南邮概率论习题册答案.ppt

1 第一章概率论的基本概念 1 写出下列随机试验的样本空间及各随机事件 2 将a b两个球随机地放入甲乙盒子中去 观察甲乙两个盒子中球的个数 A表示 甲盒中至少有一个球 1 将一颗骰子接连抛掷两次 记录两次出现的点数之和 A表示 点数之和小于6 B表示事件 两次出现的点数之和为7 4 测量一辆汽车通过给定点的速度 A表示 汽车速度在60至80之间 单位 公里 小时 练习一 3 记录南京市110在一小时内收到的呼叫次数 A表示 南京市110在一小时内收到的呼叫次数在6至10间 2 设A B C为三个事件试用A B C表示下列事件 2 A B C都不发生 1 A与B不发生 而C发生 3 A B C至少有一个发生 4 A B C中恰有一个发生 6 A B C中至多有两个发生 5 A B C中恰有两个发生 7 A B C中至少有两个发生 2 3 3 设A B C为三个事件 且 求A B C都不发生的概率 由知 4 2 A B互不相容 4 设A B是两个事件且 试在三种情况下求 3 A B有包含关系 5 5 设A B C是三个事件求 6 解 以A表示事件 指定的3本书放在一起 练习二 1 把10本不同的书任意放在书架上 求其中指定的3本书放在一起的概率 10本书任意放置的情况共有 3个作整体放置的情况共 3本书的排列共有 6 以A表示事件 指定的3本书放在一起 以事件A表示 指定的3本书放在一起 把事件 指定的3本书放在一起 表示为A 把 指定的3本书放在一起 表示为事件A 7 2 在房间里有10个人 分别佩戴从1号到10号的纪念章 任选3人记录企纪念章的号码 1 求最小号码为5的概率 解 以A表示事件 最小号码为5 2 求最大号码为5的概率 解 以B表示事件 最大号码为5 8 3 某油漆公司发出17桶油漆 其中白漆10桶 黑漆4桶 红漆3桶 在搬运中所有标签脱落 交货人随意将这些发给顾客 问一个订货白漆10桶 黑漆3桶 红漆2桶的顾客 能按所订颜色如数得到订货的概率是多少 解 以A表示事件 白漆10桶 黑漆3桶 红漆2桶 9 4 已知在10只晶体管中有2只是次品 在其中取两次 每次任取一只 作不放回抽样 求下列事件的概率 1 两只都是正品 解 以A表示事件 两只都是正品 4 第二次取出的是次品 解 以C表示事件 一只是正品 一只是次品 2 两只都是次品 3 一只是正品 一只是次品 解 以B表示事件 两只都是次品 解 以D表示事件 第二次取出的是次品 10 解 以A表示事件 该方程有重根 5 考虑一元二次方程 其中B C分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数 求该方程有重根的概率 样本空间S中共有36个元素满足判别式的样本点只有 2 1 和 4 4 11 练习三 1 1 已知求 解 2 已知求 解 12 2 假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为0 95 而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的概率为0 002 根据以往资料表明 某单位职工患肺结核的概率为0 001 现在该单位有一个职工经过透视被诊断为患肺结核 求这个人确实患肺结核的概率 解 以A表示事件 确实患肺结核 以B表示事件 通过透视被确诊 13 3 已知男子有5 是色盲患者 女子有0 25 是色盲患者 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人 则 1 此人是色盲患者的概率 解 以A表示事件 色盲患者 以B表示事件 所取为男子 2 若此人恰好是色盲患者 问此人是女性的概率是多少 解 14 4 有两箱同类的零件 第一箱装50只 其中10只一等品 第二箱装30只 其中18只一等品 今从两箱中任选一箱 然后从该箱中任取零件两次 每次取一只 作不放回抽样求 1 第一次取到的零件是一等品的概率 2 在第一次取到的零件是一等品的条件下 第二次取到的零件也是一等品的概率 解 以表示事件 第i次从零件中取到一等品 以表示事件 