线性代数复习提纲.doc

2007-2008第二学期期末考试线性代数复习提纲07通信2008-6-5一、考试题目类型：单项选择、填空、计算、解方程、分析题 考试时间： 120分钟，总分：100分二、考试要点一）、第一章 行列式A 熟练求逆序数：1. 设按自然数从小到大为标准排列,则排列4753216的逆序数是 14 。2. 排列2 4 (2n)1 3 (2n-1); 的逆序数为： 。B 熟练求行列式的值1. =(2afk) 2. 若，则的值为（6）。 3.计算行列式： = 28，4. 求行列式的值。 5. 设四阶行列式则 32 . 6.计算四阶行列式 7. 8. 计算四阶行列式 9. 求行列式的余子式相关问题：如n阶行列式的n-1阶余子式共有多少个？某个元素的余子式是什么？行列式如何用其余子式来表示等问题。例：1）、n阶行列式的n-1阶余子式共有（ n2 ）个，n-2阶余子式共有（ n2(n-1)2/4 ）个，2）、已知四阶行列式D中第2行元素依次为2,-1, 0,1, 它们的余子式分别为5, 3, 4,7 则D的值为 -20 。D、会利用行列式的代数余子式来按行或按列展开行列式E、会利用克拉默法则求解线性方程组二）第二章 矩阵代数A、掌握矩阵的规律及其运算：逆矩阵A-1、伴随矩阵、矩阵行列式 |A| 等求法与判断。1. 阶矩阵、，则1） A2+AB+BA+B2 ； 2）. = A2-AB+BA-B2 3）. A2-AB-BA+B2 2. 若n阶矩阵A,B,C均可逆，AXB=C, 则 C-1A-1CB-1 3设均为阶方阵，则下列不成立的有 ACD 。 A. B. C. D. 4. 设A是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又l为常数l0,，则l (lA)*=( l3A* )5. n阶方阵A可逆的充要条件是 |A|0, or R(A)= n 满秩，非奇异的 。6. 。 7. 设3阶方阵，则（ C ）。A. B. C. D. 8. 若是可逆矩阵，则必为( B )。A. 分块矩阵 B. 方阵C. 转置矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵9.设n阶方阵A，且A0，k=-2, 则(A*)-1=( A )。则(kA*) -1=( A )。10. 设A=,则ATA= 。A-1 =。A*=11. 设为3阶方阵，且，则 ，= ，_ ，= ， 解答：1) 则_16_, 2) , 5) 。6）已知三阶矩阵A的行列式，求，其中为A的伴随阵。 = 12. 已知矩阵满足，且，则行列式 2 。13. 计算的行列式，其中14. 设,则的秩为: ,R=1 。15.已知 A=，求(A-E)-1 ，|(E-A)-1|= 。 ， 16. 已知B满足A2B-4A2=6A, 其中A=，, 求B= 。因为，A-11=，17. 设，求矩阵A= 。18. 求解矩阵方程：如P54 12题 19. 设矩阵，则 。, , ，若，则结果又如何？20. 设则-108 ，21. 设，为二阶非零矩阵，且,则 3/2 。若 则 3/2 。若 则 3/2 。22. 设为同阶可逆矩阵，则， =。23. 若方阵=，则= -1/216 。= -216 。则=-216k922. 四阶矩阵A可逆,则A的伴随阵的秩为： 0 .24. 设，计算和，其中为A的伴随矩阵。解：，25.设 , 求 160EB、有关线性方程组解的判断1. 若方程组AX=0有非零解, 则AX=b(0)解的情况是（ 必定无解 ）选（必有无穷多组解、必有唯一解、必定无解、无法确定）.2. 若R(A)=rn,则n元线性代数方程Ax=k ( 不一定有解 )选（必有无穷多组解、必有唯一解、必定无解、不一定有解）.*3. 设非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，A为mn矩阵，则必有( C )。A. m=nB. R(A)=m C. R(A)=n D. R(A)3 B. 3 C. =3 D. =02. 设向量=(1,2,3)，=(2, 1, x)T，=(3,0,2)T，则x=( 5/2 )时，能由1, 2线性表示。3. 设n阶方阵B，R(B)=r=n，则在A的n个行向量中( A ) 个行向量线性无关。若R(B)=rn，则在A的n个行向量中( B ) 个行向量线性无关。A. 任意r个行向量线性无关 B. 必有r个行向量线性无关;C. 任意r个行向量都构成最大无关组D. 任意一个行向量都可由其他r个行向量线性表示4. 设方阵A，下列说法不正确的是( BCD )。A. 若A有n个不同的特征向量，则A可以对角化B. 若A的特征值不完全相异，则A不能对角化C. 若AT=A，则A可以对角化 D. 以上说法都不对5. 正定二次型f (x1,x2,x3,x4)的矩阵为A，则( C )必成立。A. A的所有顺序主子式为非负数 B. A的所有特征值为非负数C. A的所有顺序主子式大于零D. A的所有特征值互不相同6. 设矩阵A=，B=其中均为四维列向量，且已知行列式则 2 。 。7. 设向量组，,，则= 2 。8. 已知秩为4的向量组可由向量组线性表示，则向量组 必线性 无关 。线性相关性如何判定？9、若3为可逆阵的特征值，则的一个特征值为 10. 已知 求一个正交阵P，使A化为对角阵。P127 例题12会题16 LIT将单位化后得到 则得到正交阵P：见P12811. 证明: 若P为正交阵，则和也是正交阵，且为1或1。证明 因P为正交阵，即，故；又因，故，即。因，故是正交阵；因，故PT是正交阵.12. 证明: 若可逆阵B的特征值为，则的特征值是。证明：因为可逆阵B的特征值，故；又因B可逆，故，所以是的特征值。 14. 向量组线性相关性如何判定？线性无 关。15. 已知向量, 则该两向量的内积为: -2 ， 两向量之和的范数为: 。两向量之差的范数为: 。两向量之间的夹角：16. 设，求的特征值与特征向量。17、线性方程组为 ，问在下列三种情况下，,各取何值时，1） 线性方程组无解？2） 线性方程组有唯一解？3） 线性方程组有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。当:k1=3,k2=0时,方程组有无穷多解,18. 求R3中向量 在基底e1,e2,e3下的坐标, 其中， 解: 设向量 在基底下的坐标为(x1,x2,x3)T 则有 【理解此题】：类似于三维直角坐标系中，某个矢量A=(2,3,-2), 求出其在该坐标轴的基底上的坐标表示. 设坐标为() 19. 求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。解：向量组构成的矩阵进行初等行变换20. 设向量组的秩为2，求k1,k2的值，若秩为3，求k1,k2的值。或 设向量组的秩为2，求k1,k2的值，若秩为3，求k1,k2的值。解：21. 设对称矩阵，已知A有两个特征值，求：1)x和另一个特征值3；2)A的所有特征向量；3)一个正交矩阵P，使得P1APdiag（1，2，3）。22. 用配方法将二次型f(x1,x2,x3)=化为标准型,并求所用的变换矩阵.方法一解：先将x1含有的项合并： 方法二解 二次型矩阵为. 由,得A的特征值为l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 当l1=-1时, 可得单位特征向量. 当l2=3时, 可得单位特征向量. 当l3=l4=1时, 可得线性无关的单位特征向量, . 于是有正交矩阵T=( p1, p2, p3, p4)和正交变换x=Ty, 使f=-y12+3y22+y32+y42.23. 写出下列二次型的对称矩阵A: ,将其化为标准型。(1) f=x2+4xy+4