定比分点坐标公式应用.doc

14 定比分点坐标公式应用一、 教学目标（一） 知识教学点定比分点坐标公式及应用。（二） 能力训练点培养学生应用知识的能力。二、 教材分析1、 重点：利用定比分点的坐标公式求分点或端点的坐标与比值。（解决办法：通过分析、总结。）2、 难点：具体问题中比值的求法。（解决办法：归纳、总结。）三、活动设计1、 活动：思考、提问、交流、练习2、 教具：直尺、投影仪。四、教学过程（一） 复习提问师：点P分P1 P2 所成的比1 = P1 P/ P P2 ，2 = P2 P/ P P1 。2 =1/1 即1 与2 互为倒数关系。师：P点分P1 P2 所成的比，定比分点坐标分式，中点坐标公式。生2答： x= x1+x2 /1+ ， y= y 1+y 2 /1+； x= x1+x2 /2 ， y= y 1+y 2 /2。（二） 题例讲解 例1 已知三角形顶点是A （x1 、y1），B （x2 、y2），C （x3 、y3），求ABC的重心G的坐标（x ，y），见图1-18。 师：重心G是三条中线的交点，连AG并延长交BC于点D，G是AD上的定比分点，且AG/GD=2，可以用定比分点坐标公式来求，但D点坐标不知如何求？生3答：D是BC的中点，可用中点坐标公式来求D点的坐标。师：D点坐标为（x1+x3）/（2），（y1 +y3）/（2） 设G点分AD所成的比为。 =AG/GD=|AG|/|GD|=2 x= x1+2x1+x3 /2/1+2= x1+x2+x3 /3 y= y 1+2y 1+ y 3 /2/1+2= y 1+ y 2+ y 3 /3重心G的坐标为（x1+x2+x3 ）/（3），（y 1+ y 2+ y 3 ）/（3）说明：重心G的坐标可作公式用。看屏幕：例2 线段AB的端点为A（x，5）、B（-2，y），在直线AB上取一点C（1，1），使|AC|=2|BC|，求x和y。（学生自我练习，一位同学上黑板练习，其间教师巡视，对个别差生给予启发。）生4答：|AC|=2|BC| （x-1）2+（y-1）2 =（-2-1）2+（y-1）2 师：该解法还差一条件，以后会学的。生5解：设点C分AB所成的比为，则=AC/CB|=|AC|/|CB|=|AC|/|CB|=2|BC|/|CB|=2|CB|/|CB|=2=2当=2时，C为AB的内分点有 1=x+2(-2)/1+2 x=7 1=5+2y/1+2 y=-1当=-2时，C为AB的外分点有 1=x+2(-2)/1-2 x=-5 1=5+（-2）y/1-2 y=3x=7 ，y=-1或x=-5，y=3。师：上述解法，充分考虑了点C是AB的定比分点这一条件，应用定比分点坐标公式来求值，通过该例，我们认识到，定比分点公式应用一是用来研究端点、分点、比值间的关系；定比分点坐标公式不是另一应用，证明三点共线，只须证明一点是另两点的定比分点。看屏幕：例3 已知三解形的三个顶点是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求ABC的A的平分线AD的长（图1-19）。生6答：要求|AD|，只须求出D点坐标，D点是BC的定比分点，可用定比分点坐标公式求D点坐标。师：D点分BC所成的比值如何求呢？生7答：设D点分BC所成的比为=BD/DC=|BD|/|DC|=|AB|/|AC|A（4，1） B（7，5） C（-4，7），|AB|=（7-4）2+（5-1）2=5 |AC|=（-4-4）2+（7-1）2=10=BD/DC=|AB|/|AC|=5/10=1/2设D点坐标为（x,y）x=7+1/2（-4）/1+1/2=10/3y=5+1/27/1+1/2=17/3D（10/3，17/3）|AD|=（10/3-4）2+（17/3-1）2 =（-2/3）2+（-14/3）2 = 4+196/9=200/9 =10/3（三） 课后小结（1） 定比分点坐标公式的应用。（2） 比值的求法：先确定的符号，再求其绝对值大小。五、布置作业1、 教材第12页，第11、12、13、14题。2、 已知矩形相邻两个顶点A（11，5）、B（4，12），其对角线的交点在x轴上，求它另两个顶点的坐标（见图1-20）。解：设对角线交点G（x，0）|GA|=|GB|（x-11）2+（0-5）2 =（x-4）2+（0-12）2x=-1 G（-1，0）设C（x1,y1），D（x2,y2）G是AC中点-1= x1+11/2， 0= y1+5/ xx1=-13 y1=-5 C（-13，-5）同理可求D（-6，-12）六、板书设计14定比分点坐标公式应用一、 复习提问定比分点坐标公式中点坐标公式二、 三解形重心坐标公式推导三、 题例讲解例2例3四、 归纳总结五、布置作业二 直线的方程1 5一次函数的图象与直线的方程1 6直线的倾斜角和斜率一、 教学目标（一） 知识教学点知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式。 （二）能力训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力。 （三）学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想。二、 教材分析 1、重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫。 2、难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程和直线的对应关系是难点，由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了。 3、疑点：是否有继续研究直线方程的必要？三、 活动设计启发、思考、问答、讨论、练习四、 教学过程（一） 复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点A（1，2）和点B（2，1）是否在函数图象上。初中我们是这样解答的：A（1，2）的坐标满足函数式，点A的函数图象上。