函数专题复习.doc

函数专题复习浙江省桐乡市高级中学 邱强 函数是高中数学的主体知识，也是高考考查的重点内容。函数思想是思考和解决数学问题的重要思想，它融汇了配方法、换元法、待定系数法、反证法、数形结合、分类讨论、等价转化等许多重要的数学思想和方法。其特点是内容多、联系广、方法灵活、综合性强，主要考查逻辑思维及分析和解决问题的能力，因而函数内容成为历年高考命题的重中之重。一、高考分析(一) 高考要求函数部分知识在高考考试大纲中的要求是：(1) 了解映射的概念，理解函数的概念(2) 了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法(3) 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数(4) 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图象和性质(5) 理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质(6) 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题(二) 06年考查情况(以理科卷为例)选择填空解答总分值考查内容全国I5分4分14分23分求反函数、函数的奇偶性、函数单调性、导数工具的应用全国II10分4分0分14分求反函数、对称的性质和对数的相关性质、函数的最值北京卷10分0分13分23分分段函数单调性、函数和不等式结合、二次函数、导数工具应用天津卷10分0分12分22分函数的图象、复合函数的单调性、对数的运算、运用导数研究函数上海卷0分4分18分22分互为反函数图象间关系、函数的单调性质、函数的最值、探究性问题广东卷15分0分12分27分函数定义域、函数单调性与奇偶性、互为反函数图象间的关系、函数与不等式重庆卷5分4分13分22分函数的图象、对数的运算、函数方程、抽象函数山东卷10分0分0分10分求反函数数、对数函数的图象、图象的变换、函数的奇偶性与周期性江苏卷5分0分16分21分函数奇偶性、函数最值、函数解析式、函数单调性、分类讨论的思想方法福建卷5分0分5+12分22分求反函数、函数的应用、函数的单调性、极值、最值安徽卷5分4分12分21分分段函数的反函数求法、函数的周期性、函数的单调性和极值、导数的应用辽宁卷10分4分12分26分函数的定义、奇偶性、求反函数、分段函数表达式、指对数的运算、二次函数江西卷5分4分12分21分函数的图象、求反函数、函数的单调性、导数工具湖北卷10分0分12分22分复合函数的定义域、函数与方程、利用导数研究函数的单调性湖南卷10分0分6分16分函数的定义域、函数的单调性、函数和数列四川卷0分0分12分12分对数的运算、函数的单调性陕西卷10分0分7分17分互为反函数图象的关系、二次函数、函数的单调性浙江卷10分4分14分28分对数函数及其性质、函数概念、分段函数、二次函数、函数与方程思想 从上表可以看出考查的重点是：(1)全面考察函数的基础知识，指数函数、对数函数、二次函数、分段函数等均有涉及；(2)函数的图象与性质的相互联系与相互转换是编制高考数学试题的重要出发点和落脚点，考查的重点是函数值、最值(极值)、函数的单调性、反函数等；(3)把函数与方程、函数与不等式、函数与导数等知识的交汇与综合作为试卷的把关题或压轴题，强化以函数为主干知识网络的整体意识；(4)函数模型的实际应用问题在近年的高考中仍有所反映，体现了强化应用意识的宗旨。总之，函数试题更突出综合性、应用性和创新性。二、第二轮复习建议第二轮复习，是连接一轮复习和高考冲刺的关键阶段第二阶段专题复习，从本质上讲，是将学过的知识和已经具备的基本技能和方法运用于解决问题的一种复习。因此，专题复习不应再注重知识结构的先后次序，应该本着问题的提出、分析和解决的思路，去寻找所需要的、有用的方法和技能；本着解决问题的目的，将知识进行必要的拆分、加工和重组。如：设计某一专题复习时，首先应从讨论问题的思维主线入手，引导学生从全新的、应用的角度进行思考，形成不同于基础复习的思维方式，即分析的思维主线；其次，进入主题内容分析，让学生按照上述分析的思维主线进行分析训练。 在函数的第二轮复习中，要突出思想方法，重视交汇综合。如函数性质的综合应用，应站在函数思想方法的高度设计以“定义域为前提，单调性是依据，图象值域为辅助手段”的典型问题，深化函数思想方法。重视知识与能力的交汇综合，这至少包括三个方面：一是按主题的整合，比如图象变换，涉及到初中二次函数中的平移、高中函数中的奇偶性、反函数中的轴对称和中心对称、三角中的伸缩变换、解析几何中的平移，这就要把知识整合起来，研究其通性，并拓展到各类函数与图象、方程与曲线中去；二是以问题为中心的跨学科联通，比如函数的最值，涉及到代数、平面三角与几何的有关知识，产生最值的背景又可能与代数、三角、平面几何、立体几何及解析几何相联系，需要特别强调的是，在这类问题的处理方法上，要凸现导数的工具作用；三是各知识板块之间的交汇与融合，比如函数、数列、不等式，它们既是具有独立意义的三块，又存在着天然的、密切的联系，综合复习时要把它们作为一个整体来研究，而不是分成几块，如研究函数时以不等式为工具，讨论不等式时运用函数的性质，数列可以从离散的角度刻画函数，也可以视为特殊的函数，从而使三者构成自然联系，并融会贯通合成一个整体。 (一) 对函数定义的深化理解与函数图象及性质的灵活运用1深刻理解映射、函数的概念，函数的定义域、值域(最值)的基本求法还需要进一步巩固，尤其值得注意的是，凡涉及到函数，方程和不等式的问题,必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方。