计算机数学基础(A)第二单元辅导.doc

计算机数学基础（A）第二单元辅导一、矩阵了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有：了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵： （其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： 了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。二、线性方程组了解向量的概念及线性运算，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判断向量组的线性相关性。 了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。 向量组的一个部分组如满足 线性无关； 向量组中的任一向量都可由其线性表出。则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法。 熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。 了解非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握求非齐次线性方程组通解的方法。典型例题例1. 设 均为3阶矩阵，且 ，则 。解：答案：72因为 ，且 所以 例2. 向量组，若向量组线性相关则= 。解：答案：2因为由有关定理，向量组线性相关的充要条件是向量组的秩数小于向量组向量个数，所以求向量组的秩，决定的取值，使其秩数小于3。具体解法是 当时，故向量组线性相关。例3. 设 为 矩阵， 为 矩阵，则矩阵运算（ ）有意义。解：答案：A因为 ，所以A可进行。关于B，因为矩阵 的列数不等于矩阵 的行数，所以错误。关于C，因为矩阵 与矩阵 不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵 与矩阵 不是同形矩阵，所以错误。例4. 已知 求 。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得 。例5. 设矩阵 求 。解：方法一：伴随矩阵法 可逆。且由 得伴随矩阵 则 = 方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例6. 设矩阵 求 的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解： 。例7. 若 是 阶矩阵，且 ，试证 证明： 例8. 线性方程组当为何值时方程组有解，有解时解的情况如何？分析：因为增广矩阵的秩与的取值有关，所以选择的值，使解 时，有，方程组有解且有无穷多解。例9. 设线性方程组的增广矩阵经初等行变换后化为求方程组的通解。分析：将阶梯形矩阵继续化为行简化阶梯形矩阵，求出方程组的一般解，然后求特解，相应齐次方程组的基础解系，写出方程组的通解。解： 得到方程组的一般解为 （其中是自由元）令，得的一个特解再由