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二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=（a0，b0）； （b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算【例题精选】二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。解：（1）要使有意义，必须，由得， 当时，式子在实数范围内有意义。（2）要使有意义，为任意实数均可， 当x取任意实数时均有意义。（3）要使有意义，必须 的范围内。 当时，式子在实数范围内有意义。小练习：（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？ （3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数3已知y=+5，求的值4若+有意义，则=_5. 若有意义，则的取值范围是 。最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：分析：依据最简二次根式的概念进行化简，（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解：同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解： 分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。解：求值：例5：计算：分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解： （1）原式 化简：例6：化简：分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。解：例7：化简练习：解： 化简求值：例8：已知：求：的值。分析：如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。解：小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例9：在实数范围内因式分解： 来源:学*科*网Z*X*X*K2x24；【提示】先提取2，再用平方差公式【答案】 2（x）（x）x42x23【提示】先将x2看成整体，利用x2pxq（xa）（xb）其中abp，abq分解再用平方差公式分解x23【答案】（x21）（x）（x）例10、综合应用：如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）【专项训练】： 一、选择题：在以下所给出的四个选择中，只有一个是正确的。1、成立的条件是：ABCD2、把化成最简二次根式，结果为：ABCD3、下列根式中，最简二次根式为：ABCD4、已知t1，化简得：ABC2D05、下列各式中，正确的是：ABCD6、下列命题中假命题是：A设B设C设D设7、与是同类根式的是：ABCD8、下列各式中正确的是：ABCD三、1、化简2、已知： 求：拓展训练一、 分式，平方根，绝对值；1. 成立的条件是_2 当a_时，；当a_时，。3 若，则_；若，则_。4 把根号外的因式移入根号内，结果为_。5 把-3根号外的因式移到根号内，结果为_。6 xy，那么化简为_10.若与是同类二次根式，则a=_，b=_。11.求使为实数的实数的值为_。二、根式，绝对值的和为0；1. 若=0，则=_。2. 如果求的算术平方根。6.在ABC中，a，b，c为三角形的三边，则=_。7.已知8.如果，则=_。三、分式的有理化1、已知x= ,y= ，求x2y2的值。5.已知，求下列各式的值； ； ； yx2+xy2;四、整数部分与小数部分1.的整数部分是_，小数部分是_。4.已知，的整数部分为，小数部分为，求的值。五、 根式，分式的倒数；1.已知x=4,求x的值。3. 若x2-192x+1=0，求x4+1x4的值；六、转换完全平方公式；1.已知，求的值3.已知x，y是实数，3x+4+y26y+9=0，若axy-3x=y，求a的值；5、已知0 x1，化简：6、化简：1、； 2、；七、技巧性运算1.2、计算的结果是_4、已知，那么的值是_5、已知那么的值是_6、已知，求的值附：中考类型1、在实数范围内，有意义，则x的取值范围是（ ）；Ax0 Bx0 Cx0 Dx0 2、使二次根式有意义的x的取值范围是 （）；ABCD ；3一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）；ABCD4、在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U为（ ）； 5、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、 ；B、 ；C、 ；D 、且；6函数的自变量的取值范围是（ ）A BC D函数中自变量的取值范围是（ ） A；B ；C 且； D且；二、二次根式的运算问题7、（09武汉市）二次根式的值是（ ）；AB或CD8、 (衡阳市2009年)下面计算正确的是（ ）；A B C D9、(09年安顺市)下列计算正确的是（ ）； ABCD10、(09太原市)计算的结果等于 11、(黔东南州2009年) _；12、(09山西省)计算： 13、(09年襄樊市)计算： 备用题、（09绥化市）计算： . 三、二次根式与绝对值、0指数幂等的混合运算14、(09黔东南州)方程，当时，m的取值范围是（ ）；A、；B、；C、；D、；15、（09嘉兴市）当时，代数式的值是_16、（09嘉兴市）计算：17、(09台州市)计算：四、二次根式与整式的化简求值问题：18、（09广州市）先化简，再求值：，其中19、（09孝感市）已知：求下列各式的值 （1）；（2）20、（09威海市）先化简，再求值：，其中1、已知，求：的值；2、已知：，计算：（1） ；（2） 五、二次根式与分式的化简求值问题：21、（09黔东南州）先化简，再求值：，其中；22、(09恩施)求代数式的值：，其中23、（09泰安市）先化简、再求值：。24、（09黔东南州）先化简，再求值：，其中；六、二次根式的探究规律问题：25、我们看几个等式：=14+1=5;=25+1=11; =36+1=19；仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释这一规律吗？并用你发现的规律猜想下面的结果：=_. =（ ）( ) ( )；=_.2011安徽，4，4分）设a=1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A1和2B2和3 C3和4 D4和5（2011山东烟台，5,4分）如果，则（ ）Aa B. a C. a D. a2011安徽芜湖，14，5分）已知、为两个连续的整数，且，则 2011四川内江，加试1，6分）若，则的值是 （2011山东德州12,4分）当时，=_2011四川内江，加试3，6分）已知，则 2011四川凉山州，25，5分）已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则 2011湖北黄冈，3，3分）要使式子有意义，则a的取值范围为_下列运算正确的是（ ）(黑龙江齐齐哈尔09)A BC D若=(xy)2，则xy的值为( ) (09湖北荆门)(A) 1 (B)1 (C)2 (D)3化简：已知，求：的值；我们看几个等式：=14+1=5;=25+1=11; =36+1=19；仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释这一规律吗？并用你发现的规律猜想下面的结果：=_. =（ ）( ) ( )；=_.y=+2009，则x+y= 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4.