要注意高考中对反函数的考查，2006年全国高考的18套理科试卷中有10套考查了反函数的求法或互为反函数的图象的关系，还有求分段函数的反函数例1(06年浙江高考理科10)函数满足，则这样的函数个数共有( )A1个 B.4个 C.8个 D.10个解：(1)若f(x)=x即f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,显然f(f(x)=f(x)成立，这样的f有1个；(2)若f(x)=1(或2，或3)，x1,2，3，则f(fx)=f(x)成立，这样的f有3个；(3)若f(1)=1,f(2)=2,f(3)=1(或2)，则f(f(x)=f(x)成立，这样的f有2=6个。综上，所求的函数f共有10个。评注：考查函数、映射等基本概念，以及排列组合的分类思维方式，考查学生综合运用知识及严密的逻辑思维能力。2在二轮复习中应进一步加强对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、分式型函数等具体函数图象与性质的复习与巩固，熟练掌握这些基本初等函数的图象特征以及这些函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值的处理方法，进一步夯实基础重点加强与二次函数及以二次函数为基础的三次函数（二次函数是三次函数的导函数）有关的综合问题、利用指对数函数的性质研究有关复合函数的性质、分式型函数的化归途径的复习同时，通过各知识点的整合与交汇，加强函数性质的综合训练，提升学生解决综合问题的能力例2已知是周期为2的奇函数，当时，设则( )AB.C.D.解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0，选D.例3(06年浙江高考理科16)设函数，若,求证：(1)；(2)方程在(0,1)内有两个实根。证明：（1）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（2）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.评注：本题主要考查二次函数、不等式的基本性质、二次函数、二次方程与根的关系。熟练掌握函数的图象与性质，是应用函数与方程思想解题的基础。3函数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示，是运用数形结合思想方法的基础，是高考中的一个热点。高考主要考查学生“画图、识图、用图”的能力，考查形式有三种：一是直接考查运用所学各种基本初等函数的图像及图像变换的能力；二是考查从图像中获取信息（如奇偶性、单调性、周期性、对称性以及特殊点的位置、渐近线等）的能力；三是借助数形结合的思想，寻求解答思路及方法。G(t)例4(06年江西高考理科12) 某地一年的气温Q（t）（单位：c）与时间t（月份）之间的关系如图（2）所示，已知该年的平均气温为10c，令G（t）表示时间段0,t的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）G(t)10cG(t)10c10cttt1266O12612OO图（2） BAD10cG(t)O612tCG(t)10c612tO (二) 注意几类特殊函数的复习(抽象函数、分段函数等)1由于抽象函数没有给出具体的解析式，所以理解、研究起来往往比较困难。但这类问题对培养学生观察、联想、类比猜测、抽象思维等探索能力，有十分重要的作用。因而近几年高考中都设置了有关抽象函数的试题。在解决抽象函数问题时，采用“从特殊到一般”、“化抽象为具体”的策略，问题就会明朗化。具体说来，首先，在求解函数解析式或研究函数的性质时，一般用“整体代换”的方法；其次，在求函数值时，可用赋值法进行求解；另外应研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由具体模型对综合问题的解答提供思路和方法。例5设函数f(x)在上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0(1) 试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2) 试求f(x)=0在闭区间-2005,2005上的根的个数，并证明你的结论。解：(1)由条件易知函数y=f(x)是周期函数，且有一个周期为10。又由f(1)=f(3)=0,且f(7)0，得出f(-3)=f(-3+10)=f(7)0,故f(-3)f(3)，故函数y=f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。 (2) 由f(1)=f(3)=0，得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0，故f(x)=0在0,10及-10,0有且只有两个解，并且f(0)0。由于函数y=f(x)是以T=10为周期的函数，f(x)=0在0,2005上共有402个解；在-2005,0上共有400个解。综上所述，方程f(x)=0在-2005,2005上共有802个解。评注： 本题以抽象函数为载体，考查函数的奇偶性及图象的对称性、函数的周期性等基本性质，以及这些性质在形和数两个方面的转化，考查函数与方程思想、数形结合思想，特别是，充分理解并运用“特殊与一般”思想。 2分段函数作为一种特殊的函数，在高考中对其所具有的函数基本性质的考查是目前的考查热点之一。对于分段函数的复习，与一般函数有着明显区别的地方是要通过概念的建立、图象的描绘、性质的研究到分段函数的应用，由浅入深，由表及里，多次渗透，反复训练，帮助学生逐步掌握分段函数的性质。