数学模型——论述解决经济、管理问题的工具.doc

数学之美 2006年7月第1期数学模型论述解决经济、管理问题的工具经济学院 金融学专业 陈蕊0511732摘 要： 对实际生活中的问题采用简单和易于处理的近似方法，建立相应的数学模型，能够帮助我们论述和解释一些经济理论，解决现实中的管理决策问题。关键词： 蛛网模型，最优化模型一、动态经济系统中的蛛网模型蛛网模型应用于微观经济学完全竞争市场关于均衡理论的讨论中。在完全竞争市场体系中，当需求、供给水平相同时，市场供求达到均衡。当商品价格偏离均衡状态后，其价格在现实生活中会呈现振荡现象，有的振荡幅度会越来越小，趋于平稳，有的则越来越大。微观经济学认为完全竞争市场上，产品的价格由需求关系决定，单个厂商只是价格的接受者。下面以农产品中猪肉价格的变化与需求的关系为例讨论。首先列出所需变量及假设：QnS=第n个时期内猪肉产量，QnD=第n个时期内猪肉需求量，Pn =第n个时期内猪肉价格，D：表示需求函数，S: 表示供给函数。假设：本期价格Pn决定下期产量Qn+1S，即本期需求量QnD；本期产量QnS决定本期价格Pn，即QnD=Qn+1S =S(Pn)，Pn =D(QnS)且QnS =QnD。根据需求曲线和供给曲线的斜度不同,有以下三种蛛网模型形式：1封闭型：需求曲线和供给曲线斜度相等。图1 封闭型假定猪肉在第一期价格P1，供给对价格反应滞后一个时期，生产者将产量增为Q2，但其只能按P2 的价格才能出售全部猪肉。根据第二期的价格P2，生产者将猪肉产量减到Q3，消费者愿意支付P3的价格购买全部猪肉。于是价格又升为P1，第三期价格与第一期价格相等。由于供给曲线与需求曲线斜度相等，在其他条件不变的情况下，上面的循环过程将持续下去。猪肉的实际产量跟价格始终按同一幅度围绕平衡点上下波动。用微观经济学语言解释上述过程，就是生产者和消费者对猪肉的价格的反应程度是一致的。 2收敛型：供给曲线的斜度大于需求曲线的斜度。图2 收敛型当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态后，猪肉的实际价格和产量会围绕均衡水平上下波动，波动的幅度越来越小，最终达到均衡点时停止。用微观经济学语言解释上述过程，就是生产者对猪肉价格的反应程度小于消费者。3发散型：供给曲线的斜度小于需求曲线的斜度。 图3 发散型当市场受到干扰偏离原有的均衡状态后，猪肉的实际价格和产量上下波动的幅度会越来越大，偏离平衡点越来越远。用微观经济学语言解释上述过程，就是生产者对于猪肉价格的反应程度大于消费者。二、企业管理决策中的最优化模型在现实决策时我们面对的最优化问题较为复杂，构建出的模型与实际不完全吻合，需要将结果对假设的灵敏性及模型的稳健性也列入考虑的范围。灵敏性分析就是分析结果对于每一条假设的敏感程度。稳健性是指虽然构建的模型不能精确反映实际情况，但由此得出的结论在一定范围内仍是正确的。由于在实际操作时，决策者会在销售很短的时期内对市场做出调查和预测，并制定合理的价格等决策，所以即便是我们简化时进行诸如线性之类的近似，也不会影响模型结果的正确性。例如：一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价为339美元，另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分，而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之也是如此。据估计，每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分。问题是：每种彩电应各生产多少台？解析：首先列出变量及假设： s=19英寸彩电的售出数量（每年）， t=21英寸彩电的售出数量（每年）， p=19英寸彩电的销售价格（美元）， q=21英寸彩电的销售价格（美元）， C=生产彩电的成本（美元/年）， R=彩电销售的收入（美元/年）， P=彩电销售的利润（美元/年）。 假设： p=339-0.01s-0.003t， q=399-0.01t-0.004s， R=sp+qt， C=400000+195s+225t， P=R-C， s0,t0。令y=P，x1 =s，x2=t，问题转化为在区域(x1, x2 )x1 0, x2 0上求y=(339-0.01 x1 -0.003 x2 ) x1 +(399-0.01 x2 -0.004 x1 ) x2- (400000+195 x1 +225 x2 )的最大值。在此求解过程中，我们可以运用学过的二元函数求极值的方法。求得结果是： x1=554000/1174735， x2 =824000/1177043。而当变量超过2个或函数偏导数情况更为复杂时，则可借助数学软件来进行计算。现在我们对做出的假设进行灵敏性分析。（1）对19英寸彩电价格弹性系数a的灵敏度进行分析假定a=0.01美元/台,代入y中,有 y=(339- ax1 -0.003 x2 ) x1 +(399-0.01 x2 -0.004 x1 ) x2- (400000+195 x1 +225 x2 )令偏导数为0,可得x1 =1662000/(400000a-49) , x2 =8700-581700/(400000a-49)。x1 对于a的灵敏度S(x1 , a)=dx1/daa/ x1 -1.1 (a=0.01)，x2 对于a的灵敏度S(x2 , a)0.27。由此，我们知道，x1 比x2对于a更敏感。（2）借助于数学软件完成y对于a的灵敏性分析得到S(y , a)-0.4。特别地，由于在最值点（极值点）处的偏导数为0，所以x1，x2的微小变化对y的影响极微弱，由价格弹性导致的最优利润的变化几乎全部由售价变化引起。因此，我们采用的模型给出的生产量范围包括最优值。事实上，现实中的许多最优化问题是更为复杂的。比如带有很多限制条件的有约束最优化问题。虽然采用的基本方法是我们熟悉的拉格朗日乘数法，但是由于变量个数的增加和可行域形状的复杂，求解起来相当麻烦，需要视情况不同进行讨