得到 1 fx 1 1 fx 正解正解 因为的反函数为 34f xx 1 fx 4 3 x 所以 1 1 fx 1 43 33 xx 1 1 3 x 例例 7 7 根据条件求下列各函数的解析式 1 已知是二次函数 若 求 f x 0 0 1 1ff xf xx f x 2 已知 求 1 2fxxx f x 3 若满足求 f x 1 2 f xfax x f x 解解 1 本题知道函数的类型 可采用待定系数法求解 设 由于得 f x 2 0 axbxca 0 0f 2 f xaxbx 又由 1 1f xf xx 22 1 1 1a xb xaxbxx 即 22 2 1 1axab xabaxbx 因此 21 1 0 2 1 abb aab ab f x 2 11 22 xx 2 本题属于复合函数解析式问题 可采用换元法求解 设 22 1 2 1 1 1 f uuuuu f x 2 1x 1x 3 由于为抽象函数 可以用消参法求解 f x 用代可得 1 x x 11 2 ff xa xx 与 1 2 f xfax x 联列可消去得 1 f x f x 2 33 aax x 1 0 1 1 uxxxuu 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 点评点评 求函数解析式 1 若已知函数的类型 常采用待定系数法 2 若已知 f x 表达式 常采用换元法或采用凑合法 3 若为抽象函数 常采用代换后消参法 f g x 例例 8 8 已知 试求的最大值 xyx623 22 22 yx 分析分析 要求的最大值 由已知条件很快将变为一元二次函数 22 yx 22 yx 然后求极值点的值 联系到 这一条件 既快又准地求 2 9 3 2 1 2 xxfx0 2 y 出最大值 解 由 得xyx623 22 2 0 03 2 3 0 3 2 3 22 22 xxxy xxy 又 2 9 3 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 当时 有最大值 最大值为 2 x 22 yx 4 2 9 32 2 1 2 点评点评 上述解法观察到了隐蔽条件 体现了思维的深刻性 大部分学生的作法如下 由 得 xyx623 22 3 2 3 22 xxy 2 9 3 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 当时 取最大值 最大值为 3 x 22 yx 2 9 这种解法由于忽略了这一条件 致使计算结果出现错误 因此 要注意审题 不仅0 2 y 能从表面形式上发现特点 而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件 既要注意主要的已知 条件 又要注意次要条件 甚至有些问题的观察要从相应的图像着手 这样才能正确地解 题 例例 9 9 设是 R 上的函数 且满足并且对任意的实数都有 f x 0 1 f x y 求的表达式 21 f xyf xyxy f x 解法解法一一 由 设 0 1 f 21 f xyf xyxy xy 得 所以 0 21 ff xxxx f x 2 1xx 解法二解法二 令 得0 x 0 0 1 fyfyy 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 即 1 1 fyyy 又将用代换到上式中得 y x f x 2 1xx 点评点评 所给函数中含有两个变量时 可对这两个变量交替用特殊值代入 或使这两个变量 相等代入 再用已知条件 可求出未知的函数 具体取什么特殊值 根据题目特征而定 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 已知函数 f x x F 那么集合 x y y f x x F x y x 1 中所含元素 的个数是 A 0 B 1 C 0 或 1 D 1 或 2 2 对函数作代换x g t 则总不改变f x 值域的代换是 A baxxxf 2 3 B ttg 2 1 log t tg 2 1 C g t t 1 2D g t cost 3 方程f x y 0 的曲线如图所示 那么方程f 2 x y 0 的曲线是 4 06 年高考全国 II 函数 f x 的最小值为 19 i 1 x n A 190 B 171 C 90 D 45 5 若函数f x x 在定义域内恒有f f x x 则m等于 34 x mx 4 3 A 3B C D 3 2 3 2 3 6 已知函数满足 则 f x f abf af b 1 2f 2222 1 2 2 4 3 6 4 8 1 3 5 7 ffffffff ffff 7 已知函数f x 满足f logax 其中a 0 a 1 x 0 求f x 的表达式 