概率统计讲稿基础部.doc

第一章 随机事件与概率1.1 随机事件一 随机事件的概念在一次实验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件二 样本空间与事件样本点. 样本空间三 事件间的关系和运算1 事件的包含与相等。如果事件A出现,一定导致事件B也出现。或 显然2 事件的和(并)。两个事件A与B中至少有一个出现。记作或3 事件的积（交）。两个事件A与B同时发生。记作或4 事件的差。事件A出现而事件B不出现。 记作5 互不相容事件。如果事件A与B不可能同时出现。 6 对立事件。事件A不出现，即事件“非A”。 7 完备事件组。如果n个事件是互不相容的，并且他们的和是必然事件。例. 在产品质量的抽样检验中，每次抽取一个产品，记事件=“第n次取到正品”，n=1，2，3。用事件运算的关系式表示下列事件：1前两次都取到正品，第三次未取到正品；2三次都未取到正品；3三次中只有一次取到正品；4三次中至多有一次取到正品；5三次中至少有一次取到正品；1.2 概率一 事件的频率与概率事件频率具有如下性质：1 非负性2 正则性3 可加性二 概率的定义定义1 设实验E的样本空间为，对于实验E的每一个事件A，既对于样本空间的每一个子集A，都赋予一个实数，如果满足下面三条公理，称为事件A的概率公理1 对于任何事件A，都有；公理2 对于必然事件，；公理3 对于任意可列个互不相容事件 有 三 概率的性质1 不可能事件的概率等于0，既2 任意有限个互不相容事件之和的概率，等于它们概率的和： 3 如果事件构成一个完备事件组，则有 特别地，对立事件的概率有4 如果有一般地：5 对于任意两个事件A与B，有例. 设事件A与B互不相容，且，求。 四 古典概型1 有限性 实验的所有基本事件总数有限2 等可能性 每次实验中，各个基本事件出现的可能性都相同 例.将一枚均匀的硬币连续掷两次，计算正面只出现一次及正面至少出现一次的概率。 设事件A=“正面只出现一次”，B=“正面至少出现一次” 。该试验共有四个等可能的基本事件，即 有利于A, B 的基本事件分别为2个及3个，由古典概型公式，有 1.3 条件概率与独立性一 条件概率定义1.2 对于两个事件A与B ，如果,称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 当时，条件概率就是无条件概率 古典概型中条件概率的计算 例. 10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，抽取两个，如果已知第一个取到次品，计算第二次又取到次品的概率。解 设事件 二 乘法法则乘法法则 对于；两个事件A与B, 如果,则有 如果 , 则有 例.10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，抽取两个产品，计算两次都取到次品的概率 解：设表示第i次取到次品， 由乘法公式，有 三 事件的独立性定义1.3 如果两个事件A与B满足等式 称事件A与B是相互独立的，简称A与B独立。推论 1 设A与B为两个事件，,则A与B独立的充分必要条件是 推论 2 设A与B为两个事件，则下列四对事件：A与B；与B；A与;中，只要由一个事件独立，其余三对也独立。推论3 设两个事件A与B的 概率都大于0且小于1，则下面四个等式等价，即其中任何一个成立，另外三个也成立： 定义 1.4 两个事件A与B, 如果其中任何一个独立事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的。 例. 甲.乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，求甲，乙二人至少有一人投中的概率 解 记 A=“甲投中”，B= “乙投中”， 定义1.5 设为n个事件，如果对于任何正整数以及，都有 则称事件为相互独立的。定义 1.6 设为n个事件，如果它们中任何一个事件发生的概率都不受其余某一个或某几个事件发生与否的影响，则称事件是相互独立的。定义 1.7 设为随机事件序列，如果它们中任何有限个事件都是相互独立的，则称该随机事件序列为相互独立的 。例. 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的 概率为0.6，求密码能 译出的概率。 解 记A=“甲译出密码”，B、C分别表示乙、丙译出密码，D=“密码被译出”。 1.4 全概率公式与贝叶斯公式 定理1.1 （全概率公式） 如果事件构成一个完备事件组，而且则对于任何一个事件B，有 定理1.2 （贝叶斯公式） 设事件构成一个完备事件组，概率对于任何一个事件B，若 有 例. 甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，他们击中目标的概率分别为0.4，0.5，0.7.假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率为0.2，若有2人击中，飞机坠毁的概率为0.6，而飞机被3人击中时一定坠毁。现在如果发现飞机已经击中坠毁，计算它是由3人同时击中的概率。 解 记 构成一个完备事件组，设事件B=“飞机被击中坠毁” 依题意 设事件分别表示甲、乙、丙击中飞机，显然它们是相互独立的，由提设可知： 习题 随机事件与概率1.