人教新课标三角、反三角函数例题精讲及能力训练.doc

学科:数学 年级：高三版本：备战版 期数：1304本周教学内容：三角、反三角函数例题精讲及能力训练例1 sin600的值是( )A. B.- C. D.- 解：sin600=sin(360+240)=sin240 =sin(180+60)=-sin60 =-应选D.例2 已知sin+cos=,(0,),则ctg的值是_.解:sin+cos= (sin+cos)2=()2sincos=-. sin和cos是方程t2-t-=0, 即方程25t2-5t-12=0的两根.25t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t1=,t2=-.(0.)sin0.sin=,从而cos=-,ctg=.=-.应填-.例3 tg20+tg40+tg20tg40的值是 .解：=tg60=tg(20+40)=,tg20+tg40= (1-tg20tg 40).原式= (1-tg20tg40)+ t g20tg40).= 应填.例4 求值：coscos= .解：coscos = (cos+cos)= (-+0)=-.例5 关于函数f(x)=4sin(2x+) (xR),有下列命题：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍；y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-)；y=f(x)的图像关于点(-,0)对称；y=f(x)的图像关于直线x=-对称；其中正确命题的序号是_.(注：把你认为正确的命题序号都填上)解：分别讨论四个命题.令4sin(2x+)=0,得2x+ =k (kZ),x=(kZ),设x1=,x2=,k1k2,k1,k2Z,则f(x1)=f(x2)=0,但x1-x2=(k1-k2),当k1-k2为奇数时，x1- x2不是的整数倍命题不正确. y=f(x)=4sin(2x+)=4cos -(2x+)=4cos(-2x+)=4cos(2x-)命题正确根据2x+02x-y040-40作出y=f(x)=4sin(2x+)的草图，如图由图知，f(x)的图像关于点(-，0)对称，命题正确由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=- 对称命题不正确应填、例6 函数y=sin(x-)cosx的最小值是_.解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式)，得y=sin(2x-)+sin( -)=sin(2x-)-.sin(2x-)-1,1,ymin=-.应填-.例7 如图，函数y=tg(x-)在一个周期内的图像是( )解：y=tg(-)=tg(x-)因为它的周期为2，从而B，D错；又当x=时，y=0，从而C错。应选A。例8 在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinAsinB( )A.有最大值和最小值0B.有最大值但无最小值C.既无最大值也无最小值D.有最大值1但无最小值解：A+B=.sinAsinB=sinAcosA=sin2A,A(0, )2A(0,)sinAcosA有最大值但无最小值.应选B.例9 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解：2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2=sin2x+cos2x+2= (sin2xcos+cos 2xsin)+2=sin(2x+)+2当2x+=+2k时,ymax=2+ 即x=+K(KZ)，y的最大值为2+例10 已知是第三象限角，且sin=-则tg =( )A. B. C.- D.- 解：sin=,sin=-,-=.化简得12tg2+25tg+12=0，即(4tg +3)(3tg+4)=0.解出tg=-,tg=-.又已知是第三象限角，即(+2k，+2k)，+k，+k)，tg(-，-1)，tg=-(舍去tg=-1 ).应选D.例11 sin220+cos280 +sin20cos80= .解：sina220+cos280+sin20cos80=+2sin20cos80=1-(cos40+cos20)+(sin100-sin60)=1-cos30cos10+cos10-=应填.例12 求sin220+cos250 sin20cos50的值 .解:sin220+cos250+sin20cos50 =sin220+sin240+sin20sin40 =(sin20+sin40)2-sin20sin40 =(2sin30cos10)2+ (cos60-cos20) = =应填.例13 cos275cos215 cos75cos15的值等于( )A. B. C. D.1+解：cos275+cos215cos75cos15=(sin215+cos215)+ sin15 =1+=.应选C.例14 已知ctg=3,则cos= .解：由已知有tg=. cos=.例15 已知tgA+ctgA=m,则sin2A .解：tgA+ctgA=mtg2A+1=mtgA sin2A=.例16 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.(1)b0时，求tg3A的值(用a、b表示)；(2)求(1+2cos2A)2（用a、b表示）.解：(1)利用和差化积公式可得： a=sin3A(1+2cos2A),b=cos3A(1+2cos2A),tg3A=.(2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2(1+2cos2A)2=.又sin6A=,(1+2cos2A)2=a2+b2.例17 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列， 其最小内角为( )A.arccos B.arcsinC.arccos D.arcsin解：不妨设此直角三角形三内角为A、B、C且ABC=90.由已知，sinA,sinB,sin90=1成等比数列，sin2B=sinA又A+B=90，得sinB=cosA,cos2A=sinA,1-sin2A=sinA，即sin2A+sinA-1=0.解出sinA=(舍去sinA=)A=arcsin,应选B.