1 1 2 x x a a 8 已知函数是函数 R 的反函数 函数的图像与函数 f x 2 1 101 x y x g x 的图像关于直线 y x 1 成轴对称图形 记 43 1 x y x F x f x g x 1 求函数 F x 的解析式及定义域 2 试问在函数 F x 的图像上是否存在两个不同的点 A B 使直线 AB 恰好与 y 轴垂直 若存在 求出 A B 两点的坐标 若不存在 说明理由 ABCD 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 2 2 2 2 函数的性质函数的性质 一 知识导学一 知识导学 1 函数的单调性 1 增函数 一般地 设函数的定义域为 I 如果定义域 I 内某个区间上任 yf x 意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在这个区间上是增 函数 2 减函数 一般地 设函数的定义域为 I 如果定义域 I 内某个区间上任 yf x 意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在这个区间上是减 函数 3 单调性 单调区间 如 y f x 在某个区间上是增函数或减函数 那么就说函数 f x 在 这区间上具有单调性 这一区间叫做函数 y f x 的单调区间 2 函数的奇偶性 1 奇函数 一般地 如果对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么函数 f x 就叫做奇函数 2 一般地 如果对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 函数 f x 就叫做偶函数 3 如果函数 f x 是奇函数或偶函数 那么就说 f x 具有奇偶性 3 函数的图像 将自变量的一个值 x0作为横坐标 相应的函数值 f x0 作为纵坐标 就得到平面内的一个点 x0 f x0 当自变量取遍函数定义域内的每一个值时 就得到 一系列这样的点 所有这些点的集合 点集 组成的图形就是函数 y f x 的图像 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 对函数单调性的理解 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨 论 函数 y f x 在给定区间上的单调性 反映了函数在区间上函数值的变化趋势 是函数 在区间上的整体性质 但不一定是函数在定义域上的整体性质 函数的单调性是对某个区间 而言的 所以要受到区间的限制 2 对函数奇偶性定义的理解 不能只停留在 f x f x 和 f x f x 这两个等式上 要明确对定义域内任意一个 x 都有 f x f x f x f x 的实质 函数的定义域关于 原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 稍加推广 可得函数 f x 的图像关于直线 x a 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 对称的充要条件是对定义域内的任意 x 都有 f x a f a x 成立 函数的奇偶性是其相应 图像的特殊的对称性的反映 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用 根据已知条件 调动相关知识 选择恰当的方法解决问题 是对学生能力的较高要求 3 用列表描点法总能作出函数的图像 但是不了解函数本身的特点 就无法了解函数 图像的特点 如二次函数图像是抛物线 如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴 盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 判断函数的单调性 1 3 x y 错解错解 是减函数 11 01 33 x y 错因错因 概念不清 导致判断错误 这是一个复合函数 而复合函数的单调性 或单调区间 仍是从基础函数的单调性 或单调区间 分析 但需注意内函数与外函数的单调性的变化 当然这个函数可化为 从而可判断出其单调性 3xy 正解正解 令 则该函数在 R 上是减函数 又在 R 上是减函数 tx 11 01 33 t y 是增函数 1 3 x y 例例 2 2 判断函数的奇偶性 1 1 1 x f xx x 错解错解 1 1 1 x f xx x 22 1 1 1 1 x xx x 22 1 1 fxxxf x 是偶函数 1 1 1 x f xx x 错因错因 对函数奇偶性定义实质理解不全面 对定义域内任意一个 x 都有 f x f x f x f