全国高考数学复习第七篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系习题理.docx

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质3,6,14点、线、面的位置关系1,4,5,11异面直线所成的角2,7,8,9,10,12,13基础对点练(时间:30分钟)1.(2016黑龙江大庆高三月考)下列说法正确的是(D)(A)若a,b,则a与b是异面直线(B)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面(C)若a,b不同在平面内,则a与b异面(D)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面解析:由异面直线的定义可知选D.2.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45,连接各边中点所得四边形的面积是(A)(A)6 (B)12(C)12(D)24解析: 如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,EFG或FGH为AC与BD所成的45角,故S四边形EFGH=34sin 45=6,故选A.3.若直线上有两个点在平面外,则(D)(A)直线上至少有一个点在平面内(B)直线上有无穷多个点在平面内(C)直线上所有点都在平面外(D)直线上至多有一个点在平面内解析:根据题意,两点确定一条直线,那么由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内.选D.4. (2016淄博实验阶段测试)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:直线AM与直线C1C相交;直线AM与直线BN平行;直线AM与直线DD1异面;直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为(B)(A)(B)(C)(D)解析:AM与C1C异面,故错;AM与BN异面,故错;,正确.5.(2016福州质检)已知命题p:a,b为异面直线,命题q:直线a,b不相交,则p是q的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若直线a,b不相交,则a,b平行或异面,所以p是q的充分不必要条件,故选A.6. 如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(A)(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析: 连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C平面ACC1A1,因为MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.7.(2016洛阳一模)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析: 如图所示,因为BD平面ACC1A1,所以平面ACC1A1平面BDC1.在RtCC1O中,过C作CHC1O于H,连接DH,则CDH即为所求.令AB=a,显然CH=a,所以sin CDH=,即CD与平面BDC1所成角的正弦值为.8. (2016揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB=1,则异面直线AB1与BD所成的角为.解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点,所以B1D1BD,所以AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1=a.所以,在AB1D1中,由余弦定理得cos AB1D1=,所以AB1D1=60.答案:609. 如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB=90,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是.解析:由于ACA1C1,所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角.在BA1C1中,A1B=,A1C1=1,BC1=,cos BA1C1=.答案:能力提升练(时间:15分钟)10.导学号 18702358三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60,BAC=90,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为(D)(A)1(B)(C)(D)解析: 如图所示,把三棱柱补成四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,则BD1AC1,则A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设AB=a,在A1BD1中,A1B=a,BD1=a,A1D1=a,所以sin A1BD1=.11.(2016福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).解析:由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错.答案:12.(2015四川卷) 如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则cos 的最大值为.解析:如图,建立空间直角坐标系Axyz,设AB=2,QM=m(0m2),则F(2,1,0),E(1,0,0),M(0,m,2),=(2,1,0),=(1,-m,-2),cos =|cos|=|=|=.设y=(0m2),则y=.当0m2时,y0,所以y=在0,2上单调递减.所以当m=0时,y取最大值,此时cos 取最大值,(cos )max=.答案:13. 导学号 18702359已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,A1在底面ABC内的射影O为底面ABC的中心,如图所示.(1)连接BC1,求异面直线AA1与BC1所成角的大小;(2)连接A1C,A1B,求三棱锥C1BCA1的体积.解:(1)连接AO,并延长与BC交于点D,则D是BC边上的中点.因为点O是正ABC的中心,且A1O平面ABC,所以BCAD,BCA1O.因为ADA1O=O,所以BC平面ADA1.所以BCAA1.又AA1CC1,所以异面直线AA1与BC1所成的角为BC1C.因为CC1BC,BC=CC1=B1C1=BB1=2,即四边形BCC1B1为正方形,所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为.(2)因为三棱柱的所有棱长都为2,所以可求得AD=,AO=AD=,A1O=.所以=SABCA1O=2,=-=.所以=.14.导学号 18702361已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,E,F四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.证明:(1) 如图所示,因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.在正方体AC1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,BD确定一个平面.即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为,又设平面BDEF为.因为QA1C1,所以Q.又QEF,所以Q.则Q是与的公共点,同理,P点也是与的公共点.所以=PQ.又A1C=R,所以RA1C,R且R.则RPQ,故P,Q,R三点共线.好题天天练1. 导学号 18702362如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断正确的是 .(填所有正确结论的序号)MN与CC1垂直;MN与AC垂直;MN与BD平行;MN与A1B1平行.解题关键:连接B1C,则点M是B1C的中点,根据三角形的中位线,证明MNB1D1.解析: 连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是B1CD1的中位线,所以MNB1D1,因为CC1B1D1,ACB1D1,BDB1D1,所以MNCC1,MNAC,MNBD,故正确.又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行,因此错误.