考研数学辅导讲稿之导数应用例题资料版.pdf

2012 考研数学之导数应用 1 函数的零点和符号的讨论方法 1 利用闭区间上连续函数的性质 利用闭区间上连续函数的性质 主要利用两个定理 介值 零点 定理和最值定理 介值定理介值定理 若函数 xf在闭区间 a b上连续 且 0f af b 那么 对于 f a与 f b 之间的任意一个数C 在开区间 a b内至少有一点 使得 fC 即 若 baCxf faA BABbf 则对于A与B之间的任意一个数C 至少 有一点 ba 使得 fC 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值 尤其需 要重视其应用 零点定理零点定理 若函数 xf在闭区间 a b上连续 且 f a与 f b异号 那么在开区间 a b 内至少有一点 使得 0f 即 若 baCxf 且0 bfaf 则至少有一点 ba 使得 0f 参考题 1 证明方程 x x24 至少有一个小于 2 1 的正根 证 设 42xf xx 显见 1 0 2 f xC 1 0 0 2 fff 1 1 fF 01 1 1 fF 由闭区间上的连续函数的零点定理可知 xxfxF 在 0 1 存在零点 综合以上三种情况 xxfxF 在 0 1 存在零点 3 已知 xf在 0 1 上非负连续 0 1 0 ff 则对于任意一个实数L 10 a 0 0 f 1 写出 xf的 带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式 2 证明在 aa 内至少存在一点 使得 a a dxxffa 3 3 比较 若二阶导数 x f 在 2 4 连续 且0 3 f 求证在 2 4 必有一点 使得 4 2 d 3 xxff 真题 020308设 xf xg在 ba 连续 且0 xg 利用闭区间上连续函数的性质 证明在 ba 存在一点 使得 b a b a xxgfxxgxfd d 反证法的使用在此类问题的证明中是重要的叙述手段 所用结论是 闭区间上的连续函数若没有零点 则它是恒正 负 的函数 参考题 已知 xf在 ba 上连续 且对于 x ba 存在相应的 y ba 使得 2 1 xfyf 试证 0 x ba 使得0 0 xf 2012 考研数学之导数应用 3 2 利用 利用 Rolle 定理定理 Rolle定理主要的作用 确定函数的导数的零点的存在性 在使用Rolle定理时要注意解决两个问题 辅助函数的构造 区间的选取 辅助函数的构造 例2 如果 0 a 1 a n a为满足0 1 11 2 1 110 nn a n a n aa 的实数 证明 方程0 1 110 n n n n xaxaxaa 在 0 1 至少有一个实根 熟记一些常见形式对使用Rolle定理很有帮助 比如 若有0 ff的形式 可构造辅助函数 xF x f x e 若有0 ff的形式 可构造辅助函数 xF x f x e 等等 参考题 若 xf可导 求证在 xf的两个零点之间一定有 xfxf 的零点 真题 090118 090221 090318 例3 设 xf在 0 1 上连续 在 0 1 可导 0 0 f 求证 0 x 0 1 使 得 2 0000 xfxfxfx 为了满足Rolle定理的条件之一 端点值相等 常常需在一个较小的区间上使用Rolle定 理 形式上表现为寻求一个点 使该点的函数值等于另一已知点的函数值 例 4 设 xf在 0 1 连续 在 0 1 可导 且0 1 0 ff 1 2 1 f 求证存在 1 0 使得1 f 2012 考研数学之导数应用 4 真题 990308设 xf在 0 1 连续 在 0 1 可导 且0 1 0 ff 1 2 1 f 1 求证存在 1 2 1 使得 f 2 对任意实数 必存在 0 使得1 ff 辅助函数是 xxfexF x 030308 本题满分8分 设函数 xf在 0 3 上连续 在 0 3 内可导 且 3 2 1 0 fff 1 3 f 试证必存在 3 0 使 0 f 例5 设 xf在 ba 上可导 0 bfaf 0 bfaf 求证 0 x f在 ba 内至少存在两个不同根 真题 040108 040311 960207 设 xf在 ba 上二阶可导 0 bfaf 0 bfaf 求证 在 ba 内存在两点 使得0 f 0 f 本题同例5 例6 设 xf在 0 1 可导 2 1 0 d 2 1 xxxff 证明存在 1 