例6(06年浙江高考理科12对，记，函数的最小值是_。评注：由于分段函数的特点，所以函数思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法是求解分段函数问题时常用的思想方法。(三) 加强数学思想方法的提炼数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中.因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.在函数知识复习中，应强化函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想的自觉提炼与运用例7(06年福建高考理科21) 已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m(1)求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);(2)是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：(1)f(x)=x2+8x=(x4)2+16,当t+14，即t4时，f(x)在t，t+1上单调递减，h(t)=f(x)=t2+8t .t4综上，h(t)= (2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数j(x)=g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。j(x)=x28x+16ln x+m,j(x)=2x8+ 当x(0,1)时，j(x)0，j(x)是增函数；当x(1,3)时，j(x)0，j(x)是增函数；当x=1，或x=3时， j(x)=0；j(x)极大值=j(1)=m7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 315.当x充分接近0时，j(x)0.要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 既7m6ln 3.所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，156ln 3）。评注：结合函数的单调性、极值、最值等基本知识，运用导数研究函数的性质，运用函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法来思考分析问题，是解决函数综合问题的重要方法。(四) 强化利用导数工具进行函数与不等式的综合训练函数，导数和不等式交汇的试题，在2005年大量出现的基础上，仍然高频率出现，在18套理科试卷中，就有13道之多。函数是高中数学课的一条主线，导数的应用使研究函数问题更加深刻，方程和不等式又是解决函数问题必不可少的工具，函数，导数，方程和不等式的交汇扩大了函数问题的研究范围，加深了对函数问题的理解，同时，也是考查函数与方程思想，数形结合思想等数学思想。函数部分内容的第二轮复习，应将函数与导数、不等式有机结合，强化导数工具在函数性质研究与不等式中的作用例8(06年江西高考理科17) 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在与x1时都取得极值(1) 求a、b的值与函数f(x)的单调区间(2) 若对，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f(x)=x3+ax2+bx+c，f(x)=3x2+2ax+b由f()=，f(1)=3+2a+b=0 得 a=，b=2f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，函数f(x)的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是（，）与（1，） 递减区间是（，1）（2）f(x)x3x22xc，当x时， f(x)c为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值。要使f(x)f(2)2c 解得c2评注：由于三次函数的导数是二次函数，所以，三次函数在高考试题中出现的几率是比较高的。本题利用导数考查函数的性质，以及考查不等式恒成立问题，求参数的取值范围。2006年全国卷、全国卷都是利用导数考查函数与不等式综合问题。例9函数(1) 求函数f(x)的最小值；(2) 已知0yy时，f(x)f(y)=0，故评注：本题考查的目的是应用导数知识去求函数的最小值和证明不等式。没有函数去构造函数，这需要解题的智慧，需要学生去反思、去感悟。函数与证明不等式综合，求参数的取值范围，构造函数与不等式关系的实际应用性问题，涉及函数的不等式，判断方程根的个数等已经成为高考命题的风向标。(五) 关注函数应用题加强对应用意识的考查是数学高考命题的方向之一。考试大纲对考生的要求中包括对实践能力的考查，实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.最近几年的高考，既有排列、组合和概率这些常规题，又有函数建模问题，背景是日常生活中的“多、快、好、省”问题。出题原则是：贴近生活，贴近课本，背景合理熟悉。例10（06年福建高考理科19）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：,已知甲、乙两地相距100千米。