答疑中的问题集锦.doc

答疑中的问题集锦（5） （6） （7） 事件的“互不相容”与“对立”有什么不同？答：事件A、B 的互不相容（亦称互斥）是指事件A、B不能同时发生，即AB；事件A、B的对立是指AB，且ABW .于是两个事件对立一定是互不相容的，但互不相容的事件却不一定是对立的. 另一方面，两个对立的事件在一次试验当中必有一个发生，且仅有一个发生，二者必居其一；而两个互不相容的事件在一次试验当中只是不能同时发生，也有可能两个都不发生.通过Venn图很容易理解两者的差别.（8） （9） 事件的“互不相容”与“相互独立”有什么不同？答：事件的互不相容是从事件发生不发生的角度来讲的，事件A、B 的互不相容是指在一次试验当中，事件A 发生了B 就不会发生， B 发生了A 就不会发生，即AB；事件的相互独立是从一个事件的发生对另一事件发生的概率有没有影响的角度来讲的，A、B 的相互独立是指P(A|B)=P(A)，且P(B |A)=P(B)，即P(AB)=P(A)P(B). 于是由这两个概念容易看出，互不相容的事件通常是相依的，而相互独立的事件也通常是相容的. 参见习题14第3题. 3、A、B、C 互不相容与ABC是不是一回事？答：不完全是一回事. 若A、B、C 互不相容，则有ABC，但反之不然. 这一点通过Venn图是容易理解的，A、B、C 互不相容如图3，而ABC却包含有图4等的情形.4、如何理解事件的和？事件A与B的和（并）是一个事件，记作AB，它由A与B的所有的样本点所构成，即AB=wW |wA或wB. 因此事件AB的发生等价于事件A与B中至少有一个发生，即. 计算AB的概率通常运用加法公式：；特别地，若A与B互不相容，则有.事件和的概念可以推广到有限个或可数无限多个的情形. 因之，加法公式亦可作相应推广.（10） （11） 如何理解事件的积？事件A与B的积（交）也是一个事件，记作AB或AB，它由A与B的所有共有的样本点所构成，即AB=wW |wA且wB. 因此事件AB的发生等价于事件A与B同时发生. 计算AB的概率通常运用乘法公式：；特别地，若A与B相互独立，则有.事件积的概念可以推广到有限个或可数无限多个的情形. 因之，乘法公式亦可作相应推广.（12） （13） 如何理解事件的差？事件A与B的差是一个事件，记作AB，它是由A中的但不在B中的那些样本点所构成，即AB=wW |wA但wB. 因此事件AB的发生等价于事件A发生但B不发生，即. 计算AB的概率通常运用减法公式：；特别地，若BA时，则有.7、P21 EX1-3. 8.某城市下雨的日子占全年的一半，天气预报的准确率为90%. 某人每天上班为防备雨淋，于是预报下雨时他就带伞，即使预报无雨，他也有一半时间带伞. 求：（1）他没有带伞而遇雨的概率；（2）他带了伞而没有下雨的概率.解： 设A=该城市确实下雨，B=天气预报该城市会下雨，C=某人带伞，则依题意 ，此题的这两问可以作两种理解。（14） 第一种理解：他没有带伞而遇雨=，他带伞而没有下雨=则 ； （15） 第二种理解：他没有带伞而遇雨=，他带伞而没有下雨=则 ，而其中 ，其中,故 ；.8、教材P20的例6中的概率P(B|A)=0.087为什么这么小，有些不可思议。 P(B|A)=0.087表明，在检查结果呈阳性的人中，真是艾滋病毒携带者的只有不到9%，这个结果会使不少人吃惊，但仔细分析一下便不难理解。因为携带艾滋病毒者在正常人群中的比率很低，1000人中平均只有一人，而有999人不是携带者。因为是普查，例如对1000人进行酶联免疫吸附测定法进行检查时，艾滋病毒携带者的绝对人数很少，而按错检率1%知，这999人非携带者中约有9990.01=9.99人呈阳性，错检的绝对人数还是挺多的，加上那1个病毒携带者其检查结果中会有10.95=0.95个呈阳性，因此仅从这10.94个呈阳性的人中看，病毒携带者0.95人约占8.7%。 对于医学检查，降低错检率是提高检验精度的关键，但实际中由于技术和操作等种种原因，错检率的进一步降低又是很困难的。因此在实际中，常采用复查的办法来减少检查的差错，或者采用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，先排除大量明显不是艾滋病毒携带者之后，再用酶联免疫吸附测定法进行复查，因为被怀疑的对象群体中的病毒携带者比率大大提高了，于是就可以大大提高检验方法的准确率。