取到第i箱 15 解 5 设根据以往记录的数据分析 某船只运输的某种物品损坏的情况有三种 损坏2 这一事件记为 损坏10 事件 损坏90 事件 且知现在从已被运输的物品中随机地取3件 发现这3件都是好的 这一事件记为B 试求条件概率 这里设物品数量很多 取出一件后不影响后一件是否为好品的概率 16 练习四 1 口袋里装有a b枚硬币 其中b枚硬币是废品 两面都是国徽 从口袋中随机地取出1枚硬币 并把它独立地抛掷n次 结果发现向上的一面全是国徽 试求这枚硬币是废品的概率 解 以A表示事件 n次出现都是国徽 B表示事件 取到废品 17 证明 2 设且 证明A与B相互独立 18 3 设某工厂生产的每台仪器以概率0 7可以直接出厂 以概率0 3需要进一步调试 经调试后以概率0 8可以出厂 以概率0 2定位不合格品不能出厂 现在该厂生产了n n 2 台仪器 求所有仪器都能出厂的概率 解 以Ai表示事件 第i件仪器能出厂 以B表示事件 第i件仪器需要进一步调试 以C表示事件 所有仪器都能出厂 18 4 设有4个独立工作的元件1 2 3 4 它们的可靠性均为p 将它们按下图的方式连接 求这个系统的可靠性 解 以A表示事件 系统的可靠性 1 第二章随机变量及其分布 1 一个袋内装有6个红球和4个白球 从中任取3个 设X为取到的红球的个数 求X的分布律 解 X的可能取值为 练习一 2 2 进行重复独立试验 设每次试验成功的概率为p 0 p 1 失败的概率为q 1 p 1 将试验进行到出现一次成功为止 以X表示所需的试验次数 求X的分布律 解 X的可能取值为 2 将试验进行到出现r次成功为止 以Y表示所需的试验次数 求Y的分布律 解 Y的可能取值为 6 解 以X表示同一时刻使用的供水设备的台数 3 一大楼装有5个同类型的共水设备 调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0 1 问在同一时刻 1 恰有2个设备被使用的概率是多少 2 至多有3个设备被使用的概率是多少 3 至少有1个设备被使用的概率是多少 7 求 1 每小时恰有5次呼叫的概率 解 以X表示每小时内的呼叫次数 2 一小时内呼叫不超过5次的概率 4 设南京市110每小时接到的呼叫次数服从参数的泊松分布 8 解 5 从学校乘汽车到火车站需要通过三个均设有信号灯的路口 每个信号灯之间是相互独立的 且红绿两种信号显示的时间分别为 以X表示汽车首次停车时已通过的路口个数 求X的分布律及分布函数 6 练习二 1 设随机变量X的分布函数为求随机变量X的概率分布律 解 X的取值为 7 1 求概率 2 设连续型随机变量X的分布函数为 2 求概率 3 求概率 4 求随机变量X的概率密度 其它 8 3 向某一目标发射炮弹 设弹着点到目标的距离 单位 米 X的概率密度为如果弹着点到目标的距离小于50米时 即可以摧毁目标 现在向这一目标连发两枚炮弹 求目标被摧毁的概率 解 以Y表示炮弹摧毁目标的次数 那么 9 4 设随机变量X在 2 5 上服从均匀分布 现在对X进行独立观测 试求至少有一次观测值大于3的概率 解 以Y表示观测值大于3的次数 X的概率密度函数为 其它 9 5 设某类日光灯管的使用寿命X服从参数的指数分布 单位 小时 1 任取一根灯管 求能正常使用3000小时以上的概率 其它 解 X的概率密度函数和分布函数分别为 其它 2 有一根这种灯管 已经正常使用了1000小时 求还能使用2000小时以上的概率 17 练习三 1 设随机变量 则 1 求 2 确定c使得 显然 c 3 3 设d满足 问d至多为多少 17 试求 1 该电子元件损坏的概率 2 在电源电压低于200伏 正常电压200 240伏和高于240伏三种情况下 某种电子元件损坏的概率分别为0 1 0 01和0 1 假设电源电压服从正态分布N 220 252 2 该电子元件损坏时 电源电压在正常电压200 240伏的概率 解 以A表示事件 电子元件损坏 Bi i 1 2 3 分别表示电压低于200伏 200 240和高于240伏三种情况 17 解 设X表示学生成绩 X N 72 2 3 假设考生的数学成绩服从正态分布 