遇见－ 拿破仑.doc

科別：數學科名稱：遇見拿破崙關鍵字：拿破崙定理學校：台北市立敦化國民中學作者：81517謝宛樺指導老師：巫佳錚、桂雪萍遇見 拿破崙壹、摘要拿破崙定理，是以一個ABC，用它的三邊AB、BC、CA向外做三個正，三個正的中心，連起來也會是個正，稱之為拿破崙三角形。（附錄一） 依照其特性，改變外三角形、內三角形，進而發現其性質。證明貳、研究動機：其實，一開始，只簡單的想去做獨立研究，有一次在翻閱趣題名人秒解及神奇數學117二書時，蠻驚奇的：拿破崙？有發現定理？於是找了一些對此題有興趣的同學，一起來研究，最後發現了其異妙之處。參、研究目的： 一、改變拿破崙內三角形，觀察其結果如何。 二、改變拿破崙外三角形，觀察其結果如何。肆、研究設備： 一、器材： （1）電腦 （2）圖格紙 二、軟體： （1）gsp4.05伍、研究過程與方法：一、 改變拿破崙內三角形，改變成正圖形（裡面正圖形，外面正三角形）正三角形證明連、， 點F、點D、點E為之內心（內心到三邊等距、角平分線） 同理 為正正方形證明證明同上圖（正三角形）同理 點A、點D為四個正內心， ACIDMBACMMDBABC90同理四邊形ABCD為正方形正五邊形證明證明方法同上正六邊形證明證明方法同上發現：(1) 所有內圖形為正圖形，皆會與原定理相同。討論：(1)正圖形因為角度固定，可達到同目的，現在是改變內圖形，接著改變 外圖形二、 改變拿破崙外三角形，改變成正圖形（裡面任意三角形，外面正圖形）正方形正五邊形正六邊形正八邊形發現：(1) 結果不成立 討論： 中間的圖形似乎會影響到結果，現在一開始就拿不規則圖形當基準，似乎太快了。選擇有規律的圖形（正三角以嘗試），接著使用，也是正圖型的正方形，作為內型或者外型。選擇原因：較單純、常見三、 改變拿破崙內、外三角形（裡面正方形，外面有規律性四邊形）外作平行四邊形外作菱形外作正方形外作圓型做到這，有點覺得似乎內為正圖型就能達成。內做正五邊形，外作平行四邊形內做正六邊形，外作平行四邊形證明：裡面做正n邊形， 向外做出去的圖形皆會全等 達成四、 改變拿破崙內、外三角形（裡面有規律性四邊形、外面正方形、正三角形）圖（1）內作平行四邊形，外作正方形圖（2）內作平行四邊形，外作正三角形正方形平行四邊形圖（3）內作等腰梯形，外作正方形圖（4）內作等腰梯形，外作正三角形箏型箏型圖（5）內作箏型，外作正方形圖（6）內作箏型，外作正三角形等腰梯形等腰梯形證明：圖（6）四邊HGIJ為等腰梯形連、，EAKAKF平行同理 平行平行 平行又EDHFBG四邊形EHGF為等腰梯形 發現：(1)在圖(3)(4)，圖(5)(6)可以明顯觀察到，圖(3)(4) 圖(5)(6)內作等腰梯形，成形：箏型內作箏型，成形：等腰梯形 (2)如果原圖形有兩邊相等，形成的圖形也會有兩邊相等討論： 之前所做的都是常見的圖形，在七年及幾何所學的圖形，大致上有，正圖型，四邊形的有平行四邊形、箏形、梯形、等腰梯形，四邊以上及梯形（非等腰）暫且不論（複雜），上下的有特殊的：凹四邊形、沙漏形。沙漏形圖如下。 這個還可以研究，但 卻無法繼續下去。 （兩個正三角形）剩下的則是所說的凹四邊形，藉由沙漏形，了解角度的固定，於是凹四邊形的研究則由，固定角度，和研究四的對角線著手。五、 改變拿破崙內、外三角形（特殊型） 內作凹四邊形，外作正三角形發現 其實仔細觀察就會發現，(1) 凹四邊形，其實是菱形一角往內縮(2) 成形的等腰梯形與菱型顛倒這個是角度固定90，對角線沒有垂直的無法達成這個是角度不固定對角線垂直的達成發現：(1)同上，已對角線為基準，達成幾率較高。 (2)反而角度不是最大的問題陸、總結論：一、只要內形為正圖型，皆會達成。 （包括外作正三角形、平行四邊形、菱形、圓形等有規律圖形）二、只要圖形有辦法使，旁邊連線所構成的形狀各各全等就可以達成。 旁邊連線：只的是例如圖中虛線三、內形對角線垂直（箏型、菱形兩種） 等腰梯形四、內形控制較外型大（Ex:研究二，內形使用不規則，無法達成）五、如果原本圖形以達成，將圖形內形沿著對角線往內凹，也可達成。柒、感想： 雖然獨立研究，算是因獨立研究而找出的題目，但在這研究下，多多少少有收穫。下次，希望在時間的控制下能做的更好，別再臨時抱佛腳了。捌、展望：一、拿破崙三角形，本為內三角形是任意的，這次的研究則是著重在有規 律性的圖形，希望未來有更好的發現二、現在的圖型皆為二維，未來可能進展到三維的圖形。三、一些特殊圖形可在嘗試，例如沙漏形、四角以上飛鏢型。四、原圖形與新圖形之間似乎有互換的作用，值得再研究 （研究四的鳶型與等腰梯形）五、書中所題到的費馬點，可運用。六、目前都是取重心，未來外作等腰三角形，可是著取內、外心。玖、參考資料及其他：一、趣題名人妙解/p.195p.197/九章出版社/吳振奎、吳旻/2002年10月一版一刷二、神奇數學117/p.190p.194/天下遠見/波沙曼提爾/ 2005年08月一版一刷三、幾何明珠/p.176p.181/九章出版社/黃家禮/2000年09月一版一刷四、中華民國第44屆中小學科學展覽會/國中組數學科/面具下的拿破崙三角形附錄（一）證法一如圖，ABC 、BCA、 ACB分別向刑外做的正，將ABB繞A點延順時針方向旋