高三数学几何证明选讲,坐标系与参数方程、知识精讲.doc

亿库教育网 http:/www.eku.cc高三数学几何证明选讲；坐标系与参数方程、综合复习（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：41模块 几何证明选讲44模块 坐标系与参数方程、综合复习二. 重点、难点：1. 相似三角形的判定及有关性质2. 直角三角形的射影定理3. 直线与圆的位置关系4. 圆锥曲线性质5. 极坐标系，柱坐标系，球坐标系6. 曲线的参数方程及其应用7. 渐开线与摆线【典型例题】例1 梯形ABCD中，BA/CD，对角线AC、BD交于点E，过E作FG/AB，交AD、BC于G、F点。（1）求证：EF=EG；（2）求证：；（3）若直线平行于底边但不过E，与BC、AC、BD、AD分别交于、M、N、，试问：与有何关系？并说明理由。证明：（1）AB/FG/CD EF=EG（2）EF/AB同理， 由（1）知EF=EG （3） 而 例2 ABC中，BAC=90，ADBC，DEAB，D、E为垂足，求证：。思路分析：左边是平方，需设法将左边降幂或将右边升幂或者利用相似三角形面积比等于相似比的平方。证法一：由射影定理得 DEAB CAABDE/AC 证法二： DE/AC BEDBAC 由射影定理 证法三：易证ABDCAD 又 DE/AC 证法四：ABDCBA ACDBCA ，而， 例3 已知ABC中，DE/BC，且，求证：EF/CD。思路分析：要证EF/CD，需证，而由，则证明：DE/BC 例4 已知在ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。（1）求证：ABCFCD；（2）若，BC=10，求DE的长。（1）证明： AD=AC ACD=ADC DEBC，BD=DCBE=CE B=DCF ABCFCD（2）解析：过点A作AMBC，垂足为M由ABCFCD，BC=2CD AM=4又DE/AM ，BM=BD+DM，BD=BC=5 DE=例5 EB、EC中O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果E=46，DCF=32，则A的度数是 。思路分析：要求A，可转化为求BCD，由已知DCF的度数，想到先求ECB的度数，从而注意到题目所给的EB、EC为切线，将ECB与E的度数联系起来。解法一：EB、EC是O的切线 EC=EB 又E=46ECB= DCF=32BCD=1806732=81A+BCD=180 A=18081=99解法二：连结AC EB、EC是O切线 EB=EC ECB= EF切O于点C BAC=ECB=67，CAD=DCF=32 BAD=BAC+DAC=67+32=99答案：99例6 四边形ABCD内接于O，E为CB延长线BM上的动点，当E点运动到某一位置满足一定条件时，就有成立，问该结论成立的条件是什么？请注明条件并给予证明。思路分析：若成立，则需成立，考虑利用ABE与ACD相似，其中ABE=D，ACD=ACB，只需EAD=ACB，只要EA是O切线，当EA切O于A时，成立。证明：连结AC EA切O于A EAB=ACB ACB=ACD EAB=ACD又四边形ABCD内接于O EBA=D ABECDA 例7 圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线，过A作的垂线AD，AD分别与直线，圆交于点D、E，则DAC= ，线段AE的长为 。解析：为切线 OC AD/OC DAO=COB=60CAO=30 DAC=30 又OA=OE，且EAO=60 AE=OA=OE=3答案：30；3例8 已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点。（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求OAM+APM的大小。（1）证明：连结OP、OM，因为AP与O相切点于P，所以OPAP因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC于是OPA+OMA=180由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆（2）解析：由（1）得A、P、O、M四点共圆所以OAM=OPM 由（1）得OPAP圆心O在PAC的内部，可知OPM+APM=90所以OAM+APM=90例9 O1和O2的极坐标方程分别为。（1）把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程。解析：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。（1），由得所以，即为O1的直角坐标方程同理，为O2的直角坐标方程。（2）由解得，所以O1、O2交于点A（0，0）和B（2，2），因此，直线AB的直角坐标方程为例10 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点间的距离（cm）表示成的函数，则 ，其中。解析：以O为极点，OB所在直线为轴建立极坐标系。（如图）秒针转过的角度为BOA=BO的反向延长线交圆O于点C，连AC，在RtACB中，BA=d，BCA=BOA=由题意，圆的直径CB=10，BAC=，即答案：例11 已知，且，即的最大值为 。解析：x、y，且，设于是答案：例12 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域且，则平面区域的面积为（ ）A. 2 B. 1 C. D. 