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高考题中的阿基米德三角形 图1 回顾 过抛物线x2 2py p 0 上的点P x0 y0 处的切线方程 结论 过抛物线x2 2py p 0 外一点P x0 y0 分别作抛物线的切线PA PB A B分别是切点 则直线AB的方程为 由抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形 A B P F 阿基米德三角形 阿基米德是伟大数学家与力学家 并享有 数学之神 的称号 x y 结论 直线AB的方程为 图2 探究2 a b 性质1 若阿基米德三角形ABP的边AB即弦AB过抛物线内定点C 则另一顶点P的轨迹为一条直线 C x y 性质2 若直线l与抛物线没有公共点 以l上的点为顶点的阿基米德三角形ABP的底边AB过定点 C x y x y 2p 思考 把M改成抛物线外任意一点 结论仍然成立吗 性质3 如图 ABP是阿基米德三角形 N为抛物线弦AB中点 则直线PN平行于抛物线的对称轴 B B 性质4 在阿基米德三角形ABP 则 探究4 由一元二次方程根与系数的关系得 性质4 在阿基米德三角形ABP 则 性质5 如图 在阿基米德三角形ABP 若F为抛物线焦点 则 x y 同理可得 AFP PFB 推论 在阿基米德三角形ABP 若弦AB过抛物线焦点F 则 x y B 推论 在阿基米德三角形ABP 若弦AB过抛物线焦点F 则 课堂小结 2 关键点 阿基米德三角形三个顶点坐标之间的关系 1 一个阿基米德三角形 3 方法 求导法 主元法 设而不求法 x y x y 方法2 当 所以P点坐标为 的距离为 则P点到直线AF 即 所以P点到直线BF的距离为 所以d1 d2 即得 AFP PFB 当 时 直线AF的方程 所以P点到直线AF的距离为 同理可得到P点到直线BF的距离 因
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