x 的实质是 函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 正解正解 有意义时必须满足 1 1 1 x f xx x 1 011 1 x x x 即函数的定义域是 由于定义域不关于原点对称 所以该函数既不是x11x 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 奇函数也不是偶函数 例 3 判断的奇偶性 2 2 log 1 f xxx 错解错解 1 log 1 log 2 2 2 2 xxxxxf 且 xfxf xfxf 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 错因错因 对数运算公式不熟悉 或者说奇偶性的判别方法不灵活 定义中 f x f x f x f x 也可改为研究 f x f x 0 f x f x 0 是否成立 正解正解 方法一 1 log 1 log 2 2 2 2 xxxxxf 1 1 log 2 2 xx 1 log 2 2 xx xf 是奇函数 xf 方法二 1 log 1 log 2 2 2 2 xxxxxfxf 01log 1 1 log 2 22 2 xxxx 是奇函数 xfxf xf 例例 4 4 函数 y 的单调增区间是 2 45xx 错解错解 因为函数的对称轴是 图像是抛物线 开口向下 由图 2 54g xxx 2x 可知在上是增函数 所以 y 的增区间是 2 54g xxx 2 2 45xx 2 错因错因 在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法 但没有考虑到函数的单 调性只能在函数的定义域内来讨论 从而忽视了函数的定义域 导致了解题的错误 正解正解 y 的定义域是 又在区间上增函数 2 45xx 5 1 2 54g xxx 5 2 在区间是减函数 所以 y 的增区间是 2 1 2 45xx 5 2 例例 5 5 已知奇函数f x 是定义在 3 3 上的减函数 且满足不等式f x 3 f x2 3 0 求x的取值范围 错解错解 f x 是奇函数 f x 3 3 x2 即x2 x 6 0 解得x 2 或x 3 又 f x 是定义在 3 3 上的函数 所以 2 x 3 错因错因 只考虑到奇函数与单调性 而没有正确理解函数的定义域 正解正解 由 故 0 x 66 60 333 333 2 x x x x 得6 又 f x 是奇函数 f x 3 3 x2 即x2 x 6 0 解得x 2 或x 3 综上得 2 x 即A x 2 x 66 例例 6 6 作出下列函数的图像 1 y x 2 x 1 2 lg 10 x y 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难 除去对其函数性质分析外 我们 还应想到对已知解析式进行等价变形 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思 想 解 1 当 x 2 时 即 x 2 0 时 当 x 2 时 即 x 2 0 时 所以 2 4 9 2 1 2 4 9 2 1 2 2 xx xx y 这是分段函数 每段函数图像可根据二次函数图像作出 见图 2 当 x 1 时 lgx 0 y 10lgx x 当 0 x 1 时 lgx 0 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 所以 这是分段函数 每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出 见图 点评 作不熟悉的函数图像 可以变形成基本函数再作图 但要注意变形过程是否等价 要特别注意 x y 的变化范围 因此必须熟记基本函数的图像 例如 一次函数 反比例函数 二次函数 指数函数 对数函数 及三角函数 反三角函数的图像 例例 7 7 若 f x 在区间 2 上是增函数 求 a 的取值范围 2 1 x ax 解解 设 12 1212 12 11 2 22 axax xxf xf x xx 1221 12 12121221 12 112212 1212 1 2 1 2 2 2 22 22 2 2 22 21 2 2 2 2 axxaxx xx ax xaxxax xaxx xx axxaxxaxx xxxx 由f x 在区间 2 上是增函数得 2 1 x ax a 12 0f xf x 210a 2 1 点评点评 有关于单调性的问题 当我们感觉陌生 不熟悉或走投无路时 回到单调性的定义 上去 往往给我们带来 柳暗花明又一村 的感觉 例例 8 8 已知函数f x 在 1 1 上有定义 f 1 当且仅当 0 x 1 时f x 0 且对任 