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數學本質概念圖形變換 TKU93A 09黃秋萍10詹小瑩 27王姿懿-圖形變換-TKU93A 09黃秋萍 10詹小瑩 27王姿懿指導老師：林宜臻 老師報告日期：94/04/07圖形變換一.什麼是變換？所謂變換，就是指平面上全部的點按照一定的規則（即相互對應的關係，也就是對應點），可以與另一個平面上全部的點有一對一的關係。簡單的說，就是能夠將一個平面圖形按照一定的規則移到另一個平面圖形上。全等變換全等變換：不改變圖形形狀、大小的幾何變換，變換的圖形與原來的圖形全等，全等是相似的一種特例，當相似比為1時，兩圖形全等。全等的條件：兩個圖形重疊在一起的時候，無論是頂點、邊、角都與對應的頂點、邊、角完全吻合，而且大小也要完全相同。中、低年級的兒童對於幾合圖形的思考，尚停留在直觀辨識，故在教學時宜採取透過疊合方式的操作，來了解全等的意義。檢驗是否為全等圖形有以下三種方法： 1. 平移變換2. 旋轉變換3. 翻轉變換利用這三種移動方式就可以將圖形重疊。此時，將圖形移動的時候，無論形狀或大小都不變，也就是角度的大小、邊長以及面積都沒有任何改變。(一) 平移變換：以固定的方向移動（平行移動）。將一個圖形按一定的方向移動一定的距離，稱為平移。在平面上透過平行或垂直移動，使原物件的位置產生移動的現象平移的性質:(1) 平移不改變圖形的形狀、大小、定向(2) 平移前後兩圖形的對稱點、線段平行且相等;對應線段和對應角分別相等。典型例子：如圖，由三角形ABC平移得到的三角形有幾個? Ans.共有五個說明:事實上，圖中所有三角形均與三角形ABC形狀相同，但要注意方向。(二) 旋轉變換：設一個定點為中心，然後旋轉（旋轉移動）。將一個圖形繞一個頂點旋轉一定的角度，稱為旋轉。平面上透過旋轉活動產生位移，而圖形與所呈現的圖像不變。(三) 翻轉變換：翻轉（1.從背面看 2.線對稱 3.用鏡子反射）將平面圖形翻轉180，產生位移，此時圖形未改變，而圖像從原來的正面轉為反面。 水平翻轉 垂直翻轉水面倒影 用鏡子反射真正的小丸子：右手提包包鏡子裡的小丸子：左手提包包例題：上圖是由正方形和8個等邊直角三角形所組成的。請問：圖形中，有哪幾個圖形是由直角三角形平行移動所得的。圖形中，有哪幾個圖形是由直角三角形旋轉變換所得的。圖形中，有哪幾個圖形是由直角三角形水平翻轉所得的。圖形中，有哪幾個圖形是由直角三角形垂直翻轉所得的。二.全等變換的特殊類型(一) 線對稱1. 有一圖形，以其中心的某一條直線摺疊後，直線的兩邊能夠完全重合。2. 中間的這條直線(摺線)，稱為：對稱軸。3. 線對稱圖形，其對稱軸垂直且平分兩對稱點的連線。圖例圖例 圖例 圖例4(二) 點對稱1. 以一點為中心，圖形其中一半旋轉180度以後，能與另一半重合的是點對稱圖形。旋轉的中心點是對稱中心。2. 點對稱圖形的其中一半繞對稱中心旋轉180度後，重合的兩點是對稱點，重合的邊是對稱邊。3. 點對稱圖形的所有對稱兩點連線都通過對稱中心，同時對稱中心到相對稱兩點距離相等。 圖例 對稱點圖例2基本圖形 =圖形旋轉180度後教學注意事項1、學生此時對線對稱圖形概念的掌握是透過具體的對摺活動而經驗的，因而在解題時，教師應多方協助學生透過對摺活動理解題意，並指出摺線與對稱軸的關係1、 在進行點對稱教學時，先讓學生經驗180度的旋轉情境，然後藉由圖形的操作活動，察覺相互對應的點與旋轉中心等距離共線的現象，作為引入點對稱圖形意義的基礎。之後再經由對點對稱圖形特性的了解，製作簡單的點對稱圖形與藉由整體圖形的呈現找出旋轉中心等操作活動。2、線對稱教學多透過摺、剪、繪等操作活動的方式進行，所以以實際操作來了解線對稱圖形的特性是較佳的方式。3、點對稱概念是一種比線對稱更為抽象的旋轉運動，日常生活中純為點對稱而無線對稱的現象更為少見。因此點對稱教學，先由平面固定一點旋轉一個角度的操作活動引入，因為具體的表徵活動是抽象活動的基礎，學生必須由具體操作活動逐步分析，進而瞭解抽象的點對稱圖形。