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求复合三角函数最值时的几何解法浙江省温州市乐清国际外国语学校 冯米鸿 325600关键词：三角函数 最值 几何 图像数学家拉格朗日说过“代数与几何两门学科一旦联袂而行，它们就会从对方吸收新鲜的活力，从而大踏步地走向各自的完美.”事实上，有些繁难的代数题，若我们根据题目的结构，联想、挖掘出它的几何背景，构造几何模型，把代数问题转换成几何问题讨论，往往能峰回路转，探索出十分巧妙的解法. 求函数的最大值与最小值是高中数学代数部分的重要内容，也是高考中的常见题型，尤其是含有三角函数的复合函数的最值问题。这类问题通常具有一定灵活性和变通性，考查的知识面广，信息综合性强，解法丰富多变。面对这类问题我们除了可以通过三角函数的恒等变形，使变量归一、函数归一等代数方法解题之外，还可以发挥想象力和创新力，尝试从几何的角度来分析问题，建构几何模型解决问题。现举例说明：例1 求函数的最大值及最小值.一、常见方法解法1：利用的有界性求最值.因为所以整理得即故解法2：利用基本不等式求最值.令则由万能公式知代入原方程有：当t1时，当t=1时，当t1时，故二、几何模型法解法3：利用目标函数的几何意义求最值.令则原式此时可以看成点和两点连线的斜率，即求连线斜率的最大值及最小值.满足则转换成在圆上找一点，使其和连线的斜率为最大和最小，此时过向圆引切线，切线的斜率为最大和最小.设过的切线方程为由解得故点评：这是一道求含有三角函数的复合函数的最值的问题.解法1是三角函数求最值的常见解法，借助的有界性，得到关与y的不等式，由不等式的解得到y的取值范围；解法2中通过三角函数的恒等变形，使变量归一；解法3通过对已知条件“”的利用和隐含条件“此时可以看成点和两点连线的斜率，即求连线斜率的最大值及最小值”的挖掘，将原代数问题几何图像化.例2 求函数，的最小值一、常见方法解法1: 因为所以, .由且在上是减函数.所以当且仅当，即时，以上两式同时取最小值.所以.解法2: 因为所以, .当且仅当，即时，.利用函数的单调性解法3: 令, 因为 所以.令，易证在（0，1）上为减函数.所以当即时, , 即.解法4: =，因为在上是减函数，且0，所以当，即时，.解法5:.显然以上两个“”均当时取“=”.所以当，即时，.二、几何模型法解法6: 令u=,v=,则uv=1, ( 0u) 于是问题就转化为双曲线弧uv=1,( 0u)与直线u+v=y有公共点时在v轴上的截距y的最小值 . v由图易知，当直线过点时，. 解法7: 因为， 令u=sinx，v=， O u 则，（0u1，于是问题转化为求抛物线（0u1弧上一点与交点（0，-4）连线的斜率的最小值. 由图知，当取抛物线上的点（1，1）时，斜率最小. 所以（2y）min=，所以ymin=. 点评：解法6和解法7都是通过变量代换和化简转化为常见代数式，通过代
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