辽宁省沈阳市2013年高三教学质量监测(二)数学(理)试题.doc

2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数 学(理科)命题：沈阳市第31中学 李曙光 东北育才学校 牟 欣 沈阳市第20中学 何运亮东北育才学校 刘新风 沈阳铁路实验中学 倪生利 沈阳市第11中学 朱洪文主审：沈阳市教育研究院 周善富注意事项：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将答题卡交回第卷(共60分)开始输入输出结束是否一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（为虚数单位）对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知非空集合，全集，集合， 集合 ）（ ），则（ ） A B C D3 等差数列的前项和为，若，则过点 (3 ，) ，（4 ，）的直线的斜率为（ ） A4 B C4 D144执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( ) A3 B 4 C5 D65椭圆:与动直线：， 则直线与椭圆C交点的个数为（ ） A0 B 1 C2 D不确定6“”是“的展开式的各项系数之和为64”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）主视图左视图A B C D8在等比数列中，对于都有，则（ ） A B C D9已知关于的方程有正根,则实数的取值范围是( ) A(0,1) B C D10已知点为外接圆的圆心，且,则的内角等于（ ） A30 B60 C90 D12011函数（,）的图像在上单调递增，则的最大值是（ ） A B C 1 D212定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ） A B C D第卷 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸上.13 . 14将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有 种放法(用数字作答)15已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形若，双曲线的离心率的取值范围为则该椭圆的离心率的取值范围是 16三棱锥的外接球为球，与都是以为斜边的直角三角形，是以为斜边的等腰直角三角形, 且，向量与的夹角为，则球的表面积为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.17. (本小题满分12分) 已知的内角，的对边分别为，且. （1）求角；（2）若，求的面积的最大值18. (本小题满分12分)如图甲，已知是上、下底边长分别为和，高为的等腰梯形，将它沿其对称轴折成直二面角，如图乙.（1）证明：；来源:数理化网（2）求二面角的大小.19. (本小题满分12分)在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表:平面几何选讲极坐标与参数方程不等式选讲合计男同学(人数)1246 22女同学(人数)081220合计12121842（1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下22列联表:几何类代数类合计男同学(人数)16622女同学(人数)81220合计241842据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握?（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈. 已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中. 求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；记抽取到数学科代表的人数为，求的分布列及数学期望.下面临界值表仅供参考：50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （参考公式：）20. (本小题满分12分)已知抛物线过点作直线交抛物线于点（点在第一象限）.（1）当点是抛物线的焦点，且弦长时，求直线的方程；（2）设点关于轴的对称点为,直线交轴于点，且求证：点的坐标是并求点到直线的距离的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数，R且（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若，证明:.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.（本题满分10分) 选修41：几何证明选讲如图, 内接于, 是的直径, 是过点的直线, 且. (1)求证: 是的切线;(2)如果弦交于点, , , , 求直径的长.23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程是，圆心为在以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线：与圆相交于两点（1）求直线的极坐标方程；（2）若过点(2,0)的曲线C2:(是参数)交直线于点,交轴于点，求|:|的值.24(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数（1）解不等式: ； （2）若，求证：.2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分一、选择题123456789101112参考答案DBABCBCDCACD5C 动直线即为： ，动直线过定点 ，该点在椭圆内部，所以总有两个交点，选C.8提示：由题知，选.yx9提示：由题只须，解得，从而 实数，故选C.11提示：（方法一）令，原题等价于函数的图像在上单调递增如图： 只须，从而选.