2 1 意x y 1 1 都有f x f y f 试证明 xy yx 1 1 f x 为奇函数 2 f x 在 1 1 上单调递减 解解 证明 1 由f x f y f 令x y 0 得f 0 0 令y x 得f x f x f xy yx 1 f 0 0 f x f x f x 为奇函数 2 1x xx 2 先证f x 在 0 1 上单调递减 令 0 x1 x2 1 则f x2 f x1 f x2 f x1 f 21 12 1xx xx 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 0 x1 x20 1 x1x2 0 0 21 12 1xx xx 又 x2 x1 1 x2x1 x2 1 x1 1 0 x2 x1 1 x2x1 0 1 由题意知f 0 12 12 1xx xx 21 12 1xx xx 即f x2 时 f x 0 2 1 1 求证 f x 是单调递增函数 2 试举出具有这种性质的一个函数 并加以验证 7 已知函数y f x a b c R a 0 b 0 是奇函数 当x 0 时 f x 有最小值 2 cbx ax 1 2 其中b N 且f 1 2 5 1 试求函数f x 的解析式 2 问函数f x 图像上是否存在关于点 1 0 对称的两点 若存在 求出点的坐标 若不 存在 说明理由 2 3 2 3 基本初等函数基本初等函数 一 知识导学一 知识导学 1 二次函数的概念 图像和性质 1 注意解题中灵活运用二次函数的一般式 2 0 f xaxbxca 二次函数的顶点式和 2 0 f xa xmna 二次函数的坐标式 12 0 f xa xxxxa 2 解二次函数的问题 如单调性 最值 值域 二次三项式的恒正恒负 二次方程根 的范围等 要充分利用好两种方法 配方 图像 很多二次函数都用数形结合的思想去解 当时图像与 x 轴有两个交点 2 0 f xaxbxca 2 40bac M x1 0 N x2 0 MN x1 x2 a 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值 它只能在区间的端点或二次函数的顶 点处取得 2 指数函数和对数函数的概念和性质 x ya 0 1 aa logayx 0 1 aa 1 有理指数幂的意义 幂的运算法则 这时 m n 是有理数 mnm n aaa mnmn aa n nn aba b 对数的概念及其运算性质 换底公式 log loglog logloglog aaaaaa M M NMNMN N 1 loglog loglog nn aaaa MnMMM n log log log c a c b b a 2 指数函数的图像 单调性与特殊点 对数函数的图像 单调性与特殊点 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 指数函数图像永远在 x 轴上方 当 a 1 时 图像越接近 y 轴 底数 a 越大 当 0 a1 时 图像越接近 x 轴 底数 a 越大 当 0 a 1 时 图像越接近 x 轴 底数 a 越 小 3 幂函数的概念 图像和性质 yx 结合函数y x y x2 y x3 y y 的图像 了解它们的变化情况 12 yxyx 1 2 x 0 时 图像都过 0 0 1 1 点 在区间 0 上是增函数 注意 1 与 01 时 指数大的图像在上方 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像 二次函数的对称 轴与区间的位置通常有三种情况 1 定义域区间在对称轴的右侧 2 定义域区间在 对称轴的左侧 3 对称轴的位置在定义域区间内 2 幂的运算性质 对数的运算性质的运用 要注意公式正确使用 会用语言准确叙述这些 运算性质防止出现下列错误 1 式子 nn aa 2 log loglog log loglog aaaaaa MNMNM NMN 3 利用指数函数的性质解题 一定要注意底数的取值 4 函数的研究方法一般是先研究的性质 再由的情况讨论的 f x ya f xa f x ya 性质 5 对数函数与指数函数互为反函数 会将logayx 0 1 aa x ya 0 1 aa 指数式与对数式相互转化 6 幂函数的性质 要注意的取值变化对函数性质的影响 yx 1 当时 幂函数是奇函数 2 当时 幂函数是偶函数 3 当 奇 奇 奇 偶 时 定义域不关于原点对称 幂函数为非奇非偶函数 偶 奇 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 已知求 18 log 9 185 b a 36 log45 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 