高中数学第2章概率2.1随机变量及其概率分布教学案苏教版选修.docx

2.1 随机变量及其概率分布1在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X.问题1：X取什么数字？提示：X0，1，2，10.2掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上3一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球问题3：若用X表示所含红球个数，则X的取值是什么？提示：X0，1，2，3，4.1随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量2随机变量的表示方法(1)随机变量通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母，)等表示(2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示.1抛掷一颗骰子，用X表示骰子向上一面的点数问题1：X的可能取值是什么？提示：X1，2，3，4，5，6.问题2：X取不同值时，其概率分别是多少？提示：都等于.2一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3 只球中的最大号码问题3：随机变量的可能取值是什么？提示：X3，4，5.问题4：试求X取不同值的概率提示：P(X3)；P(X4)；P(X5).问题5：试用表格表示X和P的对应关系提示：X345P问题6：试求概率和提示：其和等于1.1随机变量X的分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，xn，且P(Xxi)pi，i1，2，3，n，则称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示：Xx1x2xnPp1p2pn通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和都叫做随机变量X的概率分布显然，这里的pi(i1，2，n)满足条件pi0，p1p2pn1201分布(或两点分布)随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为01分布或两点分布，并记为X01分布或X两点分布，此处“”表示“服从”1随机变量是将随机试验的结果数量化；2随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；3随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；4由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和例1判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长思路点拨要根据随机变量的定义考虑所有情况精解详析(1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量(2)该运动员在某场比赛的上场时间在0，48内，是随机的，故是随机变量(3)获得的奖次可能是1，2，3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量一点通(1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值1判断下列变量中是否是随机变量(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2 000 g)中间某个时刻的体重；(2)解答高考数学卷所用的时间；(3)某手机一天内收到短信的次数；(4)1 000 mL水的质量解：(1)体重在400，2 000范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量(2)做卷的时间在(0，120)的范围之内，是随机变量(3)短信的次数可能是0，1，2，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量(4)此时水的质量为定值，不是随机变量2指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)某人射击一次命中的环数；(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；(3)某个人的属相解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.例2写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果思路点拨精解详析(1)Y的可能取值为2，3，4，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则Y2表示(1，1)；Y3表示(1，2)，(2，1)；Y4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；Y12表示(6，6)(2)Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.Y0表示在遇到第1盏信号灯时首次停下Y1表示在遇到第2盏信号灯时首次停下Y2表示在遇到第3盏信号灯时首次停下Y3表示在遇到第4盏信号灯时首次停下Y4表示在遇到第5盏信号灯时首次停下Y5表示在途中没有停下，直达目的地一点通此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果3在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X3”表示的试验结果是_解析：X3表示前2次均是正品，第3次是次品答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品4写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X；(2)从4张已编号(14号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和为X.解：(1)X的所有可能的取值为0，1，2，其中，X0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔；X1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔；X2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔；X3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔；(2)X可取3，4，5，6，7.其中，X3表示取出分别标有1，2的两张卡片；X4表示取出分别标有1，3的两张卡片；X5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；X6表示取出分别标有2，4的两张卡片；X7表示取出分别标有3，4的两张卡片.例3袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列思路点拨解答本题先确定X的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可精解详析随机变量X可取的值为2，3，4，P(X2)；P(X3)；P(X4) ；所以随机变量X的概率分布列为：X234P一点通随机变量的分布列的作用对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率5已知随机变量X的分布列为X123nP则k的值为_解析：由n个1，得k1.答案：16设随机变量X概率分布Pak(k1，2，3，4，5)(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.解：由题意知随机变量X的概率分布如下表：XPa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a.(2)PPPP，或P1P1.(3)因为X，所以X，.故PPPP.7一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X求X的概率分布解：因为X服从两点分布，P(X0)，P(X1)1.所以X的概率分布为X01P8. 如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，求X的概率分布解：由已知X的取值为7，8，9，10，P(X7)，P(X8)，P(X9)，P(X10)，X的概率分布为X78910P1随机变量的三个特征(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值2求随机变量的分布列应注意的几个问题(1)随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确课下能力提升(十)一、填空题1给出下列四个命题：15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；一条河流每年的最大流量是随机变量；一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量其中是真命题的有_(填写序号)解析：根据随机变量的概念可知，都正确答案：2抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，那么X5表示的随机试验结果是_解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点3设离散型随机变量X的概率分布如下：X1234Ppp则p的值为_解析：pp1，p.答案：4设随机变量X等可能取值1，2，3，n，如果P(X4)0.3，那么n_解析：随机变量X等可能取1，2，3，n，取到每个数的概率均为.P(X1)的值解：依题意得P(X1)2P(X2)，P(X3)P(X2)由于概率分布的总和等于1，故P(X1)P(X2)P(X3)P(X2)1.所以P(X2).随机变量X的概率分布如下：X123P所以P(X1)P(X2)P(X3).8袋中有3个白球，3个红球和5个黑球从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分求所得分数X的概率