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四点接触式回转支承的载荷分布摘要本文讨论了决定在单排球轴承四点接触回转支承滚动体的四个接触点在一般负载条件下(力矩,轴向载荷和径向载荷)载荷分布的计算程序。本文讨论的是四点接触一般轴承理论的扩展，也就是计算在两点接触滚动体的载荷的分布。1.引言回转支承基本上是一大型轴承,按照应用要求也可拥有齿轮齿，用以从发动机上获取能量。这种类型轴承的应用领域很广泛，从塔式起重机到风力发电机，挖掘机和货物运输机械等。不同类型的回转支承存在:他们可以是一个单排的球轴承,或者一个双排的球轴承,一排交叉滚子,两排滚子或三排滚子。因此,回转轴承基本上可以分为滚动体(它可能是球状滚子和柱状棍子)和内滚道以及外滚道。回转支承的计算是基于轴承的计算理论的。当轴承的尺寸被标明，为了支持载荷的传递，首先要用到的条件就是滚动体与滚道之间产生的极限接触压力。因此，计算静态载荷的基本原则是确定承载载荷最大的滚动体上的力.为了做到这一点，力的分布和回转支承滚动体的接触角是必须是已知的。滚动体的载荷分布为我们计算回转支承提供了非常有用的信息。一方面,它告诉我们什么是极限载荷和指出了滚动体携带的最重负荷。同时它也为我们提供信息以确定一个等效载荷用来计算在每一个滚动体上都有特定负荷的情况下的动态载荷。2-4组成回转支承的两个环状物通常是用螺纹连接到相应结构上的。轴承载荷分布还提供信息帮助我们去校核螺纹连接的配合。当轴承的载荷分布计算出来了，轴承套圈之间的相对位移（轴向位移，径向位移和角位移）也就能计算出来了，所以确定载荷分布的过程也提供了关于轴承总体刚度的信息，而这些信息有时是某些应用案例的基本原则。本文描述了一个确定的过程用以分析四点接触式1单排球回转支承的滚动体的载荷分布，这个过程是在一般负载情况下（力矩的，轴向载荷和径向载荷）进行的，轴承间隙的影响也包括在内。两点接触和四点接触之间的差异在于滚道的曲率上。两点接触式回转支承每个滚道只有一个单一的曲率，而四点接触式回转支承每个滚道有两个曲率。（图1）图1.两点接触与四点接触为了达到简化的目的，本文描述的步计算步骤是假设滚道是精确理想的并且滚动体与滚道之间只存在弹性变形（赫兹接触）。不考虑由轴承支承面产生的影响。轴承圈的变形通常引起接触角和接触力的同次性损失图5通过前面的研究我们知道了轴承在加强结构上的主要变形是由球轴承滚道的接触力引起的。在这样的情况下轴承圈剩余部分几乎是不可变形的。计算过程的发展已经被涵盖于excel书的宏指令中，以至于终极用户可以轻易的计算出施加在球形轴承上的力。除了计算每个球形轴承的力，能够以特定的视觉和图片方式看出力的分布。发生在轴承的位移也能够被计算出。2.解决方案通常情况下，回，由回转支撑轴承所承载的外部负载是属于与其成轴有关的轴向、径向和力矩类型。这些组合负载引发每个球形轴承根据其在轴承里所占位置和滚道的几何特征以及物质属性来承载不同的工作量这些轴承的转速非常低，因此可以忽略滚子球上回转力和离心力产生的影响。在承重轴承的滚道之间存在三种形式的相对位移（图2）： 轴向位移 z, 径向位移 r, 旋转位移 .图2.滚道间的相对位移 这些相对位移定义了两条滚道的曲率中心相对于初始位置的轨迹，他们先是如下公式：此处s表示滚道曲率中心之间的相对位移，A表示滚道曲率中心初始的相对距离(图3)图3.回转支承截面滚道之间的相对距离决定了变形情形，这是每个球轴承都遵从的，作为滚珠在整个圆周上的的角位置()是已知的（图4）。 Cii代表了下部的内滚道曲率中心。 Cis代表了上部的内滚道曲率中心。 Cei代表了下步的外滚道曲率中心。 Ces代表了上部的外滚道曲率中心。a和h是由设计参数，如0，球轴承直径和一致性（滚道曲率半径除以滚珠直径）给定的变量。图4.轴承内滚珠的位置.每个滚珠携带的接触方向上的载荷是：其中K滚珠和滚道的接触硬度，0 是滚道之间的初始接触角，是确定滚珠在轴承内位置的角度。