错解错解 185 b 18 log 5b 181818 36 18181818 log45log 5log 9 log45 log 36log4log 9log4 ba a 错因错因 因对性质不熟而导致题目没解完 正解正解 185 b 18 log 5b 181818 36 2 181818 1818 log45log 5log 9 log45 1818 log 36log4log 92 log 2log 99 bababa a aa 例例 2 2 分析方程 的两个根都大于 1 的充要条件 2 0f xaxbxc 0a 错解错解 由于方程 对应的二次函数为 2 0f xaxbxc 0a 的图像与 x 轴交点的横坐标都大于 1 即可 2 f xaxbxc 故需满足 所以充要条件是 1 0 1 2 f b a 1 0 1 2 f b a 错因错因 上述解法中 只考虑到二次函数与 x 轴交点坐标要大于 1 却忽视了最基本的的前 题条件 应让二次函数图像与 x 轴有交点才行 即满足 0 故上述解法得到的不是充要 条件 而是必要不充分条件 正解正解 充要条件是 2 1 0 1 2 40 f b a bac 例例 3 3 求函数的单调区间 3612 65 xx y 错解错解 令 则 6xt 3612 65 xx y 2 125tt 当 t 6 即 x 1 时 y 为关于 t 的增函数 当 t 6 即 x 1 时 y 为关于 t 的减函数 函数的单调递减区间是 单调递增区间为3612 65 xx y 6 6 错因错因 本题为复合函数 该解法未考虑中间变量的取值范围 正解正解 令 则为增函数 6xt 6xt 3612 65 xx y 2 125tt 2 6 41t 当 t 6 即 x 1 时 y 为关于 t 的增函数 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 当 t 6 即 x 1 时 y 为关于 t 的减函数 函数的单调递减区间是 单调递增区间为3612 65 xx y 1 1 例例 4 4 已知在 0 1 上是的减函数 则的取值范围是 2 logaxy a xa 错解错解 是由 复合而成 又 0 2 logaxy a uy a log axu 2a 在 0 1 上是的减函数 由复合函数关系知axu 2x 应为增函数 1uy a log a 错因错因 错因 解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系 却忽视了数定义域的限制 单调区间应是定义域的某个子区间 即函数应在 0 1 上有意义 正解正解 是由 复合而成 又 0 2 logaxy a uy a log axu 2a 在 0 1 上是的减函数 由复合函数关系知axu 2x 应为增函数 1uy a log a 又由于 在 0 1 上时 有意义 又是减函数 1 时 x 2 logaxy a axu 2x 取最小值是 0 即可 2axu 2au 2 min a 综上可知所求的取值范围是 1 2a 例例 5 5 已知函数 log 3 a f xax 1 当时恒有意义 求实数的取值范围 0 2 x f xa 2 是否存在这样的实数使得函数在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为 1 a f x 如果存在 试求出的值 如果不存在 请说明理由 a 分析分析 函数为复合函数 且含参数 要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解 f x 题思路 是否存在性问题 分析时一般先假设存在后再证明 解 解 1 由假设 0 对一切恒成立 ax 3 0 2 x 0 1aa 显然 函数 g x 在 0 2 上为减函数 从而 g 2 0 得到 ax 332a a 3 2 的取值范围是 0 1 1 a 3 2 2 假设存在这样的实数 由题设知 即 1a 1 1f 1 log 3 a fa 此时a 3 2 3 log 3 2 a f xx 当时 没有意义 故这样的实数不存在 2x f x 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 点评点评 本题为探索性问题 应用函数 方程 不等式之间的相互转化 存在性问题一般的 处理方法是先假设存在 结合已知条件进行推理和等价转化 若推出矛盾 说明假设不成 立 即不存在 反之没有矛盾 则问题解决 例例 6 6 已知函数f x 其中为常数 若当x 1 时 f x 有 1 421 lg 2 aa a xx a 意义 求实数a的取值范围 分析分析 参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中 欲直接建立关于的不等式 