已知平均成绩为72分 96分以上的考生占考生总数的2 3 试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率 已知 17 4 设随机变量X的概率分布律为 求随机变量Y X2的概率分布律 17 5 设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求随机变量Y eX的概率密度 其它 其他 解 X的概率密度函数为 17 6 设随机变量X N 0 1 求随机变量Y X 的概率密度 解 显然 左右关于y求导 已知 17 解 1 第三章多维随机变量及其分布 1 设某口袋装有2只黑球 2只白球和3只蓝球 在该口袋中任取2只球 记X为取到黑球的只数 Y为取到白球的只数 1 求随机变量 X Y 的概率分布律 2 求随机变量 X Y 关于X和Y的边缘分布律 3 求概率P X Y 2 2 2 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度 解 已知 1 求常数a 2 求概率P X 2Y 其它 解 6 3 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度 其它 其它 求随机变量 X Y 关于X和Y的边缘概率密度 其它 其它 其它 7 1 确定常数c 解 4 设二维随机变量 X Y 的概率密度 2 求随机变量 X Y 关于X和Y的边缘概率密度 其它 其它 其它 6 练习二 1 设二维离散型随机变量 X Y 的联合分布律为 且随机变量X与Y相互独立 求p与q的值 8 2 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 2 判断随机变量X和Y是否相互独立 其它 解 其它 1 求随机变量 X Y 关于X和Y的边缘概率密度 其它 显然 不独立 8 3 设随机变量Y服从参数为1的指数分布 令 1 求二维随机变量 X1 X2 的联合概率分布律 2 判断随机变量X1与X2是否相互独立 显然 不独立 9 4 设X和Y是相互独立的随机变量 X在 0 1 上服从均匀分布 Y服从参数的指数分布 1 求随机变量X和Y的联合概率密度f x y 其它 其它 由独立 其它 2 设含有a的二次方程试求a有实根的概率 17 练习三 1 设X和Y是相互独立的随机变量 且X和Y的概率密度分别为 求随机变量Z X Y的概率密度 其它 其它 解 其它 其它 17 2 设X和Y是相互独立的随机变量 且都在 0 1 上服从均匀分布 求随机变量Z X Y的概率密度 其它 其它 解 X和Y的概率密度函数分别为 其它 其它 3 3 设是相互独立的随机变量 证明 显然 所以 17 4 设X和Y是两个相互独立的随机变量 它们都服从正态分布 试验证随机变量的概率密度为 其它 我们称Z服从参数为的瑞利分布 证明 由X和Y独立 令 其它 17 5 设随机变量 X Y 的概率密度为 其它 1 求随机变量 X Y 关于X和Y的边缘概率密度 其它 其它 2 判断随机变量X和Y是否相互独立 显然 独立 17 3 求随机变量U max X Y 的分布函数 1 第四章随机变量的数字特征 1 设在某一规定的时间间隔里 某电气设备用于最大负荷的时间X 以分计 是一个随机变量其概率密度为 其它 试求随机变量X的数学期望E X 解 2 解 3 设随机变量X的概率密度为 1 求随机变量X的数学期望 2 求随机变量Y 2X的数学期望 3 求随机变量Z e 5X的数学期望 3 4 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 其它 试求 解 4 解 5 设随机变量X1 X2的概率密度分别为 1 求 2 又设X1 X2相互独立 求 解 5 练习二 1 设某台设备由三个元件所组成 在设备运转中各个元件需要调整的概率分布为0 1 0 2 0 3 假设各个元件是否需要调整是相互独立 以X表示同时需要调整的元件数 试求X的数学期望和方差 解 以Xi表示第i个元件的调整情况 i 1 2 3 6 2 设乒乓球队A与B比赛 如果有一个队胜3场 