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线性代数试题二 考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B二、填空题（每空4分，共20分）11 6 12. 13. 1+c(2-1) （或2+c(2-1)），c为任意常数14 1 15. 三、计算题（每小题8分，共40分）16.解 原式=17.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=18.解一 所以4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.19.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）20.解 易求得A的全部特征值为1，1和-8。 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=对角矩阵 D=（也可取T=.）四、证明题（每小题5分，共10分）21.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .22.证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2个解。（2）考虑l00+l11+l22=0，即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设，
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