例18 如图，若sin2xcos2x，则x的取值范围是( ).A.x2k-x2k+,kZB.x2k+x2k+,kZC.xk-xk+,kZD.xk+xk+,kZ解：由于sin2x和cos2x的周期都是，故可先研 究在0,上不等式的解.在同一坐标系在区间0，上作出sinx和cosx的 图像.把，的cosx的图像沿x轴 上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x1=,x2. 在(+2k，+2k)上有sin2xcos2x.应选D.例19 下列四个命题中的假命题是( )A.存在这样的和的值，使得 cos(+)=coscos+sinsinB.不存在无穷多个和的值，使得 cos(+)=coscos+sinsinC.对于任意的和，使得 cos(+)=coscos-sinsinD.不存在这样的和的值，使得 cos(+)coscos-sinsin解：C是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D也正确 .对于A，取=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,A正确.对于B，取=2k，kZ，则cos(2k+cos2k)=cos2k cos2k +sin2ksin2k,B.不正确.应选B.例20 解不等式(arctgx)2-3arctgx+20.解： (arctgx)-1(arctgx)-20.arctgx1或arctgx2.又-arctgx.-arctgx1,即有-xtg 1.例21 满足arccos(1-x)arccosx的x的取值 范围是( )A.-1,- B.-,0 C.0, D.,1 解：反余弦函数的定义域为-1,1,且为减函数.应选D.例22 已知cos2=, (0,),sin=-, (,)求+(用反三角函数表示).解：由题设得sin=,从而cos=,且cos=-又+(,2)(+-)(0,),cos(+)=coscos-sinsin=-.cos(+-)=cos- (+)=-.-+(+)=arccos即+=+arccos例23 记函数y=的图像为l1，y=arctgx 的图像为l2，那么l1和l2的交点个数是( )A.无穷多个 B.2个 C.1个 D.0个解：作出函数草图可知有2个交点.又x:0时,arctgx:0+,:+ 0.x0时，l1和l2有一个交点.又arctgx和都是奇函数，x0时，l1和l2也有一个交点.应选B.本周强化练习：1.以下命题中正确的命题是( )(A)终边相同的角一定相等(B)若sin0，那么是第一或第二象限的角(C)若角与的终边关于x轴对称，那么+0(D)若为钝角，则cos0 (考查象限角的概念)2.扇形圆心角为60，半径为a，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( )(A)13 (B)23 (C)43 (D)49 (考查扇形面积公式)3.若sin=,cos=-,则角的终边在( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (考查象限角与三角函数值的符号)4.sin21+sin22+sin290的值属于区间( )(A)（43，44 (B)（44，45 (C)（45，46 (D)（46，47 (考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)5.已知2sin=1+cos,那么tg( )(A)等于 (B)等于或不存在(C)等于2 (D)等于2或不存在(考查三角函数公式的应用)6.己知0a1，则下列元数M=(sin)logasin,N=(cos)logcos,P=(cos)log asin的大小关系是( )(A)MNP (B)MPN (C)MNP (D)MPN (考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)7.若f(sinx)=sin3x,则cos3x等于( )(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx) (考查诱导公式与函数解析式)8.方程sinx=lgx的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错 (考查三角函数与对数函数的图像)9.下面的4条直线中，是函数y=2cos2x-2sinxcosx-的图像的对称轴的是( )(A)x= (B)x= (C)x= (D)x=- (考查三角函数图像的特征)10.如图是周期为2的三角函数y=f(x)的图像，那么f(x)的解析式可以写成( )(A)f(x)=sin(1+x)(B)f(x)=-sin(1+x)(C)f(x)=sin(x-1)(D)f(x)=sin(1-x)(考查三角函数的图像与解析式)11.函数f(x)=cos,则下列等式中成立的是( )(A)f(2-x)=f(x) (B)f(2+x)=f(x)(C)f(-x)=f(x) (D)f(-x)=-f(x) (考查余弦函数的奇偶性，对称性)12.函数y=sin(-2x)+cos2x的最小正周期是( )(A) (B) (C)2 (D)4 (考查三角函数的周期和恒等变形)13.设函数y=sin(x-)cos(x+)的最小正周期为2，且 0，是的值为( )(A)1 (B) (C) (D) (考查三角函数的性质，同角三角函数关系)14.若a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，则下列不等式中成立的是( )(A)ab (B)ab (C)ab (D)ba (考查辅助角公式，三角函数的单调性)15.下列四个命题中的假命题是( )(A)存在这样的和的值，使得cos(+)=coscos+sinsin(B)不存在无穷多个和的值，使得cos(+)=coscos+sinsin(C)对于任意的和，都有cos(+)=coscos-sinsin(D)不存在这样的和的值，使得cos(+)coscos-sinsin (考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)16.tg、tg是方程7x2-8x+1=0的二根，则sin2(+)- sin(+)cos(+)+cos2(+)的值是( )(A) (B) (C) (D) (考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值)17.