则比赛结束 已知A队在比赛中获胜的概率为0 5 试求比赛场数X的数学期望 解 随机变量X的可能取值为3 4 5 7 1 写出随机变量 X Y 的概率密度函数 3 设二维连续型随机变量 X Y 在区域内服从均匀分布 其它 解 积分区域的面积为1 2 求随机变量Z 2X Y的数学期望及方差 8 解 9 1 求随机变量Z 2X Y的分布 令 5 设随机变量X Y相互独立 解 2 求概率 3 求概率 令 10 练习三 1 设二维离散型随机变量 X Y 的联合分布律为 试证明 X和Y是不相关的 但X与Y不是相互独立的 故X Y不相关 而且不独立 11 2 设二维连续型随机变量 X Y 在区域内服从均匀分布 计算 其它 解 X Y 的概率密度函数为 12 解 3 设随机变量 X Y 的协方差矩阵为 求与的相关系数 13 4 设连续型随即变量X的概率密度为 1 问X与 X 是否相关 为什么 解 显然不相关 2 问X与 X 是否独立 为什么 不独立 14 5 已知 试求 1 协方差 3 互协方差 2 相关系数 1 第五章大数定理与中心极限定理 1 设 则由契比雪夫不等式有 解 2 设相互独立且均服从参数的泊松分布 试证明 当n趋向于无穷大时 依概率收敛于12 由辛钦大数定律 2 证明 当n充分大时 近似服从正态分布 并指出其分布参数 解 3 设相互独立且同分布 已知 3 4 有一批建筑房屋用的木柱 其中80 的长度不小于3m 现从这批木柱中随机地取出100根 问其中至少有30根短于3m的概率是多少 解 设随机变量 X服从 0 1 分布且 令 4 解 设X表示随机变量 则舍入误差X U 0 5 0 5 5 计算器在进行加法时 将每个加数取最靠近它的数据 设所有的舍入误差是独立的 且在 0 5 0 5 上服从均匀分布 1 若将1500个数相加 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 解 设最多可以有n个数相加使得误差总和绝对值小于10 2 最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0 9 解之得 1 第六章样本及抽样分布 解 1 自总体X抽得一个容量为5的样本为8 2 5 3 7 求样本均值和样本方差及经验分布函数 练习一 2 解 2 在总体中随机地取一容量为100的样本 问样本均值与总体均值差的绝对值小于3的概率是多少 3 1 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率 3 在总体X N 12 4 中随机地抽一容量为5的样本 解 令 2 求概率 解 3 求概率 解 令 1 2 设是取自具有分布的总体的样本 与分别为样本均值与样本方差求 解 设总体为X 1 解 1 设是取自正态总体的简单随机样本 求概率 练习二 解 设总体为X 2 设是取自参数为的泊松总体的一个简单随机样本 与分别为样本均值与样本方差求 1 3 1 设是来自正态总体X N 0 2 的一个简单随机样本 试给出常数c使得服从分布 并指出它的自由度 解 c 1 4 自由度为2 解 自由度为3 2设是来自正态总体X N 0 1 的一个简单随机样本 试给出常数d使得服从t分布 并指出它的自由度 1 1 求 其中为样本方差 2 求 解 由 解 4 设在总体中抽取一容量为16的样本 这里均为未知 01 1 随机地取8只活塞环 测得它们的直径为 以mm计 试求总体均值及方差的矩估计值 并求样本方差 解 第七章参数估计练习一 02 2 设总体X的密度函数为 1 矩估计量 且是来自总体X的一个简单随机样本 为相应的样本值 求参数的矩估计量和最大似然估计量 其中c已知且 解 解之得 将代入 03 2 最大似然估计量 解 最大似然函数为 求对数 求导数 解之得 最大似然估计值为 最大似然估计量为 04 3 已知总体X的分布律为 解之得 将代入得矩估计量 p为未知参数 且是来自总体X的一个简单随机样本 为相应的样本值 求参数p的矩估计量和最大似然估计量 1 矩估计量 解 05 求导数 求对数 最大似然函数 最大似然估计量为 2 最大似然估计量 