（1） 汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油(.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=(),h(x)=(0x120令h(x)=0，得x=80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数;当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升.评注：本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。(六) 注意新定义型函数信息题的训练近年来,新信息题成为函数改革的一个新的亮点,和应用题一样,它考查了学生阅读,理解能力,提炼数学问题的能力,以及用数学语言表达的能力,要求学生仔细阅读,抓住信息,透彻理解,准确解题.例11（06年重庆高考理科21变式）设函数f(x)的定义域为D。若存在x0D，使f(x0)=x0成立，则称x0是函数f(x)的一个不动点。已知定义域为R的函数f(x)满足：f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x，并且有且仅有一个不动点，求函数f(x)的解析表达式。解：设x0是f(x)唯一的一个不动点.因为对任意xR都有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x，故由不动点的唯一性，有f(x)-x2+xx0.在上式中令x=x0，由f(x0)=x0，得x0-x02=0,x0=0或x0=1.当x0=0时，f(x)-x2+x0，即f(x)=x2-x.但f(x)=x2-x有两个不动点0，2，不符合题意，故x00.当x0=1时，f(x)-x2+x1，即f(x)=x2-x1.方程x2-x+1=x有两个相等的实数根，符合题意，故所求函数为f(x)=x2-x+1(xR).评注：本题以抽象函数为载体，以“不动点”为主线，重点考查学生对新定义的理解和把握，以及赋值法求解抽象函数问题的能力。例12先阅读以下两个定义：定义1若函数f(x)在区间D上可导，即存在，且导函数在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作，即.定义2若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数。已知函数在x=1处取得极值。（1）试判断在是否为凹函数，写出理由；（2）求证：对于任意的，都有成立.解：(1)因为，所以。函数在x=1处取得极值。则而当时，故在为凹函数。 (2)任取，则 即评注：本题以高等数学中的凹函数与其二阶导数的关系为背景，通过给出凹函数与二阶导数的定义(设置新情境)，考查学生阅读、理解、迁移新知识的能力。在高等数学与高中数学的知识交汇处命题，是近几年高考命题的一种发展趋势。在这种问题中，又以函数问题居多，复习中要予以重视。三.二轮专题复习教学设计举例函数性质的综合应用1高考解读函数的综合应用在高考中的分值大约为20分左右，题型的设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的综合应用是每一张高考试卷的主干部分 重点考点：高考对这部分内容考查的重点有：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列综合；函数与向量的综合；函数类型的应用题等例1.已知奇函数在区间上为减函数，且在此区间上的最小值为2，则在区间上是（ ）（A）增函数且最大值为2（B）增函数且最小值为2（C）减函数且最大值为2 （D）减函数且最大值为2解析：因为奇函数在对称的区间上有相同的单调性，所以在为减函数，有最大值；又由 故选C评注：此题是抽象函数单调性、奇偶性和最值的应用由于其抽象性故可以构造一个具体的函数，如来解决，也可以通过作图，借助于图形的直观来思考例2.一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）（A） （B） （C） （D）解析：由题意：且，代换得：，即：对，有，也就是当时：的图象应在的上方，故选A评析：本题为数列和函数相综合的问题，把数列的单调性融于函数的性质中解决这类问题需要一定的综合应用能力热点透视：从近年全国和各省市试卷来看除了传统的函数与方程、函数与不等式依然是热点外，函数与新教材新增内容的结合成为命题的另一大热点，即函数与导数结合（将在下节中单独讲述）、函数与向量的综合等例3.已知是定义在R上的单调函数，实数，若，则（ ）（A）（B）（C）（D）解析：不妨设 ，由题意易知C、D是的分点由在R上单调及，可知C、D为的外分点，所以，故选A评注：此题考查的就是函数与向量的综合，如果没有意识到向量中的定比分点的应用，则很难解决例4.在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点（）求向量的坐标；（）当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，求以曲线为图象的函数在上的解析式解析：（）设点(, )，关于点的对称点的坐标为()，关于点对称点的坐标为，所以： () 由知：的图象由曲线向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到设以曲线为图象的函数是，则也是以3为周期的周期函数，且当，于是，当时，评注：本题以解析几何中的点的对称为背景融函数解析式、图象变换和向量的计算平移为一体，体现了较强的综合性难点突破本节的