初一数学竞赛系列讲座 解一次方程(组)与一次不等式(组)学生版.doc

初一数学竞赛系列讲座解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点1一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”2不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c (a、b互质)有一组整数解为x0，y0，则此方程的全部整数解可表示为：3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。它的标准形式：ax+b0或ax+b0（a0）解不等式的根据是不等式的同解原理。4不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质(1) 反身性 如果ab，那么ba(2) 传递性 如果ab，bc，那么ac(3) 平移性 如果ab，那么a+cb+c(4) 伸缩性 如果ab，c0，那么acbc 如果ab，c0，那么acbc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。5解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）；（2）去括号（根据整式运算法则）；（3）移项（根据不等式基本性质1）；（4）合并同类项（根据整式的运算法则）；（5）将x项系数化为1（根据不等式性质2或3）；6不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。7解一元一次不等式组的方法和步骤：（1）分别求出这个不等式组中各不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分（这些不等式的解集在数轴上表示出来的各部分的重合部分），即求出这个不等式组的解集。8一元一次不等式组的基本类型由一元一次不等式组成的一元一次不等式组经过化简，最终可归纳为四种基本类型：设ab，则；。利用数轴可以确定它们的解集，也可以用口诀帮助分析：“同大（于）取大（数），同小（于）取小（数），小（于）大（数）大（于）小（数）取中间，大（于）大（数）小（于）小（数）是空集”。9带有绝对值的不等式有两种形式：含有一个绝对值的不等式有两种形式：（1），可以变形为不等式组；注意：若b0时才如此；若b0时，本不等式无解。（2），可以变形为ab或ab，条件是b0，这里的解集是“或者”的关系，两个不等式的解集都是的解集中的一部分。若b0时，a可以取全体有理数。二、例题精讲例1 解方程组 (1) (2)例2 已知关于x，y的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？例3 求不定方程4x+y=3xy的一切整数解例4 求方程123x+57y=531的全部正整数解例5 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问：小鸡至少被套中几次？(第四届华杯赛初赛试题)例6 解不等式例7 若关于x的方程的解是非负数，求m取值范围。例8 解关于x的不等式：k(x+3)x+4例9 设a、b、c、d是四个正数，且满足下列条件：dc a+b=c+d a+db+c试判断a、b、c、d的大小例10 解下列不等式组（1） （2）（3） （4）例11 解不等式。例12 求不等式的整数解。例13 若不等式组无解，则的取值范围是什么？例14 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是什么？例15 不等式组的解集是x6m+3，那么m的取值范围为（ ）A）m0 B）m=0 C）m0 D）m0例16 如果不等式组的解集为x-1，那么m的值为（ ）A）3 B）1 C）-1 D）-3例17 已知不等式组有解，则a的取值为（ ）A）a2 B）a2 C）a2 D）a2例18 已知不等式组无解，则a的取值为（ ）A）a3 B）a3 C）a3 D）a3例19 已知不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为 。例20 关于x的不等式组，有四个整数解，则a的取值范围是（ ）A、a B、a C、a D、a例21 已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是 。例22 已知m、n为实数，若不等式(2m-n) x+3m-4n0的解集为，求不等式(m-4n) x+2m-3n0的解。例23 已知关于x的方程：，当m为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m的最大值。例24 解不等式：（1）；（2）例25 解不等式：(1) (2x+1)2-7(x+m)2+3x (x-1) (2) 例26 若方程组的解为，且的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例27 已知x、y、z是非负实数，且满足，求的最大值和最小值。例28 若52a3b1，23a+b7求（1）a，b的范围 （2）a7b的范围例29 某宾馆底层客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人。又若全安排住二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人。问该宾馆底层有客房多少间？例30 把若干个苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后的一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？例31 为了迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：胜一场平一场负一场积分310 当比赛进行到第12轮结束（每队均需比赛12场）时，A队共积19分。请通过计算，判断A队胜、平、负各几场？例32 将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼放5只，则有一笼无鸡可放，那么至少有多少只鸡，多少个笼？