上海海事大学线代试卷及答案.pdf

第 1 页 大学 2009 2010 学年第 1 学期 期末考试 A A A A 卷 共6 页 课程名称 线性代数线性代数考试方式 闭卷 题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八总分总分统分人签统分人签名名 得分得分 考生注意事项 1 本试卷共 6 页 请查看试卷中是否有缺页 2 考试结束后 考生不得将试卷 答题纸和草稿纸带出考场 一 选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 A B 均为n阶可逆阵 则必有 成立 A 111 BABA B 111 BAAB C 2 1 2 11 AA D 2 2 1 1 A A A 2 设四阶方阵 432432 BA 其中 432 均为 4 维列向量 且已知行列式2 1 BA 则行列式 BA3 A 5 B5 C7 D40 3 n 维向量组 s 21 的秩为r 其中sr 则该向量组中 A 任意r个向量线性无关 B 存在唯一的极大无关组 C 至少存在 2 个极大无关组 D 任意1 r个向量线性相关 4 设矩阵 A 均为n阶可逆阵 则下列说法中错误错误的是 1 nAR 2 A 的行最简型矩阵即为 A 的标准型矩阵 3 齐次线性方程0 Ax有非零解 4 A 的列向量组线性无关 5 对任一n阶矩阵 B 有 ABRBR A1 4 B2 3 C3 D5 第 2 页 5 设三阶方阵 33 ij aA满足EAA 若 0 0 1 1 11 ba 则线性方程 组bAx 的解 x A 0 1 1 B 0 0 1 C 0 1 1 D 1 0 1 二 填空题 每小题 3 分 共 18 分 1 若 3 阶方阵A 4 阶方阵B的行列式分别为 2 和 16 则 1 2BA 2 设矩阵 111 111 111 A 150 421 321 B 则ABA23 3 设三阶方阵 543 022 001 A A为A的伴随矩阵 则 1 A 4 设三阶行列式 913 302 21a 中 余子式3 21 M 则a 5 已知 0 1 1 0 1 5 3 2 3 2 1 321 b TTT 若向量 能由 向量组 321 线性表示 则 b 6 已知向量 3 2 1 令 A 则齐次线性方程组0 Ax的基础解系所含 解向量的个数为 得分得分评卷人评卷人 得分得分评卷人评卷人 密封线 班级 姓名 学号 第 3 页 三 共 10 分 计算四阶行列式 100 010 001 1 z y x zyx D 四 共 10 分 若 410 011 103 A 且 2BAAB 求矩阵B 第 4 页 五 共 12 分 设向量组 1 2 1 1 3 1 1 2 1 9 3 3 3 8 1 4 1 求向量组 4321 的秩 4321 R 2 找出一组最大无关组并用该最大无关组表示其余的向量 六 共 7 分 设向量组 321 线性相关 向量组 432 线性无关 试 证明 1 1 能由 32 线性表示 2 4 不能由 321 线性表示 得分得分评卷人评卷人 得分得分评卷人评卷人 得分得分评卷人评卷人 得分得分评卷人评卷人 班级 姓名 学号 密封线 第 5 页 七 共 14 分 设线性方程组 02 3 2 32 12 321 321 321 xaxx xaxx xxx 当a等于何值时 该方程组 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多解 并求出此时方程组的 通解 第 6 页 八 共 14 分 已知二次型 3231 2 3 2 2 2 1321 2222 xxxxxxxxxxf 1 求二次型 321 xxxf对应的实对称矩阵A 2 求实对称矩阵A的特征值和特征向量 得分得分评卷人评卷人得分得分评卷人评卷人 班级 姓名 学号 密封线 第 1 页 大学大学大学大学 2009200920092009 2010201020102010 学年第学年第学年第学年第 1 1 1 1 学期期末考试试卷审批表学期期末考试试卷审批表学期期末考试试卷审批表学期期末考试试卷审批表 课程名称线性代数考试班级 参加考试 学生人数 任课教师命题教师 试卷类型 A B A 考试形式闭卷答卷纸 张 草稿纸 张 1 审核人 意见 审核人签名 教研室意见 签字 系 部 意见 签字 试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 C2 D 3 D 4 C 5 B 二 填空题 每小题 3 分 共 18 分 1 162 2294 20172 22132 3 2 1 5 2 10 3 0 5 1 5 1 00 10 1 4 a 15 5 1 b6 2 三 共 10 分 解 100 010 0010 1 100 010 001 1 2 z y zyxx z y x zyx D 3 分 第 2 页 100 0100 0010 1 22 z zyxyx 2 分 1000 0100 0010 1 222 zyxzyx 2 分 222 1zyx 3 分 四 共 10 分 解 方法一 由 2BAAB 得ABEA2 2 1 2 分 又1 210 011 101 2 EA 所以EA2 可逆 2 分 且 111 122 112 2 1 EA 3 分 因而由 1 得 644 468 4410 410 011 103 111 122 112 2 2 2 1 AEAB 3 分 方法二 由 2BAAB 得ABEA2 2 1 2 分 2 2 644100 468010 4410001 820210 022011 206101 2 2 1 AEAE AEA 5 分 第 3 页 可逆 2 EA 1 分 因而由 1 得 644 468 4410 2 2 1 AEAB 2 分 五 共 12 分 解 0000 2110 3401 3131 8912 1311 4321 4 分 因此 2 4321 R 2 分 且知 21 极大无关组为 2 分 214213 23 4 4 分 六 共 7 分 证明 1 32432 线性无关线性无关 2 分 线性相关又因 321 故 1 可由 32 线性表示 2 2 线性相关因 321 3 321 R 1 分 而线性无关 432 故 3 4321432 RR 1 分 从而 4321321 RR 所以向量 4 不能由 321 线性表示 1 分 第 4 页 七 共 14 分 解 对方程组的增广矩阵作初等变换 33200 110 1121 021 3232 1121 2 aaa a a abA 3 分 1 当13 aa且时 3 bARAR 方程组有唯一解 2 分 2 当1 a时 3 2 bARAR 方程组无解 2 分 3 当3 a时 32 bARAR 方程组有无穷多解 2 分 且有 0000 1310 3701 0000 1310 1121 0231 3532 1121 bA 2 分 可得该方程组的通解为 Rkkx 1 3 7 0 1 3 3 分