0 c 使得 c cf cf 真题 010407 设 xf在 0 1 上连续 在 0 1 可导 3 1 0 1 3 1 2 dxxfef x 证明存在 1 0 c 使得 2 ccfcf 010307 100319 设 xf在 0 3 上连续 在 0 1 二阶可导 2 0 2 0 d 2 3 ff xxff 证明 1 存在 0 2 使得 0 ff 2 存在 0 3 使得 0f 2012 考研数学之导数应用 5 例7 设 xf在 0 1 二阶可导 0 1 0 ff 求证存在 1 0 使得 1 2 f f 真题 070119 070221 3 Lagrange 定理与定理与 Cauchy 定理定理 Lagrange定理 abfafbf f bf a f ba Cauchy定理 g f bgag bfaf 参考题 1 对任意实数yx 有yxyx coscos成立 2 设 xf在 ba连续 在 ba内可导 且0 ab 求证 存在一点 ba 使得 2 22 ab f afbf Lagrange定理主要用来证明不等式或确定函数在某点的符号 若需把函数在多个点的函 数值进行比较 常用Lagrange定理 例8 设 xf在 a上连续 在 a可导 1fx 0 af 求证在 ba 内存在一点 使得0 2 3 2 x dx 则在 1 3 内至少存在一点 使得 0 a 求证 在 ba 内至少 存在三个数x1 x2 x3 使得 2 3 322 2 2 1 3 2 x xf abab x xf abxf 真题 100221 050118 030210 本题满分10分 设 xf在 ba 上连续 在 ba 内可导 且 0 x f 若 ax axf ax 2 lim存在 证明 1 在 ba 内 0f x 2 在 ba 内存在点 使 2 22 f dxxf ab b a 3 在 ba 内存在与 2 中 相异的点 使 b a dxxf a abf 2 22 4 利用函数的单调性 极值和最值 利用函数的单调性 极值和最值 例11 求证在0 x时 2 1ln 2 x xx 2012 考研数学之导数应用 7 x o y yf x 0 0 0 f a f xxa fx ax o y yf x 0 0 0 f b f xxb fx b xo y yf x 0 0 0 f b f xxb fx b xo y yf x 0 0 0 f a f xxa fx a 图 函数大于0与导数的关系 图 函数小于0与导数的关系 参考题 证明 b b a a ba ba 111 2012 考研数学之导数应用 8 例12 设 xf在 0 c上有严格减小的导数 0 0 f 求证 对于任意满足 cbaba 例13 求证在10 x时 x x e x x时 xx 1 1 1 1ln 真题 060219 060317 060417 090205 020209 890202 2 900205 910204 930106 2 930207 980211 960202 4 990106 990408 000102 1 例15 设 2 0 2 sin 真题 010202 4 设 xf在 1 1 内二阶可导 x f 严格单调减少 1 1 1 ff 则 A 在 1 1 和 1 1 内均有xxf C 在 1 1 内有xxf D 在 1 1 内有xxf 在 1 1 内有xxf 990408 参考题 1 设10 x p是大于1的常数 求证 1 1 2 1 1 pp p xx 2 求证在20 xxxx x 1是最小值点 例16 讨论方程axx ln 0 a 有几个实根 2012 考研数学之导数应用 9 真题 110117 本题满分10分 求方程arctan0kxx 不同实根的个数 110318 本题满分10分 证明方程 4 4arctan30 3 xx 恰有两个实根 030207 本题满分12分 讨论曲线kxy ln4与xxy 4 ln4 的交点个数 050307 040118 890106 930202 4 940204 970208 欲证函数在某一区间恒为常数 可以采用两个方法 函数的导数恒为零 函数的最 大值和最小值相等 例17 1 求证1 x时 2 arccosarcsin xx 例17 2 设 xf在 满足 xfxf 1 0 f 求证 xf x e 例18 设 xf满足 x f 0 xfxgxf 其中 xg是某一函数 求证若 xf在 a b两点为0 ba a时 a a axx 1 2 1 1 1 1 真题 