（图4）变形和产生变形的力之间的关系是由接触硬度产生的，这是一个关于滚珠与滚道的材料和相对位移的非线性函数。其中是接触部分的远程点之间的相对接近，n是载荷偏差指数（滚珠是1.5）每个球轴承支持的力和轴承的整体位移是相关的。最终，对球轴承上的载荷从三个方面的推测给了我们联系轴承位移和外部载荷的表达式。这些可以有下面这些公式表示：其中Fz 是外部的轴向力，Fr 是外部的径向力；M是外部的力矩；dm 是平均直径或轴承直径。这三个方程式组成了一个非线性的系统。还必须指出的是，由K表示的接触刚度也是一个关于轴承位移的函数，因此关于这个方程式系统的解决方案也包含一个关于规定硬度的求零非线性计算。3.接触刚度接触刚度，如上所述，是一个关于滚珠和滚道的材料和它们之间的相对位移的非线性函数1在每个滚珠与滚道的接触中，滚珠上接触方向上的载荷等于其中K是接触刚度，是接触部分远程点之间的相对接近。是一个函数，这个函数是关于滚珠上的载荷，曲率的总结，接触部分的材料和参数*的. *是关于接触区域的投影的函数，两个参数(F,)是完整的第一代和第二阶椭圆积分。这最后的两个参数(F,)椭圆轴段和曲率差异彼此是相关的1。4.计算过程计算过程包括确定曲率中心的最初和最终坐标，曲率中心处在斜对角位置的接触的研究，定义非线性函数。4.1.曲率中心的初始坐标如上所述，是由滚珠在轴承内的位置决定的角度。假设滚道的曲率半径是相等的，在不考虑轴向间隙影响的情况下，四个曲率中心的初始坐标（由1表示）是：对角曲率中心的初始距离等于然而，间隙的存在改变了一些曲率中心在Z周的坐标。如果用Pr代表存在的径向间隙，rc 代表曲率半径，d滚珠直径，就能得到下面的关系式（图5）：图5.滚道与滚珠之间的间隙把内圈当做参考，外圈将要向下移动一个等于轴向间隙量j,直到滚珠与滚道接触。图6显示了在初始位置的曲率中心的位置，同时考虑到j的轴向间隙。图6.间隙消除后滚珠的位置下面的关系式可能是有图6推断出来的：由表达式（21），就如同Pr=0的接触，可以推断出由表达式（21）（23）可以推断出由公式（22）找出出j然后代入公式（24），以下的方程式是用来求解轴向间隙的：把轴向间隙代入到就算中，曲率中心在Z轴的坐标Cei1 和 Ces 1就改变了，其中4.2.曲率中心的最终坐标一旦间隙被克服，外部载荷(Fr, Fz and M)被施加在外圈上，这导致了外滚道曲率中心的位移，r, z 和 。力矩的中心线被确定为y轴，径向力和力矩之间啊的角度被定义为（图7）.图7.载荷方向曲率中心的最终坐标（用2表示）将表示如下：在四点接触式的单排球回转支承上，接触可能发生在相对的两个曲率中心上；接触也可以发生在曲率中心Cii 和 Ces上或者曲率中心Cis 和 Cei上（图8，为了使接触可以表的的简单一点滚道用直线来表示）。图8.相对的曲率中心之间的接触4.3.曲率中心Cii 和 Ces之间的接触当接触发生在Cii 和 Ces之间（图8A），曲率中心的距离将是两个曲率中心的相对位移等于接触角是滚珠上的反作用力是观察接触中角度的关系是非常有趣的（图9）。图9. Cii 和 Ces接触时距离，角度，力在XY平面的投影A1cos1 是曲率中心Cii 和 Ces之间的距离在XY平面上的投影：反作用力在x，y，z方向上的分力是把式（43）代入式（45），把式（44）代入式（46）将得到下列关系式：反作用力的作用点的矢量位置显示了下列的x,y,z三个方向的分量：其中d表示滚珠直径。把式（43）代入式（50），把式（44）代入式（51），将得到下列公式反作用力对原点的力矩为：这个力矩在个方向的分量是：4.4. 曲率中心Cis 和 Cei之间的接触如前一章节的接触研究的相同方式，曲率中心Cis 和 Cei之间的接触可以得到以下关系式（图8B）：曲率中心的距离为：两个曲率中心的相对位移等于：接触角为：滚珠上的反作用力为：如同前面的接触一样，观察这种接触中角度的关系也是非常有趣的（图10）。