已知cos2-cos2=m,则sin(+)sin(-)( )(A)-m (B)m (C)- (D) (考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)18.函数f(x)=sin2x+5cos(-x)+3的最小值是( )(A)-3 (B)-6 (C)- (D)-1 (考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式)19.函数y=的值域是( )(A)-2,4 (B)-2,0,4 (C)-2,0,2,4 (D)-4,-2,0,4 (考查同角三角函数关系)20.在ABC中，(1)已知tgA= sinB=，则C有且只有一解，(2)已知tgA=,sinB=,则C有且只有一 解，其中正确的是( )(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确 (考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)21.已知不等边ABC中，sinA=sinB，则下列等式：A=B;A+B=;A+B= ;A-B=,其中可能成立的是( )(A)、 (B)、 (C)、 (D)、(考查三角形的内角和定理及角的正弦值关系)22.给出下列四个命题：若sin2A=sin2B，则ABC是等腰三角形；若sinA=cosB，则ABC是直角三角形；若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC是钝角三角形；若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则ABC是等边三角形，以上命题正确的个数是( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 (考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)23.函数y=cosx(x2)的反函数是( )(A)y=+arccosx (B)y=-arcsinx (C)y=+arcsinx (D)y=-arccosx (考查反函数的求法，诱导公式，反三角弦函数定义)24.下列各组函数中表示同一函数的一组是( )(A)y=arcsin(cosx)与 y=arccos(sinx)(B)y=sin(arccosx)与 y=cos(arcsinx)(C)y=arctgx与y=arcctg(D)y=sin(arcsinx)与y=tg(arctgx) (考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义)25.设m=arcsin,n=arccos,p=a rctg，则m，n，p的大小关系是( )(A)pnm (B)nmp (C)pmn (D)mnp (考查反三角函数的运算及其单调性)26.设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-，)，则其值域是( )(A)( ，) (B)( ， ) (C)(- ，) (D)(- ，) (考查三角函数与反三角函数的定义域和值域)27.函数y=的定义域是 . (考查函数定义域的求法，数形结合解三角不等式)28.f(x)=sinx-sinx的值域是 . (考查绝对值定义，诱导公式，正弦函数的简图，函数值域)29.把y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)。然 后将新得图像向左平移单位，这样得到的图像的解析式是 。 (考查三角函数图像的变换)30.若函数y=sin(x+)+cos(x+)是偶函数，则的值是 。(考查函数的奇偶性，三角恒等变形，最简单三角方程)31.(1)tg17+tg28+tg17tg28= (2)ABC中，(1+tgA)(1+tgB)=2，则log2sinc= (3)(1+tg1)(1+tg2)(1+tg3)(1+tg45)= (4)己知tgA+tgB+tgAtgB，且sinAcosB=，则ABC的形状是 (5)若tg和tg(-)是方程x2+px+q=0的两根，则p、q之间的关系是 .(考查两角和的正切公式的变形运用，倍角公式，韦达定理，对数值计算)32.函数y=cosx-1(0x2)的图像与x轴所围成图形的面积是 。 (考查三角函数图形的对称变换)33.函数y=sinx+cosx的值域是 (考查三角函数的定义域、值域、单调性)34.关于函数f(x)=4sin(2x+)(xR)，有下列命题由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是的整数倍；y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-)；y=f(x)的图像关于点(-，0)对称；y=f(x)的图像关于直线x=-对称其中正确命题的序号是 (考查简单三角方程，诱导公式，图像的对称性)35.设三角函数f(x)=sin(+)，其中k0(1)写出f(x)的极大值M，极小值m，最小正周期T。(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x )至少有一个值是M与一个值m， (考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)36.己知x+=2cos，试求xn+ (nN)的值 (结合三角函数，考查数学归纳法，增量法)37.求值：(1) (2)sec50+tg10 (考查同角三角函数关系，倍角公式，辅助角公式，和差化积等)38.解答下列各题：(1)己知A、B均为钝角，且sinA=,sinB=,求A+B(2)己知、(0,),且tg(-)=,tg=-,求2-(3)己知、都是锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：+2 =(4)求证：arcsin+arcsin(-)arcsin (考查如何求角，如何证明关于角的等式)39.根据下列所给条件，分别求出 cos(+)的值：(1)己知sin-sin=，cos-cos=(2)己知、是方程2cosx-sinx+b=0的两个根(2k+,kz)；(3)己知z1=cos+isin，z2=cos+isin，z1-z2=+i；(4)己知直线y=2x+m与圆x2+y2=1有两个公共点M，N，且x轴正半轴逆转到两射线OM，ON( O为原点)的最小正角依次为、 (考查三角与方程、复数、解几的联系，万能公式的运用)40.