用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件：（1）抛一枚骰子，观察向上一面的点数，事件表示“出现偶数点”；（2）对目标进行射击，击中后便停止射击的次数，事件表示“射击次数不超过次”.2.设，为三个事件，用，的运算关系表示下列各事件： （1）发生，与不发生；（2），中至少有一个发生；（3），都发生；（4），都不发生；（5），中不多于两个发生；（6），中至少有两个发生.3.设某工人连续生产了个零件，表示他生产的第个零件是正品，试用表示下列各事件：（1）没有一个是次品；（2）至少有一个是次品；（3）只有一个是次品；（4）至少有三个不是次品；（5）恰好有三个是次品.4.已知，试求： （1），； （2）； （3）； （4）； （5），.5.设事件，且，.问分别在什么条件下，取得最大值和最小值？最大值和最小值各为多少？6. 设事件，已知，.试求：（1）；（2）.7.已知，.试求，中至少有一个发生的概率.8.书架上有一部卷册的文集，求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率.9.从一批由件正品，件次品组成的产品中任取件产品，求其中恰有一件次品的概率.10.个朋友随机的围绕圆桌就座，求其中两个人一定坐在一起（即座位相邻）的概率.11.某油漆公司发出桶油漆，其中白漆桶，黑漆桶，红漆桶，在搬运过程中所有的标签均脱落，交货人随机地将这些油漆发给顾客，问一个订货为桶白漆，桶黑漆和桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？12.将一枚骰子重复掷次，试求掷出的最大点数为的概率.13.已知，求条件概率.14.已知，.试求：（1）；（2）.15.某种动物由出生活到岁的概率为，活到岁的概率为，这种动物已经活到岁再活到岁的概率是多少？16.掷两颗均匀骰子，已知两颗骰子的点数之和为，求其中有一颗点数为的概率.17.某人有一笔资金，他投入基金的概率为，购买股票的概率为，两项同时都投入的概率为，求下列事件的概率：（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？18.已知只产品中有只次品，在其中取两次，每次任取一只，按不放回抽样.求下列事件的概率：（1）两次都取到正品；（2）两次都取到次品；（3）一次取到正品，一次取到次品.19.已知，验证：，.20.第一个盒子中有只红球，只白球；第二个盒子中有只红球，只白球.先从第一个盒子中任取只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.21.某产品主要由甲、乙、丙三个厂家供货.三个厂家的产品分别占总数的，.其次品率分别为，.试计算：（1）从这批产品中任取一件是不合格品的概率；（2）已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪家厂家生产的可能性最大？22.将两信息分别编码为和后传送出去，接收站接收时，被误收作的概率为，而被误收作的概率为.信息与信息传送的频率程度之比为，若接收站收到的信息是，问原发信息也是的概率是多少？23.设有两箱同类零件，第一箱内装有件，其中件是一等品；第二箱内装有件，其中件是一等品，现从两箱中任意挑选一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回）.求第一次取出的零件是一等品的概率.24.设事件，已知，.问事件与是否独立？25.已知事件与独立，且，.试求：（1）；（2）.26.设事件，若，证明：.27.对同一目标进行三次独立射击，第一次，第二次，第三次射击的命中率分别为，.试求：（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）在这三次射击中，至少有一次击中目标的概率.28.设第一只盒子中装有只蓝球，只绿球，只白球；第二只盒子中装有只蓝球，只绿球，只白球，独立地分别在两只盒子中各取一只球.试求：（1）至少有一只蓝球的概率；（2）有一只蓝球一只白球的概率；（3）已知至少有一只蓝球，则有一只蓝球一只白球的概率.复习题1.从双不同的鞋子中任取只，求取得的只鞋子中至少有只配成一对的概率. 2.（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲胜负.由于特殊原因必须中止比赛.问这元应如何分配才算公平？3.甲从，中任取一数，乙从，中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率.4.将个球任意放在个盒子中，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有个盒子中恰好放有个球的概率.5.设件产品中有件不合格品，从中任取两件. （1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件是不合格品概率.第二章 随机变量的分布和数字特征2.1 随机变量及其分布一、随机变量的概率随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点，一是变异性：对于不同的试验结果，它可能取不同的值，因此是变量而不是常量； 二是随机性：由于试验中究竟出现那种结果是随机的，因此该变量究竟取何值是在试验之前，事先无法确定，直观上，随机变量就是取值具有随机性的变量。二、离散型随机变量的概率分布 定义2.1 如果随机变量X只可能取有限个或至多可列个值，则称X为离散型随机变量。 