必須注意平面三角形做一定的角度的旋轉時，確認三角形旋轉前和旋轉後的對應全等關係，但注意，探討旋轉前後對應關係時，不必特別強調對應角。並經由起始位置和終止位置的察覺，探討其旋轉程度，認識旋轉角。三.相似變換數學本質概念：如果變換後的形狀一樣，但是大小不同，變成放大或縮小的形狀（相似形），這種變換就叫做相似變換。相似變換的兩種型態：(一) 擴大 (二) 縮小放大與縮小是圖形的相似變換，其主要特徵是形狀相似但大小不同。當兩圖形相似時，我們可以發現，他們之間有三種共同關係： (1)兩圖形間可配出對應點 (2)對應的線段其長度的比值相等(對應邊成比例) (3)對應角的角度大小相同 而圖形的擴大或縮圖的倍率通常以邊長的比值來定義之。 生活中的擴大與縮小應用比例尺圖例 甲圖 乙圖例如:甲圖形上任意兩點的距離皆擴大為原來的2倍成乙圖，則稱乙圖為甲圖的2倍擴大，相對的甲圖為乙圖倍縮小圖，即擴大圖與縮小圖是相對的概念，當小的圖形變換成大的圖形時稱之為擴大變換，反之，當大的圖形變換成小的圖形時稱之為縮小變換。教學注意事項1. 由觀察不同遠近的景色，經驗圖像的擴大和縮小後的效應，並利用方格觀察，嘗試說出圖形的擴大或縮小圖的關係。 2. 觀察擴大或縮小圖之對應邊和對應角之間的關係。 3. 藉由觀察擴大（縮小）圖與原圖之對應邊和對應角關係判斷擴大（縮小）圖，並經驗擴大N倍的圖形，面積擴大N的平方倍之關係。 4. 由比例尺之需要感情境，認識比例尺，並運用於地圖上有關情況的閱讀。四.教材處理方式題目呈現方式各年級出題類型方向：低年級：圖形對稱中年級：圖形對稱、圖形等比放大、圖形展開、其他高年級：圖形對稱、圖形等比放大、圖形展開、比例尺、其他 歷屆優秀學長姐設計之題目圖形變換(四年級)設計者：TKU92A13黃姿雁請框選該題培養何種能力概念建構能力基本運算能力圖形運用能力表徵轉換能力推理思考能力生活實踐能力1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3 4修正前自我評量觀點（可重複勾選）修正後設計目標：圖形放大的概念1 請小朋友畫出放大2倍的房子選選設計目標：圖形放大的概念1史奴比想把跟查理布朗出去玩的照片放大，讓相片可以剛好放進他新買相框裡，請你幫史奴比看看，他應該要把相片放大幾倍呢？查理布朗說：放大2倍。 露西說：放大4倍啦！ 莎麗說：哪有這麼大，3倍就夠了！與生活連結能形成概念能促進思考提供修正機會過於枝節過於強調熟練誰說的對？ 查理布朗 露西 莎麗我的理由是：_賞析者：佩育、子盈 曉妘、秀娟：題目生活化、有趣。品正：題目生活化。 圖形變換設計者：TKU92 06 詹恩琪請圈選該題培養何種能力概念建構能力基本運算能力圖形運用能力推理思考能力生活實踐能力1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3 4修正前自我評量觀點（可重複勾選）修正後設計目標： 線對稱圖形1以下哪些圖形是線對稱圖形？ A B C D E答： 選選設計目標：從日常生活的圖形中讓是線對稱圖形1 小明跟小華很喜歡逛街，他們在接上常常會看到一些很特殊的圖形，它們就再想哪些是線對稱圖形： e A B C喜喜 D E F 小華說：ACD是線對稱圖形 小明說：ABCDEF是線對稱圖形 你覺得他們誰說的對？ 小華c 小明c 都不對c你的理由是：_與生活連結能形成概念能促進思考提供修正機會過於枝節過於強調熟練圖形變換(6年級)設計者：TKU92A 17 黃羿菁請框選該題培養何種能力概念建構能力基本運算能力圖形運用能力表徵轉換能力推理思考能力生活實踐能力1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3 4修正前自我評量觀點（可重複勾選）修正後設計目標： 練習辨識對稱軸 畫出下列線對稱圖形的對稱軸1.2. 選選設計目標：練習辨識對稱軸 小娟和小鳳今天都帶了一張剪好的西卡紙來學校，要做成2張卡片，她們要如何對摺，卡片才能剛剛好合起來呢？小鳳想要這樣摺：小娟想要這樣摺：誰的方式可以剛剛好合起來呢？