比如对首次检查呈阳性的人再进行复查，若病毒携带者比例提高为P(B) =0.30，这时便有。第二章 随机变量及其概率分布1、随机变量的分类随机变量按照其取值形式的不同通常被分为两大类：离散型随机变量和非离散型随机变量。一个随机变量的所有可能取值为有限个或可数无限多个时，称其为离散型随机变量；否则称之为非离散型随机变量。连续型随机变量只是非离散型中的一种常见情形，它的所有可能取值充满一个区间或是整个数轴，且按照定义，其分布函数是一个连续函数。非离散型随机变量当中亦有非连续型的随机变量，例如分布函数为的随机变量X就不是连续型的。容易验证F(x)满足分布函数的性质，但它在x=0,1两处间断，因此X既不是离散型也不是连续型的随机变量。2、随机变量取值的概率的表示引进随机变量的目的，是为了通过它的取值来表示随机事件，同时通过它的不同取值，去表现和描述由一系列相关联的随机事件构成的一类随机现象。因此研究随机变量，我们不是仅单一地关心它的取值，更重要的是关心它取值的可能性（概率）。随机变量取值的概率的表现形式称之为概率的“分布”。针对离散型的随机变量，我们将它每个取值对应的概率都逐一罗列出来：pi, i=1,2,，这就是它的“概率分布（列）”，有了这个概率分布，离散型随机变量每一个取值的可能性大小就了如指掌了。而连续型随机变量，其取值是一个区间内的所有实数值，不能一一列举，我们借助于物理学中的质量密度提出概率的 “密度”概念，用来刻画该随机变量在x点处取值的可能性大小，通常情况下在不同点处随机变量取值的概率不一样，因此“密度”是x的函数f(x)，称之为“概率密度函数”，有了这个概率密度函数，连续型随机变量在取值区间上的概率规律也就明了了。对于离散型随机变量，它在取值点的概率由pi, i=1,2,直接表达，而在一个区间（a,b）上的概率，根据概率可加性等于该区间包含的所有取值点概率的累加；对于连续型随机变量，它在任一点取值的概率都为0，而在一个区间（a,b）上取值的概率亦是该区间上概率的累加。离散型的“概率分布”和连续型的“概率密度函数”都是概率的表现形式，自然应该符合概率的公理，因此对pi有pi0和，对f(x)有f(x)0和。“概率分布”和“概率密度函数”分别表示离散型和连续型两种不同类型的随机变量取值的概率规律，全面而且直观。为了形式统一并且适用于一切类型的随机变量，教材中又引进 “分布函数”的概念来描述随机变量取值的概率规律。对于任一随机变量X，定义其概率的分布函数为 F(x)=PXx，对于任意实数x,容易看出它是随机变量X直到x的所有取值的概率的累加：和，当x变动时F(x)便也刻画出X取值的概率规律来，因此分布函数又叫“累积分布函数”。分布函数值仍然是概率，自然也就符合概率的公理，于是离散型随机变量的分布函数是一个在0到1之间有界、单调不减、右端连续的阶梯函数，连续型随机变量的分布函数是一个在0到1之间有界、单调不减的连续函数。尽管分布函数F(x)在概念上是经过“累积”的概率，不如概率分布或概率密度那样直观和自然，但它能把一切类型的随机变量取值的概率规律统一在普通的实值函数的形式上，便于进行数学上的分析和研究，其优势也是不言而喻的。例如我们也很容易进行概率的计算：随机变量X在任一点x处取值的概率，在任一个区间（a,b 内取值的概率。这样我们就有了两个体系共同来描述随机变量取值的概率规律，也就是随机现象的概率规律，并且可以根据两个体系之间的关系，通过其中之一得知另一个，比如可以由连续型随机变量的概率密度函数求得其分布函数，或者通过分布函数求得其概率密度函数。3、常用的概率分布分布名称概率分布与概率密度函数分布函数数学期望方差两点分布,；其中0p1为参数pp(1-p)二项分布，k=0,1,2,n；其中0p0为参数ll指数分布，其中l0为参数正态分布，其中m,s 0为参数ms2 P95EX3-5. 4.设随机向量（X,Y）的概率密度函数为 ，求随机变量Z=X+Y的概率密度函数. 解：设 D= x + y z ，G= | x | 1, | y | 1 ，Z 的分布函数为，注意到关于直线y = x对称，故有 ，从而.于是（如图），当z -2时，；当 -2 z 0时，；当 0 2时，.从而Z=X+Y的概率密度函数为P114 EX4-3. 3.把写有数字1,2