解 最大似然估计值为 06 4 设总体X具有分布律 1 矩估计值 解之得 其中为未知参数 已知取得了样本值 故矩估计值为 试求参数的矩估计值和最大似然估计值 即矩估计量 又矩估计值 07 1 最大似然估计值 最大似然函数为 最大似然估计值为 08 5 设某种电子器件的寿命 以小时计 T服从双参数的指数分布 其概率密度为 1 求c与的最大似然估计 最大似然函数为 其中 为未知参数 自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验 设它们的失效时间依次为 求对数 09 求导数 由最大似然原则知 最大似然估计值为 最大似然估计量为 10 2 求c与的矩估计 解之得 将代入 即 11 1 验证第六章第二节中定理四中的统计量 解 是两总体公共方差的无偏估计量 称为的合并估计 是两总体公共方差的无偏估计量 练习二 12 是的无偏估计量 解 2 设总体X的数学期望为是来自总体X的简单随机样本 是任意常数 验证 无偏估计量得证 13 解之得 解 3 设是来自总体X的简单随机样本 且设 试确定常数c 使是的无偏估计量 是样本均值和样本方差 14 1 指出中哪几个是的无偏估计量 4 设是来自均值为的指数分布总体X的简单随机样本 其中为未知参数 设有估计量 15 2 在上述的无偏估计量中指出哪一个更有效 4 设是来自均值为的指数分布总体X的简单随机样本 其中为未知参数 设有估计量 显然 则更有效 17 是来自总体X的简单随机样本 5 设总体X的密度函数为 1 求参数的最大似然估计 最大似然函数为 设是来自总体X的简单随机样本值 最大似然估计值为 最大似然估计量为 17 2 问最大似然估计量是否是无偏的 最大似然估计量为 最大似然估计量是无偏的 3 问最大似然估计量是否是的相合的估计量 由辛钦大数定律知是相合的 01 1 设某种清漆的9个样品 其干燥时间 以小时计 为 设干燥时间总体服从正态分布 1 若已知 小时 练习三 求的置信水平为0 95的置信区间 求的置信水平为0 95的单侧置信上限 置信区间为 这里 这里 单侧置信上限为 02 1 设某种清漆的9个样品 其干燥时间 以小时计 为 设干燥时间总体服从正态分布 2 若未知 求的置信水平为0 95的置信区间 求的置信水平为0 95的单侧置信上限 置信区间为 这里 这里 单侧置信上限为 02 置信区间为 这里 2 使用金球测定引力常数 单位 的观察值为 设测定值总体为均为未知 求的置信水平为0 90的置信区间 02 置信区间为 解 这里 3 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率 设两者都服从正态分布 并且已知燃烧率的标准差为 取样本容量为 得燃烧率的样本均值分别为和 设两样本独立 求两燃烧率总体均值差的置信水平为0 99的置信区间 02 单侧置信上限为 置信区间为 4 设两位化验员A B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定 其测定值的样本方差依次为 设分别为A B所测定的测定值总体的方差 设总体均为正态分布 且两样本独立 1 求方差比的置信水平为0 95的置信区间 2 求方差比的置信水平为0 95的单侧置信上限 02 单侧置信下限为 5 随机地从A批导线中抽取4根 又从B批导线中抽取5根 测得电阻 欧 为 这里 A批导线 B批导线 设测定数据分别来自分布 且两样本相互独立 又均为未知 试求均值差的置信水平为0 95的单侧置信下限 1 统计量 1 某批矿砂的8个样品的镍含量 经测定为 解 根据题意 提出假设 设测定值总体服从正态分布 已知 问在显著性水平下能否接受假设 这批矿砂的镍含量的均值为3 25 拒绝域 样本计算值 不在拒绝域内 故接受原假设 认为均值为3 25 2 统计量 解 根据题意 即需检验假设 拒绝域 样本计算值 在拒绝域内 故拒绝原假设 判定平均寿命小于1000小时 3 要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时 生产者从一批这种元件中随机地抽取25