阻滞模型资料.doc

-当前位置：代数与分析专题研究专题五学习内容logistic模型（阻滞增长模型）5 logistic模型（阻滞增长模型）前面我们主要讨论的是一阶线性差分方程模型，本章将通过几个具体的实际问题，例如人口问题、传染病问题等，介绍一阶非线性差分方程模型。进一步体会数学建模的思想。这些模型是解决日常生活和生产实践中最基本的模型。由于有了计算机技术，使得非线性方程理论和应用得到了飞跃的发展。1人口模型1.1马尔萨斯人口模型情景描述人口问题是人类一个很重要的研究课题。对人口数量的估计和发展趋势的预测是各国制定一系列相关政策的基础。建立模型1模型假设英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，做了一个基本假设：人口的相对增长率是常数。在这个基本假设下，于1798年提出了著名的人口指数增长模型。2模型建立 设xn表示第n年的人口数量，因为人口的相对增长率是常数，记此常数为，则有：，即：xn+1 =（1+）xn。设k=1+,我们通常把：xn+1 =kxn称作人口指数增长模型。模型分析用上述人口模型计算出来的结果，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据相吻合。但是由于指数增长很快，当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，发现存在相当大的差异。1.2 模型修正logistic模型情景描述用上述模型计算出来的人口数据和实际人口数据有差异，其主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。如果当人口较少时（相对于资源而言），人口的相对增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量时，相对增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少了。模型修正为了使人口预报特别是长期预报更符合实际情况，我们需要修正一下指数增长模型。建立模型1 模型假设在实际环境中，人口数xn会有一个最大值，假设最大值为M。当xn远离M时，增长近似指数增长，xn增长的越来越快。当xn越接近M时，增长会越来越慢。2 模型建立对于指数增长模型xn+1 =kxn （1）我们把系数k换为k(M -xn) ，对模型加以修正，建立新的模型。其中M为xn的最大值。因此（1）式变为：xn+1= k(M-xn) xn=kM(1-)xn这样我们得到一类非常重要的模型，称为logistic模型。从这个模型可以看出，xn的系数kM(1-)随着xn的增加而减少。3 模型变形方程两边同时除以M得：=kM(1-)记kM 为，为yn，所以上式又可变为：yn+1=(1-yn)yn（*）因为0xnM，所以0yn1。为了保证对任意的n有0yn1，要求04。容易看出，此差分方程yn+1=(1-yn)yn不是线性的，我们通常把它叫做logistic模型。模型分析表1.1美国的实际人口与按两种模型计算的人口的比较年实际人口（）指数增长模型阻滞增长模型（）误差（%）（）误差（%）17903.9 18005.3 18107.2 7.3 1.4 18209.6 10.0 4.2 9.7 1.0 183012.9 13.7 6.2 13.0 0.8 184017.1 18.7 9.4 17.4 1.8 185023.2 25.6 10.3 23.0 -0.9 186031.4 35.0 10.8 30.2 -3.8 187038.6 47.8 23.8 38.1 -1.3 188050.2 65.5 30.5 49.9 -0.6 189062.9 89.6 42.4 62.4 -0.8 190076.0 122.5 61.2 76.5 0.7 191092.0 167.6 82.1 91.6 -0.4 1920106.5 229.3 115.3 107.0 0.5 1930123.2 122.0 -1.0 1940131.7 135.9 3.2 1950150.7 148.2 -1.7 1960179.3 158.8 -11.4 1970204.0 1