高等数学B2复习(讲稿).doc

经济数学（）复习考试范围：教材610章第六章： 空间解析几何初步1主要内容：（1）空间直角坐标系，空间两点间的距离公式。（2）向量的坐标、模、方向角与方向余弦；向量的运算；向量平行和垂直的充要条件（3）平面及其方程：点法式、一般式和截距式，特殊平面的方程；两平面的夹角；点到平面的距离公式。（4）空间直线及其方程：点向式、一般式和参数式，且要理解三种方程之间的关系和互化；两直线及直线与平面的夹角。（5）曲面及其方程，二次曲面；熟悉球面，柱面，椭球面，锥面，双曲面，旋转面方程。2重点：建立平面及空间直线的方程。3典型例题与习题 （1）6-1 例题1 习题1-4 （2）6-2 例题1-3 习题1，2，4，8-11 （3）6-3 例题1-6 习题1，2，4，6 （4）6-4 例题1-4 习题1-6 （5）6-5 例题1-3 习题1-44典型方法（1）向量平行和垂直的充要条件：设，则 例1 求，若，则 ；若，则 。例2 求与及都垂直的单位向量。（2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：设，则向量的模：方向余弦：方向角：根据方向余弦来求，注意方向角的范围向量的夹角：例1 已知两点和，试求向量的模、方向余弦及方向角。例2 已知向量与的夹角为，又，计算。例3 设，又，则（ ） A. B. C. D.（3）求平面方程的方法： 求平面方程，关键是找出构成平面的基本要素：一个点和法向量，或不在同一直线上的三个点，方法一：定平面上一个点和法向量，代入点法式方程： 方法二：定平面上不在同一直线上的三个点，代入平面的一般式方程，解方程组，确定系数的比例关系，得平面方程。例1 已知平面与平面平行且相距6个单位，求的方程。例2 一平面通过两点和，且垂直于平面，求平面方程。例3 求过直线且平行于直线的平面方程。例4 已知平面过点和直线，求平面的方程。例5 求平行于平面且与三个坐标面所围成的四面体的体积为的平面的方程 提示：可用截距式或一般式方程来作（4）将直线的一般方程化为点向式或参数式的方法 方法一：取直线上的定点。先给定特殊值，再解方程组求； 取方向向量。 方法二：取直线上的两个定点； 取方向向量。方法三：解方程组。将其中一个变量如作自由未知量，求出其余两个如，令，即得参数式。例1 将直线的一般方程化为对称式方程和参数式方程。（5）求空间直线的方法： 求空间直线方程，关键是找出构成空间直线的基本要素：一个点和方向向量，或两个点，或两个相交平面。方法一：定平面上一个点和方向向量，代入点向式方程： 方法二：定平面上两个点，以作为方向向量，代入点向式方程即得空间直线的方程。注：过直线的平面束方程： 它包含了直线的除以外的所有平面。例1 已知直线过点且与平面平行，又与直线垂直，求直线的方程。例2 求直线在平面上的投影。提示：求直线在平面上的投影，只需求出过直线且与平面垂直的平面，则两平面的交线就是所求的投影直线（6）判断二次曲面的方法：例1 下列方程中所表示的曲面表示旋转抛物面的是（ ） （A） （B）（C） （D）例2 设曲面方程，当时，曲面可由面上以曲线 绕 轴旋转而成，或由面上以曲线 绕 轴旋转而成。例3 在空间中，方程表示母线平行于 轴，以坐标面上的抛物线 为准线的柱面。第七章：多元函数微分学1主要内容（1）理解二元函数的概念，理解二元函数极限、连续的概念，理解二元连续函数在闭区域上的性质。会求简单的二元函数的极限，掌握极限不存在的（沿不同方向）证明方法。（2）理解偏导数的概念，理解偏导数的几何意义。熟练掌握偏导数的求法（3）理解全微分的概念，理解函数在一点可微分的必要条件和充分条件。熟练掌握全微分的求法，熟练掌握全微分形式的不变性。（4）理解二元函数在一点偏导数连续、可微分、偏导数存在、函数连续、极限存在、函数有定义等概念之间的关系。（5）熟练掌握复合函数的求导法则，特别是抽象函数的二阶偏导数。（6）理解隐函数，熟练掌握隐函数的求导法则。（7）理解多元函数的极值、最值的概念，理解多元函数取得极值的必要条件和充分条件。理解条件极值的概念。熟练掌握多元函数的最大(小)值的求法。熟练掌握拉格朗日乘数法。熟练掌握经济数学模型中最大（小）值问题的求解方法。注意：抽象复合函数求偏导问题不超过二阶。隐函数求导问题只考虑一个方程的情形。2重点：偏导数，全微分，多元函数的极值与最值3典型例题与习题 （1）7-1 例题5-7 习题1-8 （2）7-2 例题1-7 习题2-6 （3）7-3 例题1-3 习题1-2 （4）7-4 例题1-6 习题1-8 （5）7-5 例题1-5 习题1-7 （6）7-6 例题4-9 习题1，3，5，7 （7）7-7 例题1-6 习题1，2，8，9 （8）综合练习七：1-104典型方法（1）求二元函数的定义域的方法:例1 设，求其定义域（2）求二重极限的方法:例1 求下列二重极限：（1）； （2）； （3）例2 证明二重极限：不存在。