例33 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两件产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的关系式，并利用相关的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？三、同步练习一、填空题1不等式6x4的解集是 。2若x的5倍加1小于x的3倍减5，则x的取值范围是 。3x = 32a是不等式的解，那么a的取值范围是 。4代数式1的值不小于代数式x的值，则x的最大整数值是 。5不等式的非负整数解是 。6已知不等式4xa0的正整数解是1，2，则a的取值范围是 。7不等式组的解集是 。8满足不等式组的正整数x为 。9若不等式组无解，则m的取值范围是 。10若不等式组的解集中任一个x的值均不在2x5的范围内，则a的取值范围是 11不等式组的整数解的积是 。12如果不等式组无解，则m的取值范围是 。13已知不等式组 （1）当k=时，不等式组的解集是 ；当k = 3时，不等式组的解集是 ；当k =2时，不等式组的解集为 。（2）由（1）知，不等式组的解集随数k值的变化而变化，当k为任意实数时，写出不等式组的解集 。14不等式组的解集是 。二、选择题15若ab，则3a3b；a3b2；3a3b；，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4 16下面给出了四个命题：，则a2=b2；若a0，则；若（1）x1,则x；若关于x的不等式（m2）x1的解集是x，则m2。其中，真命题有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个17不等式的正整数解有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个18如果不等式组的解集是x1，那么m的值是（ ）A1 B3 C1 D319若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）Am2 Bm2 Cm1 D1m2 20已知不等式组的解集为x 2，则（ ）Aa2 Ba2 Ca2 Da2三、解答题21解不等式组（1） （2） 22解不等式组并写出不等式组的整数解。23（1）解不等式x2，并把解集在数轴上表示出来。 （2）求不等式的正整数解。24北京故宫博物院内宾门票是每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，现在有18位游客买20人的团体票，问比买普通票总共便宜多少钱？此外，不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？25某种植物适宜生长在温度为1820的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55，现在测出山脚下的平均气温为22，问该植物种在山上的哪一部分为宜？26若干名学生合影留念，需交照像费2.85元（有两张像片），如果另外加洗一张像片，又需收费0.48元，预定每人平均出钱不超过1元，并都分到一张照片，问参加照像的至少有几位同学？27三人分糖，每人都分得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍。已知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，求每人得糖的块数。28甲、乙两车间各有若干名工人生产同一种零件，甲车间有一人每天生产6件，其余每人每天生产11件；乙车间有一人每天生产7件，其余每人每天生产10件，已知两车间每天生产零件的总数相等，且每个车间每天生产零件总数不少于100件也不超过200件，求甲、乙车间各有多少人？29某厂生产一种机器零件，固定成本为2万元，每个零件成本为3元，售价为5元，应纳税为总销售额的10%，若要使纯利润超过固定成本，则该零件至少要生产销售多少个。30已知前年物价涨幅（即前年物价比上一年也就是大前年物价增长的百分比）为20%，去年物价涨幅为15%，预计今年物价涨幅将比去年物价涨幅低五个百分点。为了使明年物价比大前年物价不高出55%，明年物价涨幅必须比去年物价涨幅至少再降低几个百分点？31某连队在一次执行任务中将战士编成8个组。如果分配每组人数比预定人数多1名，那么战士总数将超过100人；如果每组人数比预定人数少1名，那么战士总数将不到90人。求预定每组分配战士的人数。32某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个。在这20名工人中，派x人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种零件可获利16元。每加工一个乙种零件可获利24元。（1）写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的关系式。（2）若要使车间每天获利不低于1800元，问至少要派多少人加工乙种零件？33“严肃”中学初三一班计划用勤工俭学收入的66元钱，同时购买单价分别为3元、2元、1元的奖品，奖励参加校艺术节活动的同学。已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品件数不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用一半。若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用66元钱，问有几种购买方案？四、巩固练习一、选择题1、方程的解是( ) A、2000 B、2001 C、2002 D、20032、关于x的方程的解是负数，则k的值为( )A、k B、k C、k= D、以上解答都不是3、已知xyz0，且，则的值为( ) A、 B、 C、- D、以上答案都不对4、方程组的整数解的个数是( ) A、0 B、3 C、5 D、以上结论都不对。5、如果关于x的不等式同解，则a ( ) A、不存在 B、等于-3 C、等于 D、大于6、若正数x、y、z满足不等式组，则x、y、z的大小关系是( ) A、xyz B、yzx C、zxy D、不能确定二、填空题7、方程的解为 8、关于x的方程2a(x+5)=3x+1无解，则a= 9