组 非a 常困难 故应转换思维角度 设法从原式中把分离出来 重新认识与其它变元 x 的依aa 存关系 利用新的函数关系 常可使原问题 柳暗花明 解 0 且a2 a 1 a 2 0 1 421 2 aa a xx 2 1 4 3 1 2x 4x a 0 a 2 1 4 1 xx 当x 1 时 y 与y 都是减函数 x 4 1 x 2 1 y 在 1 上是增函数 max 2 1 4 1 xx 2 1 4 1 xx 4 3 a 故a的取值范围是 4 3 4 3 点评 点评 发掘 提炼多变元问题中变元间的相互依存 相互制约的关系 反客为主 主客换 位 创设新的函数 并利用新函数的性质创造性地使原问题获解 是解题人思维品质高的 表现 本题主客换位后 利用新建函数y 的单调性转换为函数最值巧妙地求出 2 1 4 1 xx 了实数a的取值范围 此法也叫主元法 例例 7 7 若 试求的取值范围 11 33 1 32 aa a 解解 幂函数有两个单调区间 1 3 yx 根据和的正 负情况 有以下关系 1a 32a 10 320 132 a a aa 10 320 132 a a aa 10 320 a a 解三个不等式组 得 无解 1 2 3 a 3 2 a 的取值范围是 1 a 2 3 3 2 点评点评 幂函数有两个单调区间 在本题中相当重要 不少学生可能在解题中误认 1 3 yx 为 从而导致解题错误 132aa 例例 8 8 已知 a 0 且 a 1 f log a x x 1 2 a a x 1 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 1 求 f x 2 判断 f x 的奇偶性与单调性 3 对于 f x 当 x 1 1 时 有 f 1 m f 1 m2 0 求 m 的集合 M 分析分析 先用换元法求出 f x 的表达式 再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性 然 后利用以上结论解第三问 解 1 令 t logax t R 则 1 1 22 Rxaa a a xfaa a a tfax xxttt 101 10 0 1 1 1 2 22 aaxfaaaxu a a axfRxxfaa a a xf xx xx 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数 时当为奇函数且 f x 在 R 上都是增函数 1 1 1 1 0 1 1 3 22 x mfmfRxfmfmf 又上是增函数是奇函数且在 21 11 111 111 2 2 m mm m m 点评点评 对含字母指数的单调性 要对字母进行讨论 对本例的 不需要代入 f x 的表达 式可求出 m 的取值范围 请同学们细心体会 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 函数的图像如图 其中a b 为常数 则下列结论正确的是 bx axf A B 0 1 ba0 1 ba C D 0 10 ba0 10 ba 05 年高考福建试题 2 已知 2lg x 2y lgx lgy 则的值为 y x A 1 B 4 C 1 或 4 D 4 或 8 3 方程 0 a 1 的解的个数为 2 1 log 2 xx a A 0 B 1 C 2 D 3 4 函数 f x 与 g x x的图像关于直线 y x 对称 则 f 4 x2 的单调递增区间是 2 1 A B C D 0 0 2 0 0 2 5 图中曲线是幂函数 y xn在第一象限的图像 已知 n 可取 2 四个值 则相应于曲线 c1 c2 c3 c4的 n 依次为 1 2 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 A 2 2 B 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 C 2 2 D 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 求函数 y log 2 x2 5x 6 的定义域 值域 单调区间 7 若 x 满足 求 f x 最大值和最小值 03log14 log2 4 2 2 1 xx 2 log 2 log 2 2 xx 8 已知定义在 R 上的函数为常数 2 2 x x a f x a 1 如果 求的值 f x fx a 2 当满足 1 时 用单调性定义讨论的单调性 f x f x 2 4 2 4 函数与方程函数与方程 一 知识导学 1 函数的零点与方程的根的关系 一般地 对于函数 我们称方程的实数根也叫做函数 yf x xD 0f x x 的零点 