注：二重极限：存在（3）求偏导数的方法: 求二元函数在某一点处的偏导数 方法一：按定义，求相应极限 方法二：先求偏导函数，再代值 方法三：由偏导数的定义知 ， 求二元函数偏导数 求多元函数对某个变量的偏导数的基本方法是将其余变量视为常数，用一元函数的求导公式与法则来求导即可。 求多元函数的偏导数，须记住“十六字方针”：同一路径，偏导相乘；不同路径，乘积相加。关键是要能画出变量之间的关联图来。 求抽象二元函数的二阶偏导数注：利用全微分不变式求多元复合函数的偏导数的方法不仅简捷，更重要的是在此过程中不必区分自变量与中间变量，因而不易出错例1 设，求例2 证明二元函数在的邻域内连续且有偏导数和例3 求下列函数的偏导数和 （1）； （2）； （3）例4 设，求和例5 设，其中具有二阶连续偏导数，求 （4）求全微分的方法: 方法一：先求偏导数和，再用公式：来求全微分； 方法二：全微分不变式：来求全微分；例1 求下列函数的全微分 （1）； （2）； （3）例2 求函数在点处的全微分例3 设为某一函数的全微分，则常数（ ） （A）； （B） （C） （D）提示：由和都连续，从而，可求出之值（5）求隐函数的偏导数的方法: 方法一：公式法方法二：全微分不变式法例1 设函数是由方程：确定的隐函数，求和。例2 设函数是由方程：确定的隐函数，验证例3 设函数，其中是由方程：确定的二元函数，且都是可微函数，连续，求（6）讨论二元函数的极值与最值主要掌握极值和最值的概念，极值的必要条件和充分条件，条件极值与Lagrange乘数法1求函数极值的步骤（）求偏导数（）解方程组求驻点；（）判定驻点是否为极值点（用充分条件）；2求闭区域上连续函数的最值求出函数在端点、驻点及不可导点处的函数值，并比较各值的大小，其中最大者为最大值，最小者为最小值3条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值问题，或用Lagrange乘数法来求。4求根据应用问题建立的函数关系的最值的步骤（1）建立函数关系；（2）求驻点；（3）判定驻点是否为最值点（用唯一极值点法或实际问题法）：唯一极值点法：若在区间（有限或无限、开或闭）内可导，且有唯一的极值点，则它必为最值点实际问题法：若在所讨论的问题的有效范围内部有唯一的驻点，且通过对问题的分析，其最值在区间内部取得，则此唯一的驻点处的函数值必为所求的最大（小）值例1 设函数在处取得极值，试求常数，并确定极值的类型。例2 设是由方程所确定的函数，求的极值点和极值。例3 求函数在条件（其中）下的极大值。例4 设某工厂生产和两种产品，产量分别为和（单位：千件），利润函数为已知生产这两种产品时，每千件产品均消耗某种原料2000kg，现有该原料12000kg，问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？第八章： 二重积分1主要内容：（1）理解二重积分的概念和性质，理解二重积分的估值定理和中值定理。知道二重积分存在的必要条件和充分条件。理解二重积分的几何意义。熟练掌握二重积分的性质。（2）熟练掌握二重积分（直角坐标系与极坐标系）的计算方法。（3）掌握积分区域关于坐标轴的对称性与函数的奇、偶性在二重积分计算中的运用。2重点：二重积分（直角坐标系与极坐标系）的计算3典型例题与习题 （1）8-1 习题1-4 （2）8-2 例题1-10 习题1-9 （3）综合练习八：1-104典型方法（1）求二重积分的方法：方法一：利用几何意义当时，是以为高、为底的曲顶柱的体积。例1 利用二重积分的几何意义，求下列二重积分的值abxyoD （1），其中 （2），其中【解】方法二：利用直角坐标系来计算-型积分区域：cdDyxo -型积分区域： 先判断积分区域的型，再确定外积分的上下限，最后确定内积分的上下限。若是-型积分区域，则外积分的下限是最小的值，上限是最大的值；在之间任取一点，作轴的平行线，穿过积分区域，则穿进的值为内积分的下限，而穿出的值为内积分的上限若是-型积分区域，方法与上述相仿。例2 计算下列二重积分 （1），其中 （2），其中是曲线和在第一象限所围成的区域方法三：利用极坐标系来计算当积分区域为圆形区域或被积函数含有时，要利用极坐标系来计算。积分区域： 先确定外积分的上下限，然后确定内积分的上下限。外积分的下限是最小的极角，上限是最大的极角；在之间任取一点，作射线穿过积分区域，则穿进的极径值为内积分的下限，而穿出的值为内积分的上限例3 计算下列二重积分 （1），其中 （2），其中二次积分重积分二次积分画积分区域图交换积分顺序（2）交换二重积分的积分顺序的方法例4 交换下列二次积分的积分顺序 （1）； （2）第九章： 无穷级数1主要内容（1）理解无穷级数的基本概念，理解无穷级数的性质。