斐波那契数列.doc

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理(LiberAbaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/5)*(1+5)/2n-(1-5)/2n【5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 【该数列有很多奇妙的属性】 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887 还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么6465？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。 【与之相关的数学问题】 1.排列组合. 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法 1，2，3，5，8，13所以，登上十级，有89种 【斐波那契数列别名】 斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。 斐波那契数列 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对; 两个月后，生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对; 依次类推可以列出下表： 经过月数：0123456789101112 兔子对数：1123581321345589144233 表中数字1，1，2，3，5，8构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在算盘全书中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/（15/2)n-(1-5/2)n(n=1,2,3.） 【斐波那挈数列通项公式的推导】 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21 如果设F(n)为该数列的第n项(nN+)。那么这句话可以写成如下形式： F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X2=X+1 解得 X1=(1+5)/2,X2=(1-5)/2. 则F(n)=C1*X1n+C2*X2n F(1)=F(2)=1 C1*X1+C2*X2 C1*X12+C2*X22 解得C1=1/5，C2=-1/5 F(n)=(1/5)*(1+5)/2n-(1-5)/2n【5表示根号5】 通项公式的推导方法二：普通方法 设常数r,s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2) 则r+s=1,-rs=1 n3时，有 F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2) F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3) F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4) F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1) 将以上n-2个式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=s(n-2)*F(2)-r*F(1) s=1-r，F(1)=F(2)=1 上式可化简得： F(n)=s(n-1)+r*F(n-1) 那么： F(n)=s(n-1)+r*F(n-1) =s(n-1)+r*s(n-2)+r2*F(n-2) =s(n-1)+r*s(n-2)+r2*s(n-3)+r3*F(n-3) =s(n-1)+r*s(n-2)+r2*s(n-3)+r(n-2)*s+r(n-1)*F(1) =s(n-1)+r*s(n-2)+r2*s(n-3)+r(n-2)*s+r(n-1) （这是一个以s(n-1)为首项、以r(n-1)为末项、r/s为公差的等比