040208 5 Taylor 公式公式 Taylor公式在证明不等式 讨论极值 拐点等问题时发挥重要作用 2012 考研数学之导数应用 10 在 000 xxxfxfxf 1 1 00 1 1 nn fxxx n nn xxf n 1 0 1 中 若 0 0 1 0 xfxf n 0 0 xf n 则 0 xfxf nn xxf n 1 0 当0 0 xf n 或0 0 xf n 但是 xf n 的符号在 0 x的一个去心邻域内恒定不变号的 时候 则 0 xfxf 的符号取决于 n xx 0 这是证明不等式的理论根据 例19 求证在0 x时 22 1 ln 1 xxxx时 x xx xf 求证 xxf 真题 940106设 xf在0 x的某邻域内有二阶连续导数 0 lim 0 x xf x 求证级数 1 1 n n f 绝对收敛 960102 2 设 xf有二阶连续导数 且0 0 f 1 lim 0 x xf x 则 B 成立 A 0 f不是 xf的极值 0 0 f不是曲线 xf的拐点 B 0 f是 xf的极小值 C 0 0 f是曲线 xf的拐点 D 0 f是 xf的极大值 极值第二充分条件的推广定理 设 xfy 在 0 xx 的某邻域内具有n阶导数 如果 2012 考研数学之导数应用 11 0 0 1 0 xfxf n 而0 0 xf n 则 当n为偶数且0 0 xf n 时 0 xf是 极小值 当n为奇数时 0 xf不是极值 00 xfx是曲线 xfy 的拐点 此时可不考虑是否 有0 0 x f 例21 000202 2 设 xxfxf 2 0 0 f 则 A 0 f是 xf的极大值 B 0 f是 xf的极小值 C 0 0 f是曲线 xf的拐点 D 0 f不是 xf的极值 0 0 f也不是曲线 xf的拐点 参考题 设 xfy 在 内有二阶连续导数 且满足关系式 x eyxyx 13 2 1 若 xf在cx 0 c处有极值 证明 cf为极小值 2 若 xf在0 x处有极值 0 f是极大值还是极小值 Taylor公式使用的范围非常广泛 可以使用Taylor公式的题目具有两个基本的特征 1 涉及到函数在多个点的函数值 2 给出了二阶以上的导数 例22 设 xf在 1 上0 x f 2 1 f 3 1 f 求证 0 xf在 1 内有唯一一个实根 例23 设 xf有二阶导数 0 1 0 ff 2 max 10 xf x 证明 16 min 10 xf x 利用函数在区间端点于中点展开的两个Taylor公式 它的好处是两式相减可以抵消掉一 2012 考研数学之导数应用 12 些项 便于展开讨论 以2阶Taylor公式为例 ba 的中点记为 0 2 ab x 则 23 0000010 11 2 3 f af xfxaxfxaxfax 23 0000020 11 2 3 f bf xfxbxfxbxfbx 注意 0 2xab 00 2 ba bxax 可得 23 0021 11 2 848 f af bf xfxbaffba 可得 3 021 1 48 f bf afxbaffba 特别注意 f bf a 以及0 0 x f的情形 例24 990208设 xf在 1 1 上三阶连续可导 0 1 f 1 1 f 0 0 f 求证 在 1 1 内至少存在一点 使得3 f 参考题 1 设 xf在 0 1 上有三阶连续导数 1 0 f 2 1 f 0 2 1 f 求证存在 1 0 c 使得24 cf 2 设 xf在 ba 上连续 在 ba 内二阶可导 0 bfaf 0 a f 求证在 ba 内存在一点 使得0 x 且充分小 时 xxtan ln 1 xx II B 1 21 II C 1 12 II D 1 12 II 060218 060116 本题满分12分 设数列 n x满足 11 0 sin 1 2 nn xxx n 证明lim n n x 存在 并求该极限 100117 100216 100318 本题满分10分 比较 1 0 ln ln 1 n n uttdt 与 1 0 ln n n vtt dt 1 2 n 的大小 求lim n n u 解解 当01t 时 0ln 1 tt ln 1 n n tt 则 11 00 ln ln 1 ln nn nn uttdttt dtv 因为 111 000 ln ln 1 lnln nnn nn uttdtvtt dtt t dt 1 1 2 0 11 ln 1 1 n td t nn