理解正项级数收敛的充分必要条件，理解正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。理解交错级数的莱布尼兹审敛法。理解任意项级数的绝对收敛和条件收敛的概念及其关系。（2）熟练掌握若干正项级数审敛的方法。熟练运用一般项不趋于零的条件判别级数发散的方法。熟练掌握交错级数敛散的审敛方法。（3）理解幂级数及其收敛的概念，理解幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域的概念。熟练掌握幂级数的收敛半径、区间、区域的求法。（4）理解幂级数的运算性质和分析性质。熟练掌握幂级数的微分、积分运算。能够熟练运用幂级数的运算性质和微分、积分运算求幂级数的和函数等问题。（5）理解泰勒公式，知道函数能展开成泰勒级数的充分必要条件。熟练掌握泰勒级数的展开方法，特别是间接展开方法。熟练运用基本初等函数的麦克劳林展开式。注意：分部积分的递推公式形式、积分表不做要求。2重点：常数项级数的判敛法；幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；求幂级数的和函数；将函数在某点展开成幂级数。3典型例题与习题： （1）9-1 例题1，3-5 习题2-4 （2）9-2 例题1-7 习题1-4 （3）9-3 例题1，2 习题1-4 （4）9-4 例题1-7 习题1-2 （5）9-5 例题2-6 习题1-6 （6）综合练习九：一-七4典型方法（1）判断数项级数收敛的方法：定义法:正项级数判敛法：基本定理；比较判别法；比值判别法；根值判别法。交错级数判敛法：Leibniz判别法任意项级数判敛法：绝对收敛级数必收敛例1 判别下列级数是否收敛：（1）； （2） （3）例2 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）； （2）； （3）例3 若级数收敛，问是否收敛？是绝对收敛还是条件收敛？例4 设级数，都收敛，且，证明也收敛。例5 下列命题正确的是（A）若收敛，则也收敛；（B）若收敛，则也收敛；（C）若收敛，则； （D）若收敛且，则未必收敛。（2）判断数项级数发散的方法：定义法: 必要条件法：若，则发散。性质法：发散，收敛，则发散。比值或根值法：若或，则发散。例1 判别下列级数是否收敛：（1）； （2）（3）求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的方法： 公式法: 对于不缺项幂级数即，则。比值法：对于缺项幂级数或一般幂级数，先求极限，再解不等式，求出收敛区间，该区间的长度的一半即为收敛半径。例1 若幂级数在处收敛，则该级数在处（ ）（A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）敛散性不能确定。例2 若幂级数在处收敛，试讨论该级数在和处的敛散性。例3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域：（1）； （2）； （3）例4 设幂级数在处条件收敛，则其收敛半径为 。（4）求幂级数的和函数的方法： 第一步：求收敛半径 第二步：将收敛区间的端点代入原级数，判断其收敛性，继而求出收敛域 第三步：设和函数为，先在收敛区间内通过恒等变形、求导或求积求的表达式，最后通过连续性，求在其收敛域内的表达式。例1 求下列幂级数的和函数：（1）； （2）； （3）（5）将函数展开幂级数的方法： 直接法步骤：（1）求； （2）求； （3）写出麦克劳林级数，并求收敛域； （4）在收敛域内，求若，则间接法根据幂级数展开式的唯一性，利用常用函数的展开式，通过变量代换、逐项求导、积分等将函数展开成幂级数。常用函数的展开式：（1）（2）（3）（4）（5）例1 将下列函数展开成的幂级数（变量代换）（1）； （2） （3）例2 将下列函数展开成麦克劳林级数（逐项求导、积分）（1）； （2）； （3）例3 将展开成的幂级数。第十章： 微分方程与差分方程1主要内容（1）理解微分方程的基本概念，如方程的通解、特解，解的几何意义，能够准确判别方程的类型，理解一阶线性微分方程的常数变易法。理解差分方程的基本概念和基本性质（2）熟练掌握可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、贝努力方程的解法。熟练掌握三种可降阶的高阶微分方程的解法。（3）熟练掌握二阶常系数线性微分方程的解法。熟练掌握一阶常系数线性差分方程的解法。2重点：求一阶与二阶可解微分方程的解的方法3典型例题与习题 （1）1-2 例题1-4，6-9 习题1-5 （2）1-3 例题1-6 习题1-5 （3）1-4 例题1-5 习题1-3 （4）