图10. Cis 和 Cei接触时距离，角度，力在XY平面的投影A2cos2是曲率中心Cis 和 Cei之间的距离在XY平面内的投影：反作用力在x，y，z方向的分量是：把式（63）代入式（65），把式（64）代入式（66），可以得到下列关系：反作用力作用点的矢量位置显示了以下x，y，z方向上的分量：其中d表示滚珠的直径。把式（63）代入式（70），把式（64）代入式（71），可以得到以下关系：反作用力对原点的力矩为：此力矩在个方向上的分量是：4.5.反作用力概括此处，所有回转支承上的滚珠都被包括了，每个滚珠上所存在的反作用力都被加在了一起（假设这些都存在，即接触发生在每一个滚珠上）。当10 或 20时，每一个滚珠上的接触发生在相对的曲率中心CiiCes或者CisCei上或者两种都有。接触存在于相对的两个曲率中心上是因为曲率中心在彼此远离对方（如果滚道曲率中心相互接近，滚道则相互远离）：因此，r, z 和 必须是已知的，必须满足下列关系式：其中Z是回转支承中滚珠的总数。5.安装这个过程被收入到了一个回转支承的计算程序中，它能使以后的使用者可以简单的计算出滚珠上的力。除了可以计算每个滚珠上的力以外，力的分布可以以一种和直观的图标形式显示出来。还可以计算出轴承产生的位移。这个程序是依照图11的图标构成的。图11.程序图要计算每个滚珠上的力，必须首先了解轴承的几何学参数，外部载荷的施加以及回转支承的材料。然后程序会执行一系列的中间计算，这些计算是计算每个接触刚度所需要的。求解模块解决了非线性方程组，当一个解决方案被发现它会显示出结果，这个结果是关于每个滚珠上的力，接触角，接触投影的半长轴和半短轴以及接触变形。图标模块可以使得载荷的分布显示的非常直观与生动。在图12中一张正视图显示了轴承的下面部分的横截面（圆周的截面）。图12.轴向（左）径向（右）分力图不同种类接触的反作用力的分量被用不同的颜色和线型表示（CiiCes：黑色，CisCei灰色，当接触发生在相对的两曲率中心：）。在轴向分量的图表轴，回转支承的滚珠受到的载荷越大，表示它的线型将越粗越醒目。轴线的分量是沿着垂直于屏幕的方向的。如果它是黑色的，那表示它的方向是垂直于屏幕向里的。如果它的颜色是灰色的，那表示它的方向是垂直于屏幕向外的。反作用力的径向分量的方向总是沿着轴承半径方向向外的。这样研究的计算方法被用以下三种方式确认：确认由四点接触的计算方法获得回转支承的最大载荷和由其他公式获得最大载荷。与由外部载荷的差异获得的图表一致。对比两点接触6的过程和四点接触的过程所得到的结果。由世界上关于回转支承的其他的方法或公式得到的结果与用这种方法获得的结果看上去是非常相似的。在轴承计算中，为了确定最大载荷（轴向的分量），下面的公式通常被用在不同形式的载荷状态下：只承受轴向的载荷：Qmax=Fz/(Zsin),其中Z是滚珠的数量1。只承受转矩：Qmax=4.37M/(dmZsin),其中dm是滚子的直径7。只承受径向的载荷：Qmax=4.37Fr/(Zcos)（两点接触的形式）1.在只承受径向载荷的情况下，由于那个公式是计算两点接触式的，所以由这个公式得到的结果必须被除以2。下面是一个初始角为60，滚珠数量为94，直径为1000mm的轴承的计算结果：6.总论基本的结论是一个用于分析四点接触式单排球回转支承滚动体上载荷分布的计算方法被开发出来了。这个方法被应用在一个计算程序中，这个程序是用来计算载荷分布的，它使得具有最大载荷的滚动体可以通过一种非常生动的形式显示出来，除此之外还可以用来评估载荷。这个程序还提供一些其他的数据，如每一个接触处的接触面积，轴向位移和径向位移，回转角等等。而且，不同负载状态下所获得的数据与其他用于回转支承分析的公式进行比较，得到了一个可以接受的结果。因此，通过应用这篇文章描述的方法，是有可能计算出最大载荷的，同时将这些数据与已有的制造商的不同标准进行比较8。通过几何学数据，材料数据，求得的接触投影的长半轴与短半轴是有可能计算出解除表面以下Z轴上任意深度的压力变化9。然后冯米塞斯压力就被算出来了，由此可以得到适当的硬化层深度 10 。至此，一个计算滚动体的最