即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值 求综合方程f x g x 的根或根 的个数就是求函数的零点 yf xg x 2 函数的图像与方程的根的关系 一般地 函数 的图像与轴交点的横坐标就是的根 综 yf x xD x 0f x 合方程f x g x 的根 就是求函数y f x 与y g x 的图像的交点或交点个数 或求方 程的图像与轴交点的横坐标 yf xg x x 3 判断一个函数是否有零点的方法 如果函数在区间 a b 上图像是连续不断的曲线 并且有 yf x 0f af b 那么 函数在区间 a b 上至少有一个零点 即至少存在一个数使得 yf x ca b 这个 c 也就是方程的一个根 对于我们学习的简单函数 可以借助 0f c 0f x 图像判断解的个数 或者把写成 然后借助 yf x f x g xh x yg x 的图像的交点去判断函数的零点情况 yh x f x 4 二次函数 一元二次方程 二次函数图像之间的关系 二次函数的零点 就是二次方程的根 也是二次函 2 yaxbxc 2 0axbxc 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 数的图像与 x 轴交点的横坐标 2 yaxbxc 5 二分法 对于区间 a b 上的连续不断 且的函数 通过不断地把函 0f af b yf x 数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的 方法叫做二分法 二 疑难知识导析 1 关于函数的零点 就是方程的实数根 也就是 yf xg x f xg x 与函数图像的交点的横坐标 要深刻理解 解题中灵活运用 yf x yg x 2 如果二次函数 在闭区间 m n 上满足 那么方 2 yf xaxbxc 0f mf n 程在区间 m n 上有唯一解 即存在唯一的 使 2 0axbxc 1 xm n 1 0f x 方程另一解 2 0axbxc 2 xmn 3 二次方程的根在某一区间时 满足的条件应据具体情形而定 如二次方 2 0axbxc 程 的根都在区间时 f x 2 0axbxc m n 应满足 0 2 0 0 b mn a f m f n 4 用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 1 取一个区间 使 a b 0f af b 2 取区间的中点 0 2 ab x 3 计算 若 则就是的解 计算终止 若 0 f x 0 0f x 0 x 0f x 则解位于区间 中 令 若则解 0 0f af x 0 a x 110 aa bx 0 0f xf b 位于区间 令 0 x b 101 ax bb 4 取区间是 的中点 重服第二步 第三骤直到第 n 步 方程的解 11 a b 11 1 2 ab x 总位于区间 内 nn a b 5 当精确到规定的精确度的近似值相等时 那么这个值就是所求的近似解 nn a b 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 三 经典例题导讲 例例 1 1 已知函数若时 0 恒成立 求的取值范 2 3f xxaxa 2 2 x f xa 围 错解错解 一 恒成立 0 恒成立 0f x 2 4 3 aa 解得的取值范围为a62a 错解错解 二 若时 0 恒成立 2 3f xxaxa 2 2 x f x 即 2 0 2 0 f f 2 2 2 230 2230 aa aa 解得的取值范围为a 7 7 3 a 错因错因 对二次函数 当上 0 恒成立时 0 f x 2 axbxc xR f x 片面理解为 0 恒成立时 0 或者理解为 2 axbxc 2 2 x 2 0 2 0 f f 这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误 二次函数最值问题中 轴变区间定 要对 对称轴进行分类讨论 轴定区间变 要对区间进行讨论 正解正解 设的最小值为 f x g a 1 当即 4 时 7 3 0 得故此时不存在 2 2 a a g a 2 f a 7 3 a a 2 当即 4 4 时 3 0 得 6 2 2 2 2 a a g aa 2 4 a a 又 4 4 故 4 2 aa 3 即 4 时 7 0 得 7 又 42 2 a a g a 2 faaa 故 7 4a 综上 得 7 2a 例例 2 2 已知有且只有一根在区间 0 1 内 求的取值范围 2 10mxx m 错解错解 设 有且只有一根在区间 0 1 内 2 1f xmxx 2 10mxx 得 2 0 1 0ff m 错因错因 对于一般 若 那么 函数在区间 a b 上至少有 f x 0f af b yf x 一个零点 但不一定唯一 