简化解析几何运算方法.doc

简化解几运算八法 解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。1.回归定义 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。例1 过椭圆左焦点倾斜角为的直线交椭圆于点且，则此椭圆离心率为解析 本题的常规解法是：联立再结合条件求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解： ，另一方面，在中,故于是，又，所以可得例2 一种酒杯是抛物线绕轴旋转而成的，将长为的玻璃棒（质地均匀）随意的放入酒杯内（杯壁足够高，能没入玻璃棒），试确定玻璃棒的平衡位置。解析：确定平衡位置即求玻璃棒中点到轴距离的最小值，如图2，应用抛物线的定义进行简捷求解：当时弦可以经过焦点，如图2所示：，所以 显然当时平行于轴时最小为2活用平几性质 解决解析几何的运算问题，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，运算能力稍差的同学难以准确迅速求解，甚至半途而废；若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收简捷巧妙解题之效果.例3 已知点到两定点的距离比为，点到直线的距离为1，求直线的方程。(02年全国高考题)解析 本题若按常规做法为： 设，则 的方程为，即，于是又（注：满足上述条件的点的轨迹为阿波罗尼奥圆即圆）将代入可得，于是因此直线的方程为若能进一步观察题设条件：如图3，在中斜边，直角边可得 ，在中由正弦定理得于是因此直线的方程为评注：本题为02年全国高考文科第21题，分值为14分，重点考查学生通过联立消参解方程组的运算能力，对文科学生的运算能力提出了较高的要求；通过上述通法与巧法对比，读者容易看出：运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题，可以有效地避免复杂的解几运算，以达简捷解题之目的。例4 某人在一山坡处观看对面山顶上的一座铁塔，如图4所示，塔高米，塔所在的山高米，米，图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，试问此人距离水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人身高）？（05年天津卷高考题）解析 解析法可详参高考评分标准，这里给出利用平面几何知识的简捷解法：如图5，作圆过点且与直线相切，切点的纵坐标即为所求。设直线与轴交于点，则易得由圆幂定理得于是为所求.注：这道源于生活实际的高考试题，具有深厚的科学背景-来源于几何学史上著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大。”如图6，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点（证明略）以米勒问题为背景改造的高考题和竞赛题还有年全国联赛题第题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大时，点的横坐标为05年浙江卷理第17题：如图7，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴 的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程；()若直线：xm(|m|1)，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)(文科为：若点P为上的动点，求F1PF2最大值)上述试题若使用圆幂定理来求解，都极为简单（略）。例5 已知内接于圆的的顶点为，求的重心的轨迹方程。 解析 本题若设，则有，再由夹角公式得，由以上5个等式消去参数得。值得注意的是：消参具有很高的技巧，一般学生难以做到！这里给出以下做法： 如图8，设为的中点，连结，则由得故点的轨迹方程为 设重心, 则代入式可得.下面用运动变化的观点考察点的横坐标的取值范围：如图9,点运动的极限位置是,这时，于点，则且，作于点得点最靠左的位置为时，此时于是解得故所求轨迹方程为 注 1本题若用三角法可解如下：设，由知，设则，于是。又而，故所求轨迹方程为2 若是用通法，结合图形的几何性质可简解如下：由 ，得而由得，故。（限制变量的取值范围方法同上） 3数形结合对于某些几何特征比较明显的问题，常可从分析图形本身所固有的几何特征入手，或从运动变化的观点来分析考察图形中某些量的变化规律，往往可简捷获解。例6 是已知椭圆上的两点，线段垂直平分线与轴交于点，求证：（92年全国卷）简析 着眼于寻求“线段垂直平分线”的几何意义，可考虑构造圆（如图10），它与椭圆有四个不同交点（或3个，当之一为长轴端点时），由消去得-，方程有两个不同实根，则，即。，又，.例7 设点，动点在椭圆上且满足，试求的取值范围。解析 本题简捷的解法是从数形结合的角度用运动变化的观点进行考察：如图11所示，三点共线，当时为最小；将直线绕点逆时针旋转至相切（重合）有；回转至有为最大，故有4巧设参数若涉及较为复杂的动点关系，可以通过设置参数沟通其联系。如何巧设参数？应视题目具体特点而定，或多或少，并讲究消参技巧。如上例7：设,则，代入式得 又，即解得 注：本题解题过程中涉及5个参数，从上述解答过程不难看出讲究消参的技巧对于简捷解题的指导作用。通过巧设参数进行严密推理，可看上例2：设：代入得，即又 ， ， ， ， 即 ，令得（1）若即（通径长）则 当且仅当 即时，即，这时玻璃棒过焦点（2）若，即则在单调递增，当且仅当即 时，这时0，玻璃棒呈水平状态（垂直于轴）.总上可知，当棒长时平衡位置为轴上方处的平面上，以点为圆心，以为半径长的圆；当棒长时，玻璃棒放置呈水平状态，平衡位置在点0， 处。 与此问题相关的二则高考题：1长度为4的线段的两个端点在抛物线上移动，试求线段的中点 到轴距离的最小值。（87年全国高考题）本题正是例2在的特殊情况：此时2如图12，点为抛物线上的一点，直线过点并与抛物线在点处的切线垂直，与抛物线相交于另一点（）当点的横坐标为2时，求直线的方程；（）当点在抛物线上移动时，求线段中点的轨迹方程，并求点到轴的最短距离。（04年福建卷文科第21题）（答案为（）（）5平方差法 与对称、弦的中点等有关的问题，常考虑设而不求（或称“平方差法”）。如上例6：设，AB的中点为，则，二式相减得， 则直线L的方程为令得 又，所以。6引入向量用向量形式叙述题设条件，或引入向量分析解决解析几何问题，已经成为处理解几问题的基本方法，也是高考设计试题考查相关能力的一大特点。 例8 已知椭圆，直线L：，P是L上一点，射线OP交C于点R。又点Q在射线OP上且满足：，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程。解析 本题若用一般方法求解，需要引入5个参数，还要讨论去绝对值，详参1995年全国高考评分标准。若引入向量法求解，则直观而简易： 如图13，设将R，P点的坐标分别代入C，L的方程可得，消去得 即为所求。7重新建系 选取恰当的坐标系，本意即为简捷巧妙解决问题而设。在涉及与圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度有关的问题时，可以考虑建立极坐标系进行简捷求解。如上述例1，以点F为极点以射线Fx为极轴重新建立极坐标系，可设此椭圆的极坐标方程为根据题意得，故有8优化通法 通性通法应用广泛，是解决问题最基本而又最常规的方法。回归通法，是最起码的训练要求；况且巧法通过不断强化就可以成为通法；通法做到底，也能有新意！而且熟能生巧，通法常常是产生新思想新解法的基石。如上例7，我们已运用数形结合、设参消参方法予以解决，若再求两点重合时点的坐标，上述两法就难以奏效了，可考虑通法： 设直线的方程为，代入并整理得 ， 由得代入得 再代入得 由得即 当不存在时或5。于是为所求。解析几何中简化运算的策略 学了解几以后，大部分同学都有这样的感受：思路易得，结果难求。的确如此，运算量太大