B（2，1）的坐标不满足函数式，点B不在函数图象上。现在我们问；这样解答的理论依据是什么？（这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会。）讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式，简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系。（二） 直线的方程引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是。一次函数y=kx+b,x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应。以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线。上面的定义可简言之：（方程）有一个解（直线上）就有一个点；（直线上）有一个点（方程）就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的。显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念（三） 进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究（四） 直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的a.特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0a180直线倾斜角角的定义有下面三个要点：（1）以x轴正向作为参考方向（始边）；（2）直线向上的方向作为终边；（3）最小正角（五） 直线的斜率倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示，即 k=tga当a0,/）时，k0，+）；当a=/2时，直线的斜率不存在；当a（/2，）时，k（-，0），直线斜率反映了直线对x轴的倾斜程度。直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率。（六） 过两点的直线的斜率公式在坐标平面上，已知两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2），由于两点可以确定一条直线，直线P1 P2 就是确定的，当x1 x2 时，直线的倾角不等于90时，这条直线的斜率也是确定的，怎样用P2 和P1 的坐标来表示这条直线的斜率？设直线P1 P2 的倾斜角是a，斜率是k，P1 P2 是向上的方向，从P1 、P2 分别向x轴作垂线P1 M1 、P2 M2 ，再作P1 OP2 M，垂足分别是M1 、M2 、Q，那么：a=Q P1 P2 （图1-22甲）或a=-P2 P1 Q（图1-22乙）在图1-22甲中，tga=Q P2 / P1 Q= y2 - y1 / x2 - x1 在图1-22乙中，tga=-tg P2 P1 Q=Q P2 / Q P1 = y2 - y1 / x2 - x如果P1 P2 向下时，P2 P1 向上，用前面的结论可得：tga= y1 y2 / x1 - x2 = y2 - y1 / x2 - x综上所述，我们得到经过P1 （x1 ，y1）、P2 （x2 ，y2）两点的直线的斜率公式：k= y2 - y1 / x2 - x1对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1 =x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；（2）k与P1 、P2 的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得：（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（七） 例题例1 如图1-23，直线l1的倾斜角a1 =30，直线l2l1 ，求l1 、l2 的斜率。解：l1 的斜率k1 =tg30=3/3l2 的倾斜角a2=90+30=120，l2 的斜率k2=tg=120=-3本例题是用来复习巩固直线的倾斜角的斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板。例题 求经过A（-2，0）、B（-5，3）两点的直线的斜率和倾斜角。解： k=3-0/-5-2=-1或k=0-3/-2-（-5）=-1tg=-10a180,a=135因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135讲此例题时，要进一步强调k与P1 P2 的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得。（八） 课后小结（1） 直线的方程的倾斜角的概念。（2） 直线的倾斜角和斜率的概念。（3） 直线的斜率公式。五、 布置作业1、（1.3练习第1题）在坐标平面上，画出下列方程的直线： (1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可。2、（1.4练习第2题）求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：（1） C（10，8），D（4，-4）；（2） P（0，0），Q（-1，3）；（3） M（-3，2）、N（-2，3）解：(1)k=2 a=aarctg2. (2)k=-3 a=120 (3)K=1, a=45 3（1.4练习题第3题）已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：（1）（a，c），（b，c）； （2）（a