空间曲线曲率和挠率的介绍.ppt

曲率和挠率的介绍 空间曲线 微分几何的应用 理论物理广义相对论将物理量解释为几何量 具体的说 空间和时间结合在一起由一个流形描述 不同的参照系给出不同的局部坐标 不同参照系之间的关系即是坐标变换 时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出 象Riemann几何一样计算出曲率等几何量 Einstein方程说 时空的物理量 能量动量张量 等于时空的几何量 Ricci曲率张量 给出类曲线得一单位向量 称为曲线 C 上P点的单位切向量 称为曲线在P点的主法向量 它垂直于单位切向量 称为曲线在P点的次法向量 把两两正交的单位向量称为曲线在P点的伏雷内 Frenet 标架 1 空间曲线的基本三棱形 伏雷内标架 3 由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做 密切平面 法平面 从切平面 而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形 2 对于曲线 C 的一般参数表示有 2 空间曲线的曲率 挠率 设空间曲线 C 为的 且以s为参数 定义 C 在P点的曲率为 曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度 曲率越大 曲线的弯曲程度就越大 因此它反映了曲线的弯曲程度 1 曲率 例 求半径为R的圆上任意点处的曲率 解 如图所示 可见 R愈小 则K愈大 圆弧弯曲得愈厉害 R愈大 则K愈小 圆弧弯曲得愈小 例 空间曲线 为直线的充要条件是曲率证明 若为直线其中都是常向量 并且 则反之 若 则于是所以该曲线是直线 2 挠率与曲率类似有 定义曲线 C 在P点的挠率为挠率的绝对值是曲线的次法向量对于弧长的旋转速度 挠率恒为零的曲线是平面曲线 3曲率和挠率的一般参数表示式 给出类的曲线 C 所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式 1 曲率 由 可得挠率公式为 有曲率近似计算公式 则曲率计算公式为 二阶可导 设曲线弧 说明 若曲线由参数方程 给出 则 若曲线方程为 则 若曲线由参数方程 给出 则 4 密切园 曲率园 过曲线 C 上一点P的主法线的正侧取线段PC 使PC的长为1 k 以C为园心 以1 k为半径在密切平面上确定一个园 这个园称为曲线在P点的密切园或曲率园 园的中心叫曲率中心 园的半径叫曲率半径 曲率中心轨迹设对应Y x y z 则有 容易证明C在P点与曲率圆相切 且在P点的曲率相同 在点P处曲率圆与曲线有下列密切关系 1 有公切线 2 凹向一致 3 曲率相同 例求圆柱螺线r acost asint bt a 0 b 0均为常数 的曲率 挠率 曲率中心和曲率圆 解 asint acost b acost asint 0 asint acost 0 于是 所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数 故曲率中心的半径向量为可以求出密切平面为于是曲率圆为 设曲线方程为 且 求曲线上点M处的 曲率半径及曲率中心 设点M处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 机动目录上页下页返回结束 由此可得曲率中心公式 例 设一工件内表面的截痕为一椭圆 现要用砂轮磨 削其内表面 问选择多大的砂轮比较合适 解 设椭圆方程为 可知 椭圆在 处曲率最大 即曲率半径最小 且为 显然 砂轮半径不