解析：且，且在平面区域B内任取一点M（X，Y）则X= ，综合，得 可行域为如图阴影部分面积答案：B例13 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆C的参数方程为（参数），则圆C的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 。解析：圆的方程化为普通方程为，圆心（0，2）直线化为普通方程：，圆心到直线的距离为答案：（0，2）例14 已知正OAB的三个顶点都在抛物线上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内切圆（点C为圆心）（1）求圆C的方程；（2）设圆M的方程为，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求的最大值和最小值。解析：（1）由正三角形及抛物线的对称性，得ABx轴OA的方程为，代入抛物线方程，得，解得或点A的坐标为（6，）设圆心C（），由于等边三角形内切圆的圆心就是其中心，由重心定理，得，内切圆半径内切圆的方程为（2）设圆M的圆心M（x，y）则 圆M的圆心随的变化在圆上运动如图，设ECF=，则要使最大最大a最小点P离圆C最近最小，而圆M的圆心M的轨迹与圆C是同心圆，又，所以此时RtPCE中，PCE=60，即，同理，最小时，最大，1=总之，【模拟试题】1. 已知平面内有一条线段AB=4，动点P满足PAPB=3，O为AB中点，则PO的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 32. 椭圆的四个顶点A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，BD=CD，延长BE交AC于F，且，则AC的长为（ ）A. 30cm B. 25cm C. 15cm D. 10cm4. 如图2，已知ABC中，P为AB上一点，在下列条件中 ACP=B； APC=ACB； ； ，能满足APC和ACB相似的条件是（ ）A. B. C. D. 5. 如图3，在ABC中，AD是高，ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论： 其中结论正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 如图4，AB是O的直径，、是O的切线且，若P是上一点，直线PA、PB交于C、D两点，设O的面积为S1，PCD的面积为S2，则等于（ ）A. B. C. D. 7. 如图5，P为O外一点，割线PAB交O于A、B两点，若PO=10，且PAAB，则O的半径为（ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 88. 如图6，PA切O于A点，PC交O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则O的半径为（ ）A. B. C. D. 9. 以圆锥曲线过焦点且垂直于轴的弦为直径的圆与准线的关系是相离，该圆锥曲线是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都有可能10. 下列说法错误的是（ ）A. 根据圆锥曲线的离心率可以判定圆锥曲线的形状B. 平面与圆锥轴线的夹角和圆锥母线与轴线夹角可以判定它们交线的形状C. 圆锥曲线的离心率具有统一公式或D. 圆锥曲线准线间的距离为11. 下列有关坐标系的说法，错误的是（ ）A. 在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆B. 在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小C. 任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D. 同一条曲线可以有不同的参数方程12. 把函数的图象经过 变化，可以得到函数的图象A. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍B. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍D. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的倍13. 极坐标方程表示的图形是（ ）A. 一个圆与一条直线B. 一个圆C. 两个圆D. 两条直线14. 极坐标表示的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线15. 极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ） A.（） B.（5，） C.（5，） D.（，）16. 曲线（为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A. B. C. D. 17. 由方程（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（ ） A. 一个定点 B. 一个椭圆 C. 一条抛物线 D. 一条直线18. 已知双曲线C的参数方程为（为参数），在下列直线的参数方程中（ ） ； ； ； ； （以上方程中，t为参数）可以作为双曲线C的渐近线方程的是（ ）A. B. C. D. 19. 已知P点的柱坐标是（2，1），点Q的球坐标为（1，），根据空间坐标系中两点A（）、B（）之间的距离公式，可知P、Q之间的距离为（ ） A. B. C. D. 20. 已知一个圆的参数方程是（为参数），那么圆的摆线方程中参数对应的点的坐标与点（）之间的距离为（ ）A. B. C. D. 21. 过抛物线（t为参数）的焦点的弦长为2，则该弦所在直线的