对于二次函数 若则在区间 a b 上存在 f x 0f af b 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 唯一的零点 一次函数有同样的结论成立 但方程 0 在区间 a b 上有且只有一根时 不仅是 也有 f x 0f af b 可能 如二次函数图像是下列这种情况时 就是这种情况 0f af b 由图可知 0 在区间 a b 上有且只有一根 但是 f x 0f af b 正解正解 设 1 当 0 时方程的根为 1 不满足条件 2 1f xmxx m 2 当 0 有且只有一根在区间 0 1 内m 2 10mxx 又 1 0 0 f 有两种可能情形 得 2 1 0f m 或者 得不存在 1 1 0 2 f m 且0 0 即 21 xxxxaxxfxF xfx 1 1 21 21111 axxx axaxxxxFxxxFxxxfx 0 21 xxx a 1 01 0 21 axxx 0 1 xfx 综合得 1 xxfx 2 依题意知 又 a b x 2 0 a b xx 1 21 a axax a xxa a b x 2 1 2 1 2 2121 0 01 2 ax 22 11 0 x a ax x 点评点评 解决本题的关健有三 一是用作差比较法证明不等式 二是正确选择二次函数的表 达式 即本题选用两根式表示 三要知道二次函数的图像关于直线对称 此直线为二次函 数的对称轴 即 a b x 2 0 例例 8 8 已知函数 且方程有实根 0 1 1 2 2 fbccbxxxf01 xf 1 求证 3 c 1 b 0 2 若 m 是方程的一个实根 判断的正负并加以证明01 xf 4 mf 分析 1 题中条件涉及不等关系的有和方程有实根 1 bc01 xf 及一个等式 通过适当代换及不等式性质可解得 2 本小题只要判断0 1 f 的符号 因而只要研究出值的范围即可定出符号 4 mf4 m 4 mf 1 证明 由 得 1 2b c 0 解得 又 0 1 f 2 1 c b1 bc 1c c 2 1 解得 3 1 3 c 又由于方程有实根 即有实根 01 xf012 2 cbxx 故即解得或0 1 44 2 cb0 1 4 1 2 cc3 c1 c 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 36 由 得 0 13 c 2 1 c bb 2 cbxxxf 2 2 1 1 2 xcxcxcx c m 1 如图 01 mf c 4 m 4 3b c 且 f 1 0 证明 f x 的图像与 X 轴相交 2 证明 若对 x1 x2 且 f x1 f x2 则方程必有一实根R 2 21 xfxf xf 在区间 x1 x2 内 3 在 1 的条件下 是否存在实数 m 使 f m a 成立时 f m 3 0 2 5 2 5 函数的综合运用函数的综合运用 一 知识导学一 知识导学 1 在应用中深化基础知识 在复习中基础知识经历一个由分散到系统 由单一到综合 的发展过程 这个过程不是一次完成的 而是螺旋式上升的 因此要在应用深化基础知识的 同时 使基础知识向深度和广度发展 2 以数学知识为载体突出数学思想方法 数学思想方法是观念性的东西 是解决数学 问题的灵魂 同时它又离不开具体的数学知识 函数内容最重要的数学思想是函数思想和数 形结合的思想 此外还应注意在解题中运用的分类讨论 换元等思想方法 解较综合的数学 问题要进行一系列等价转化或非等价转化 因此本课题也十分重视转化的数学思想 3 要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养 函数是数学 复习的开始 还不可能在大范围内综合运用知识 但从复习开始就让学生树立综合运用知识 解决问题的意识是十分重要的 推理论证能力是学生的薄弱环节 近几年高考命题中加强对 这方面的考查 尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的 本课题在例题安排上作了 这方面的考虑 4 函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题 要求各位同学 有较宽的知识面 能读懂题意 然后对问题进行分析 灵活运用所学过的数学知识 建立 量与量的函数关系 把实际问题材转化为函数问题 通过对函数问题材的解决达到实际问 题解决目的 二 疑难知二 疑难知识导析识导析 1 为了能较快地解决函数综合问题 要求各位学生 在全面复习函数有关知识的基础上 进一步深刻理解函数的有关概念 全面把握各 类函数的特征 提高运用基础知识解决问题的能力 掌握初等数学研究函数的方法 提高研究函数的能力 重视数形结合数学思想方法 的运用和推理论证能力的培养 初步沟通函数与方程 不等