為什麼？與生活連結能形成概念能促進思考提供修正機會過於枝節過於強調熟練賞析者： 姿穎：not bad！加雯：用折卡片的概念出發很棒！但別忘了告訴學生可以合得起來的是線對稱。圖形變換（高年級）設計者：TKU92A19鍾品正請圈選該題培養何種能力概念建構能力基本運算能力圖形運用能力推理思考能力生活實踐能力1231231231231234修正前自我評量觀點（可重複勾選）修正後設計目標：認識線對稱圖形1以下哪些是線對稱圖形？請你把它圈出來。選選設計目標：認識線對稱圖形1以下哪些是線對稱圖形？A B C DE F G H A B C D E F G H請你將這些線對稱圖形，畫出至少一條對稱軸。與生活連結能形成概念能促進思考提供修正機會過於枝節過於強調熟練曉妘、秀娟、姿雁：可測出學生是否瞭解線對稱圖形變換(中高年級)設計者：TKU92B22林嘉琪請框選該題培養何種能力概念建構能力基本運算能力圖形運用能力表徵轉換能力推理思考能力生活實踐能力 31 2 3 2 3 2 2 3 2 4修正前自我評量觀點（可重複勾選）修正後設計目標：利用flash，讓學生可以在電腦上實際操作，體驗線對稱圖形的特徵。1【取自學習加油站的教案：台北市民生國小李孟柔老師設計】選選設計目標：綜合應用線對稱的概念。1下列圖形、符號與文字，如果是線對稱的，請在（ ）中。（ ） （ ）囍 林 青（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）S A R S（ ）（ ） （ ）（ ）與生活連結能形成概念能促進思考提供修正機會過於枝節過於強調熟練賞析者：圖形變換(五年級)設計者：TKU91A(27) 葉 玟 孝請框選該題培養何種能力概念建構能力基本運算能力圖形運用能力表徵轉換能力推理思考能力生活實踐能力1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3 4修正前自我評量觀點（可重複勾選）修正後設計目標：知道如何判斷線對稱圖形 1請問圖和圖哪一個是線對稱圖形？ （請在（）打） （ ） （ ）選選設計目標：知道如何判斷線對稱圖形 U雯雯收集了很多可愛的貼紙。1請問：雯雯說：她有四張貼紙（、）都是線對稱圖形。你覺得雯雯說的對嗎？ 對 不對理由是：_學生分組討論彼此的想法。與生活連結能形成概念能促進思考提供修正機會過於枝節過於強調熟練賞析者：佩君老師1、圖片多樣，但不知與圖的用意為何？2、生活中似乎不會出現如此的對話。芳苓老師題目設計符合學生的生活經驗，若是在學生迷思概念設計的部分再詳細敘述些應該會更好。例如：針對線對稱對摺會完全重疊、點對稱旋轉180度會重疊的兩項特性來說明與設計。第二次修正設計目標：知道如何判斷線對稱圖形 U雯雯收集了很多可愛的貼紙。 1請問：今天學校老師剛教完線對稱、點對稱圖形，雯雯回家後，跟妹妹說：妳看，我的貼紙都是線對稱圖形耶！他們對摺後兩邊的圖案是一樣的唷！你覺得雯雯說的對嗎？ 對 不對理由是：_J學生分組討論彼此的想法。圖形變換(六年級)設計者：TKU（A）06鍾君華請框選該題培養何種能力概念建構能力基本運算能力圖形運用能力表徵轉換能力推理思考能力生活實踐能力1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3 4修正前自我評量觀點（可重複勾選）修正後設計目標： 能從比例尺推算實際距離的長度。1下面是小丸子家到學校的路線圖。請問小丸子家到學校多少公里？小丸子家學校 0 0.5 1km選選設計目標：能從比例尺推算實際距離的長度 1下面是小丸子家到學校的路線圖。請問小丸子家到學校多少公里？小丸子家學校 0 0.5 1km 藤木說：圖上小丸子家距離學校為5.5cm，將5.50.5=2.75km，故實際距離學校有2.75km永澤說：應將5.51=5.5km，故實際距離學校有5.5km誰說的對？藤木 永澤理由是與生活連結能形成概念能促進思考提供修正機會過於枝節過於強調熟練賞析者： 陳素蘭 能了解學生的迷思概念，不過注意比例尺是否有合乎實際的1公分。