1-3多项式的乘除运算.doc

1-3多項式的乘除運算壹、補充重點(1)設A、B為x的多項式，則乘積AB：j若A、B之次數分別為m、n，則AB之次數為(m+n)次。 k若A、B之中有任一為零多項式，則AB為零多項式，無次數可言。(2)設兩多項式f (x)、g (x)，其乘積f (x)g (x)中：j係數總和：f (x)的係數總和 g (x)的係數總和。k常數項：f (x)的常數項 g (x)的常數項。lxk的係數：列出乘積中，每一組積為xk之項，分別求它們係數的乘積，相加即得。(3)設A、B(B0) 兩多項式之次數分別為m、n(mn)，即A=BQ+R中，jQ的次數為(m-n)次。kR 的次數恆小於B的次數。(4)多項式除法問題：設f (x)、g (x)都是多項式，則有q (x)、r (x)使得jf (x) = g (x)q (x) + r (x) (被除式=除式商式+餘式)r (x) = 0或r (x)的次數g (x)的次數k (=商式+)lg (x) = f(x)-r(x)q(x) (除式= (被除式-餘式) 商式)mq (x) = f(x)-r(x)g(x) (商式= (被除式-餘式) 除式) (5)餘式定理活用問題：j多項式f (x)除以(x-a)之餘式R，則R= f (a)。k多項式f (x)除以ax+b(a0)之餘式R，則R=f。l若(x-a)整除多項式f (x)，則f (a)=0。m若ax+b(a0)整除多項式f (x)，則f=0。貳、例題例1.多項式A除多項式B，所得之商式為Q，餘式為R，則(A)A=BQ+R (B)=Q+R (C)=Q+ (D)B=AQ+R 【答：(D)】解：例2.多項式A及多項式B分別是x的四次和二次多項式，則(A)A+B為x的五次式 (B)A-B為x的一次式 (C)AB為x的六次式 (D)AB的餘式必為x的一次式 【答：(C)】解：例3.試計算下列各式(結果請降冪排列)(1)(x2+x+1)(x2-x+1) (2)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) (3)(x+1)(x+4)-(x+2)(x+3) (4)(1-6x2)(2x-x2+x3)(5)(2x3+6x2-7)(2x+1)的商式為？ 【答：(1)x4+x2+1 (2)x4-5x2+4 (3)-2 (4)-6x5+6x4-11x3-x2+2x(5)x2+x-】解：例4.兩多項式乘積(3x2-x+5)(x2+7x)的展開式中，(1)其係數總和為？(2)x2項係數為？ 【答：(1)56 (2)-2】解：例5.設f (x)為多項式且知= (x+1)+，求f (3)之值？解： 【答：】例6.(1)若x-1能整除4x3-3x2+kx+1，試求k之值。(2)若x2-2x+6能整除x3-3x2 +mx+n，試求m+n之值。 解： 【答：(1)-2 (2) 2 】例7.(1)求(x3-2x2+6)(x+1)之商式和餘式；(2)求(x3-2x2+6)(20x+20)之商式和餘式；(3)求(20x3-40x2+120)(x+1)之商式和餘式。【答：(1)商式：x2-3x+3，餘式：3 (2)商式：-+， 餘式：3 (3)商式：20x2-60x+60，餘式：60 】解：例8.試分別用x的多項式，表出右下圖之面積與周長。(請按降冪排列作答) 【答：面積：6x2+11x+6；周長：10x+18】x2x2x533解： 例9.有一數學題：兩多項式A、B，試求AB結果阿強看成A+B得出答案x2+x-1，阿華看成A-B得出答案x2+4，試求AB之正確答案。 【答：商式：2x+11，餘式：29】解：參、習題1.(1)若f (x)為三次多項式，g (x)亦為三次多項式，則f (x)+2g (x)為幾次多項式？(2)設A = ax3+x2-3，B = -x2+1，若A-xB為x之二次多項式，求a=？解：2.試計算下列各式(結果請降冪排列)(1)(x2-x-2)(x+1) (2)(x-1)(4x2-x+4)-x(2x+3)(3)(3-2x+x2)(-7-x-3x2) (4)(8x3+2x2-27)(2x-3)的商式解：3.若(3x2+ax-6)(2x2+x-1) = 6x4+bx3+cx2-2x+6，求a，b，c之值。解：4.(1-2x+3x2-4x3+5x4)2的展開式中，其係數總和為何？解：5.設f (x)為多項式，且 = x-2+，求f (x) =？解：6.設2x4-x3+mx2+x+n被2x2+x+1整除，則2m+n =？解： 7.設兩多項式A、B，若A除以B，得商式Q，餘式R，則(1)2AB之商式和餘式為？ (2)A3B之商式和餘式為？(3)3A之商式和餘式為？解：x+1x-13x778518.如圖，所有的轉折點均為直角，試分別用x的多項式，表出右下圖之面積與周長。(請按降冪排列作答)解： 9.有一數學題：兩多項式A、B，試求AB結果小郁看成A+B得出答案x2-4x-1，小晴看成A-B得出答案x2-3，試求AB之正確答案。解：肆、習題解答 1.(1)小於等於三次 (2)-1 2.(1)x3-3x-2 (2)4x3-7x2+2x-4 (3)-3x4+5x3-14x2+11x-21 (4)4x2+7x+ 3.a=-4、b