高数(上)前三章知识点总结.doc

第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、 集合1、 集合概念（1） 通常用大写拉丁字母A、B、C表示集合（简称集），用小写拉丁字母a、b、c表示元素（简称元）。（2） 含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。（3） 表示集合的方法通常有列举法和描述法。（4） 习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，全体正整数的集合为N，全体整数的集合记作Z，全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R。（5） 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB或BA。如果AB且BA，则称集合A与集合B 相等，记作AB。（6） 若AB且AB，则称A是B的真子集，记作AB（7） 不含任何元素的集合成为空集。2、 集合的运算（1） 集合的基本运算有并、交、差。AB=x/xA或xb AB=x/xA且xB AB=x/xA且xB（2） 若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作A（3） 集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。3、 区间和邻域（1） 开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间，此外还有无限区间。（2） 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）。（3） 点a 的邻域记作U(a，)，点a 称为这邻域的中心，称为这邻域的半径。（4） 点a 的去心邻域记作U(a，)。二、 映射1、 映射概念（1）映射定义：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f：XY （2）设f是从集合X到Y上的映射，若R=Y，则称f为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素的像不相等，则称f为X到Y上的单射；若映射f既是单射又是满射，则称f为一一映射或双射。2、逆映射与复合映射 （1）只有单射才存在逆映射 （2）若g：XY，f：YZ ，则这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg 即fg：XZ 。三、函数1、函数概念 （1）设数集DR，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为 y=f(x) ， xD 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D，即D=D （2）构成函数的要素是定义域和对应法则。 （3）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，另一种是对抽象地用算式表达的函数。 （4）表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。2、函数的几种特性 （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（3）函数的周期性 对于函数f(x)的定义域为D，若存在正数l，使得 f(x+l)=f(x) 恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。L一般指最小正周期。（4） 函数的奇偶性 设函数f的定义域关于原点对称，若对于任一xD，f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；若对于任一xD，f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数。偶函数的图形关于y轴是对称的。奇函数的图形关于原点是对称的。3、反函数与复合函数 （1）对于函数f 来说，y=f(x)为其反函数，f(x)称为直接函数。直接函数与反函数的图形关于直线y=x是对称的。 （2）设函数y=f(u)的定义域为D，函数u=g(x)的定义域为D，且其值域RD，则由下式确定的函数 Y=f【g(x)】 ，xD 称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数，变量u极为中间变量。4、 函数的运算（和差商积）5、 初等函数（1） 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数。（2） 有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。第二节 数列的极限一、 数列极限的定义二、 收敛数列的性质定理一（极限的唯一性）如果数列x收敛，那么它的极限唯一。定理二（收敛数列的有界性）如果数列x收敛，那么数列x一定有界。定理三（收敛数列的保号性）如果数列x存在极限且极限大于零（或小于零），那么存在正整数N0，当n N 时，都有x0（或x0）定理四（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列x收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 第三节 函数的极限一、 函数极限的定义1、 自变量趋于有限值时函数的极限2、 自变量趋于无穷大时函数的极限二、 函数极限的性质定理一（函数极限的唯一性）如果函数存在极限，那么这极限唯一。定理二（函数极限的局部有界性）如果函数的极限为a，那么存在常数M0和，使得当0时，有。定理三（函数极限的局部保号性）定理四（函数极限与数列极限的关系）第四节 无穷小与无穷大一、 无穷小的定义二、 无穷大的定义三、 若函数f(x)为无穷大，则为无穷小；若函数f(x)为无穷小，则为无穷大。第五节 极限运算法则定理1 有限个无穷小的和也是无穷小定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小定理3 关于无穷小的乘除运算定理4 两个存在极限的数列之间的乘除运算符合一般乘除运算定理5 复合函数的极限运算法则第六节 极限存在准则 两个重要极限一、 夹逼准则（准则I及准则I） 二、 准则II 单调有界数列必有极限三、 柯西极限存在准则（也叫柯西审敛原理）第七节 无穷小的比较一、 高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小二、 定理一、定理二 第八节 函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、 连续函数的和、差、积、商的连续性二、 反函数与复合函数的连续性三、 初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质一、 有界性与最大值最小值定理二、 零点定理与介值定理三、 一致连续性第二章 导数与微分第一节 导数概念一、 导数的定义单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数二、 导数的几何意义三、 函数可导性与连续性的关系如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续；另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。第二节 函数的求导法则一、 函数的和、差、积、商的求导法则二、 反函数的求导法则三、 复合函数的求导法则四、 基本求导法则与导数公式1、 常数和基本初等函数的导数公式（共十六道，详见95页）2、 函数的和、差、积、商的求导法则（共四道，详见95页）3、 反函数的求导法则4、 复合函数的求导法则第三节 高阶导数一般的，（n-1）阶导数的导数叫做n阶导数第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、 隐函数的导数可以用函数十字表达的函数叫做显函数二、 由参数方程所确定的函数的导数三、 相关变化率第五节 函数的微分一、 微分的定义二、 微分的几何意义三、 基本初等函数的微分公式与微分运算法则1、基本初等函数的微分公式（详见116页）2、函数的和、差、积、商的微分法则（详见117页）3、复合函数的微分法则四、微分在近似计算中的应用1、函数的近似计算2、误差估计第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、 罗尔定理二、 拉格朗日中值定理三、 柯西中值定理第二节 洛必达法则第三节 泰勒公式第四节 函数的单调性与