五.迷思概念對稱概念缺乏：直接給學生一個圖形EX： 請學生找出是否為對稱圖形？或是找出共有幾條對稱軸？學生無法平空想像對秤軸的概念。在五年級上學期時，有教過對稱圖形，當時老師採用的方式是讓小朋友做很多實作的練習，像是利用色紙、鏡子觀察對稱圖形，EX：現在學的是直接在圖形上做觀察，老師同樣也利用各種方式讓小朋友從實作中體驗，以建立小朋友的概念。【劉艷雪老師受訪，李松燕訪談】對稱的應用：在教到對稱觀念的時候，除了課本或是教具所附的圖形之外，老師還會以實際的人體示範，請班上一位小朋友上台，實際講解原來人體是最自然的對稱圖形，也會帶入平衡的觀念，如果能夠對稱並平衡的圖形往往會有整齊劃一的美感。【紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談】線對稱圖形：老師會用照鏡子，以及摺紙剪成圖形後再打開等方式，來呈現對稱的現象接著讓學生多舉一些生活中的例子,在平常有哪些東西有對稱的現象?之後 老師可以在黑板上畫出多個圖形(無法對摺),看看學生是否能從中找出有對稱的圖形，並能描繪出對稱軸從具體操作，生活情形的聯結到最後就是建立架構，才能達到概念整理的目的。【張宏成老師受訪，楊子君訪談】線對稱圖形：除了利用各種圖形讓學生更了解以外，也會運用人體的方式來講解，例如：自己的身體有哪些部位是線對稱的概念，以及利用剪紙的方式讓學生可以剪出線對稱的圖形。【陳美華老師受訪，蕭秋婷訪談】線對稱：(1)學生在描繪線對稱圖形時有些人會有困難，特別是不規則圖形與對稱軸不為垂直線的題目。學生容易作直線連接，如下圖紅線1.旋轉考卷至對稱軸為垂直線2.註明題目圖形的端點3.只看其點與對稱軸的關係，點出其對稱點。4.描繪除對稱點的連線 【林其楓老師受訪，林秀芬訪談】擴大圖與縮小圖：ex: 學生只注的意高乘以幾倍忘記長度也要乘以相同的倍數學生通常只會注意到對應邊的長度變換，不容易注意對應角度的不變性，所以畫出來的圖形，總是怪怪的，因此老師採取的策略：先讓學生體驗後再告訴他們原理，才會是正確並且讓他們深刻牢記的做法：要求學生用描圖紙先把原圖的角度畫下來（林君玲，許薇寧）擴大圖與縮小圖：學生易以格子為圖形的放大和縮小的基準點，只將格子放大，或是只將圖形做上下的縮放，而忘了橫向的縮放。老師會先在黑板上畫一個原圖和縮放圖(放大或縮小二倍)，請學生看看二個圖有何不同?在學生觀察的過程中，老師會請學生注意將每一個線段所佔的格數在縮放後的變化，然後歸納出畫縮放圖應以線段為基準點，而非格子。 (訪問者:張思萍 受訪者:北縣竹圍國小林佳佳老師)縮圖(比例、比例尺)線段：面積例如：4：16正確答案應該是2：4但學生沒有概念，對於之間的轉換都會直接乘2或除2。(題目) (學生的迷思) (正確的)要讓學生不容易出錯，最好的方式是利用線段放大或縮小。例如：三角形的面積為底乘以高。利用底和高的線條直接放大，這樣就不會搞混了。(訪問者:林貞夆 受訪者:北縣竹圍國小盧燕萍老師)縮圖與擴圖：對應邊與對應角。學生對於縮圖、擴圖只會注意到對應邊的長度變換，通常不容易注意對應角度的不變性，所以畫出來的圖形，總是怪怪的，因此老師採取的策略是要求學生用描圖紙先把原圖的角度畫下來，再讓學生做對應邊的長度變化，這樣讓學生經驗角度的不變性，印象會更深刻。(余曉婷【訪】楊蔚如老師)擴大圖與縮圖例如：平行四邊形每邊的邊長要擴大為原來的3倍，學生知道只考慮到上下底要擴大為原來的3倍長，容易忽略高的部分也要擴大為原來的3倍。先將平行四邊形的面積分割成三部份(如下圖所示)，將圖形分割好之後再一一說明：平行四邊的底由長方形的長和三角形的底所組成，而高則可看做是長方形的寬或三角形的高，首先考慮的是中間的長方形每邊的邊長增為原來的3倍長，將中間的長方形各邊增為3倍長的距離畫出來之後，接著是第一個三角形的底邊就可沿著長方形的長畫出原來的3倍距離，同理第二個三角形的底邊也可沿著長方形的長畫出原來的3倍距離，最後連接三角形的兩頂點就完成啦！ (廖芳苓老師)線對稱圖形不知如何畫線對稱圖形。讓小朋友回想