（方法二）因为,所以函数的增区间满足：，化简得Z.又因为函数在上单调递增，所以，解得，所以，即的最大值为1.12提示： 由得可见，即函数在上单调递增,所以选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分130 14112 15 1613提示：因，所以. 14 提示：（方法一）令甲、乙两个笔筒，放入甲筒里的情况共有四种，每种情况里的方法数分别为，从而共有（方法二）将7支不同的笔放入两个不同的笔筒中，先将7支不同的笔分成两份，有两种情况，一是一份5支，另一份2支，有方法，二是一份4支，另一份3支，有方法，共有种方法，接着将两份笔分别放入两个不同的笔筒中有种方法，由分步计数原理得种方法.15提示：设椭圆的长半轴长，半焦距分别为，双曲线的实半轴长，半焦距分别为， （分别为椭圆和双曲线的离心率），又，则该椭圆的离心率的取值范围是.16提示：因为与都是以为斜边的直角三角形，所以的中点即是球的球心. 又因为是以为斜边的等腰直角三角形，且所以与全等，所以，又=，所以为等边三角形，且边长为，所以，所以球的半径为，所以球的表面积为.三、解答题：本大题共70分.17解：（1）解法:由正弦定理可知 , 所以， 2分即，又因为在中， 4分又，所以，即， 6分又因为在中,，所以，即. 8分（方法二）:由余弦定理可知,，代入原式中，得， 2分即，即，于是，因为，所以， 6分所以. 8分（2） 由（1）知，又因为，所以（当时取“=”）， 10分 又因为的面积，从而的面积的最大值为. 12分18解: （1）证明：（方法一）由题设知OAOO1，OBOO1. 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 所以有AO平面OO1B，所以B O1AO.如右图在直角梯形OO1CB中，连BO1交OC于E，BCOO1E由已知， O1C=1，OO1=，OB=3，4分所以在RtOO1C中，所以O1OC=30o.在RtO1OB中，所以OO1B=60o.所以O1EO=90o，于是BO1OC.（或由三角形相似及相似比得 得BO1OC可参照给分）又OCAO=O，所以BO1平面AOC，又AC平面AOC，所以ACBO1. 6分（2）（方法一）解:连OD交AO1于E，由(1)可知OEAO1又CO1平面AOO1D，而OE在平面AOO1D内，所以CO1OE，从而OE平面AO1C.过E作EFAC于F，连OF.即在RtOEF中， OEF=90o，EFO即是二面角OACO1的平面角. 8分由(1)可知OE=，AE=，而AEFA O1C，则，而AC=，所以EF=， 10分从而tanEFO=， 11分即二面角OACO1的大小是. 12分（1）（方法二）由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立（如图）空间直角坐标系，2分则A（3，0，0），来源:B（0，3，0），C（0，1，），O1（0，0，）. 从而所以ACBO1. 6分（2）（方法二）因为所以BO1OC，由（1）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是平面O1AC的一个法向量，由，有取，得. 8分设二面角OACO1的大小为，如图可知为锐角，所以=. 10分即二面角OACO1的大小是 12分19解：（1）由题.所以，据此统计有的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关. 4 分（2）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学. 6分 令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则,.所以. 8分(另解: 令事件A为“在这名学委被抽取到的条件下，两名数学科代表也被抽到”；则. 8分 由题的可能值有0,1,2.依题；. 10分从而的分布列为:012 11分于是. 12分(另解：因为服从超几何分布，所以. 12分）20. 解：（1）由抛物线得抛物线的焦点坐标为设直线的方程为由 .2分所以因为所以所以即. .4分所以直线的方程为. 5分(2) 设则由消去，得，因为 .7分（方法一）设则由题意知，/,即显然 .9分由题意知，为等腰直角三角形，即也即即. .10分. 12分（方法二）因为直线，所以令，则，. .9分由题意知，为等腰直角三角形，即，即，.，. .10分的取值范围是. .12分21. 解：（1）由题，. 2分令，因为故.当时，因且所以上不等式的解为,从而此时函数在上单调递增. 4分当时，因所以上不等式的解为，从而此时函数在上单调递增.同理此时在上单调递减. 6分（2）（方法一）要证原不等式成立，只须证明，只须证明.因为所以原不等式只须证明，函数在内单调递减. 8分由（1）知，因为，我们考察函数,.因，所以. 10分从而知在上恒成立，所以函数在内单调递减.从而原命题成立 12分（方法二）要证原不等式成立，只须证明，只须证明.又，设，则欲证原不等式只须证明函数在内单调递减 . 8分由（1）可知.因为，所以在上为增函数，所以.从而知在上恒成立，所以函数在内单调递减.从而原命题成立. 12分22.（1）证明：为直径，,为直径，为圆的切线. 4分（2）, ,连DB，由. 6分连AD，由. 在，中，于是有=，. 10分23解：（1）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，极坐标与直角坐标有关系：或 ，1分所以圆C1的直角坐标方程为，2分联立曲线C：，得或,即不妨令，从而直线的直角坐标方程为：，(此处如下解法也可：联立曲线C1与C，消去与项，得)所以，即， 4分所以直线AB的极坐标方程为，R）. 5分（2）（方法一）由(1)可知直线AB的直角坐标方程为：， 6分依题令交点D则有，又D在直线AB上，所以，解得，由