设ABC的三边a,b,c成等差数列，a,b,c所对的角分别是A、B、C，且cos=2coscos,(1)求证tgtg=;(2)求tg的值。(考查三角形中三角函数的证明与求值)41.解答下列各题：(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。(2)求y=的最值(3)设函数y=-2sin2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，写出f(a)的表达式；试确定能使f(a)=的a的值。(4)求f(x)=的值域(5)求y=2sinxsin2x的最大值(6)若为钝角，求y=+(ab0)的最小值(7)己知sinxsiny=，求cosxcosy的取值范围(8)己知3sin2+2sin2=2sin，求cos2+cos2的最值 (考查三角函数常见最值的求法)42.已知sinx+siny=sinxsiny，求证：(cos-sin)2=1(考查三角函数中恒等式的证明)43.在ABC中，三边a,b,c成等差数列，求5cosA-4cosAcosC+5cosC的值.A(考查三角形中的有关计算)44.若f()=sin2+3sincos+4cos2 (0)，求f( )的最小值.(考查三角函数的最值问题)45.己知f(x)=tgx,x(0, )，若x1,x2(0, )，且x1x2，证明：f(x1)+f(x2)f()(综合考查三角函数与不等式)46.己知实数x，y满足x=1，问x2+y2是否为定值?若是，请求该值：否则求其取值范围。(考查代数与三角的综合题)47.在高出地面30m的小山顶C处建造一座电视塔CD(如图)，今在距离B点60m的地面上取一点A ，若测得CD对A所张的角为45，求电视塔的高度。(考查应用数学知识处理实际问题的能力)48.如图，海中小岛A周围20海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的角偏东30 ，在C处测得A在船的南偏东60，如果此船不改变航向，有无触礁的危险? (考查应用正弦定理处理实际问题的能力)49.外国船只，除特许者外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A，B是我们的观测站， A与B间的距离是S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船只在P点，在A处测得BAP=，同 时在B处测得ABP=，问及满足什么三角不等式时，就应当问这艘未经特许的外国船 发出警告，命令退出我海域 ? (考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力)50.在已知ABC中(如图)，C90，高CDAB于D，作CDECDFx，交AC于F，BC于 E，求当x取何值时，DEF面积最大，并求出最大面积的值.(考查分析问题和解决问题的能力)51.己知半径为1，圆心角为SX(3SX)的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。JY，2(考查三角函数在圆形最值中的运用)52.腰为a的等腰ABC中，A=90，当A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，且点C与原点O 在AB的两侧时，求OC长的最大值。(综合考查三角、解几、最值问题)53.如图所示，水渠横断面为等腰梯形，渠深为h，梯形面积为S，为使渠道的渗水量达到最 小，应使梯形两腰及下底边长之和最小，问此时腰与下底夹角应该是多少? (考查代数与三角的综合)54.用一块长为a，宽为b(ab)的矩形木块，在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱的储物 仓(使木板垂直于地面的两边紧贴墙面，另一边与地面紧贴)试问，怎样围才能使储物仓的容积最大?并求出这个最大值(考查代数、三角、立几的综合运用)55.如图所示，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定两点A，B，试在x轴正半轴上求 一点C，使ACB最大。(考查代数，三角，解几的综合运用)能力训练参考答案1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15. B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.A 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D27.x2k+x2k+，kz 28.-2，2 29.y=s in(2x+) 30.=k+(kz) 31.(提示：应用公式tg+tgtg(+)(1-tgtg)(1)1 (2)- (3)223(提示：用(2)的结论) (4) 正三角形 (5)p-q+1=0 32.2 33.1， 34. 35.(1)M=1,m=-1，T= (2)k=32 (提示：令T1)36.2cosn方法(一)：用数学归纳法方法(二)：设x=cos+t,则=cos-t t2=-sin2于是取t=isin x=cos+isin 代入即可37.(1)-4 (2) 38.(1)A+B(0，)，sin(A+B)=1 A+B=(2)tg=tg(+)-=(0,1) (0,) tg=-(-1,0) (,)2-(-,- ) 又tg(2+)=tg+(-)=1 2-=-(3)+2(0，) sin(+2)1 +2=(4)arcsin+arcsin(-)(-，)， arcsin(0 , ) 又两边正弦相等等式成立。39.提示：问题都可归结为tg=-cos(+)= 40.(1)略；(2)，因cos=2coscos故 sin=2coscos即 (sin cos )+cos sin)=2coscos故 tg+tg=故 tg=41.(1)5 (2)ymax=，ymin=(提示：有三种解法：万能公式，解析法：转化为asinx+bcosx=c(处理 )(3)f(a)= a=-1(提示：通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题)(4)-,-1)(-1, (5)y=4sin2xcosx y2=8sin2xsin2x2