定义2.2 设X为离散型随机变量，它的一切可能取值为记 称为X的概率函数，又称为X的分布函数，简称分布。离散型随机变量的概率分布式具有两条基本性质： （1） （2）例 x01P0.850.15一般地，只取与两个可能值的随机变量，其概率分布为 称作两点分布，特别地 这时称X服从参数为p的0-1分布，例 对于掷一颗骰子的试验，以X表示出现的点数，写出随机变量X的概率分布 解 三、连续性随机变量的概率密度 定义 2.3 对于随机变量X，如果存在一个非负可积函数，使对于任意两个实数都有则称X为连续型随机变量，称为X的概率分布密度函数，简称概率密度或分布函数，简称为。X的概率密度具有下面两条基本性质：定义2.4 如果连续型随机变量X的概率密度为则称X服从区间上的均匀分布。例 已知连续型随机变量变量X: 且 确定常数和；求解 由概率密度的性质及概率密度的定义式，有 得到 四、随机变量的分布函数 定义2.5 设X是任意一个随机变量，称函数 为随机变量X的分布函数。具有下列性质：1. ;2. 的单调不减函数；3. 4.至多有可列个间断点，并且在其间断点处也是右连续的。2.2 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布例 已知随机变量X的概率分布由下表确定，并且随机变量分别求Y,Z的概率分布X-1012P0.20.10.30.4Y-3159P0.20.10.30.4Z014 P0.10.50.4 二、连续型随机变量函数的分布 例 设随机变量, 求随机变量Y的概率密度其中 解 定义2.1 设X为连续型随机变量，其概率密度为为 对于任何一个有单值反函数的单调可导函数的情况都有相应的结果。定理2.2 设是的单调可导函数，其导数恒不为零。记的反函数，是的值域，其中，则是连续型随机变量，其密度为例 已知,其中解 在区间内，是单调函数，有 2.3 随机变量的数字特征一、 数学期望的概念定义2.6 设离散型随机变量X的概率分布为： 如果级数绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记作，即 EX也被称为X的均值或分布的均值。定义 2.7 设连续型随机变量X的概率密度为，如果积分绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，极为EX，即 例 设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求EX 解 例 一批产品中有一、二、三等品及废品4种，相应比例分别为60%，20%及10%，若各等级产品的产值分别为6元，4.8元，4元及0元，求产品的平均产值。 解 元例 已知，并且 求与的值，并求分布函数 解 可得 当时 因此 二、数学期望的 简单性质 1. 如果是一个常数，则 2. 3. 4. 定理2.3 设X是随机变量，并且存在，则 1.若为离散型，有 2. 若为连续型，概率密度为，有 例 随机变量X的概率分布如下，,求 X1234P0.40.30.20.1 解 例 随机变量X服从区间上的均匀分布，求 解 三、 方差定义2.8 设X是随机变量，期望存在，称为的离差。定义2.9 设是随机变量，期望存在，并且也存在，称为的方差，记作或，即 称为的标准差，也记作方差的简单性质：1. 2. 3. 4. 其中为常数例 设随机变量服从参数为的0-1分布，求的方差。例 已知随机变量： 又已知 ,试确定系数解 得到 四、矩1. 原点矩 对于正整数如果称 为随机变量的阶原点矩。2. 中心距 对于正整数如果称 为随机变量的阶中心距。2.4 几种重要的离散型分布一、二项分布 定义2.10 如果随机变量的概率分布为 其中则称服从参数为的二项分布，记作 例 某人投篮的命中率为0.8，若连续投篮5次，求最多投中2次的概率。 解 、 定理2.5 如果随机变量，且;则 例 某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为60%的概率。 解 =0.9969-0.9905=0.0064二、超几何分布定义2.11 对于给定的自然数,如果 其中,则称随机变量X服从超几何分布，称为分布参数超几何分布与二项分布关系：对于固定的，当时，有 其中例 一大批种子的发芽率为90%，从中任取十粒，求播种后恰好有八粒发芽的概率。解 三、泊松分布定义2.12 如果随机变量的概率函数为：其中，则称服从参数为的泊松分布。定理2.6（泊松定理） 在重伯努利试验中，成功次数服从二项分布，假设每次试验成功的概率为，并且，则对于任何非负整数,有例 设某城市的一个地区每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布，据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的。计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。解 2.5 几种重要的连续型分布一、 指数分布定义2.13 如果随机变量的概率密度为 其中，则称服从参数为的指数分布。例 某元件寿命服从指数分布使用了500小时没有损坏，求它还可以继续使用1000小时的概率。解 元件以前无故障，不影响它以后使用寿命二、 正态分布1. 正态分布的概率密度定义2.14 如果随机变量的概率密度为其中，则称服从正态分布，简记为当时，正态分布称为标准正态分布。2.正态分布的期望与方差 标准正态分布的期望为0，标准差是1.3.一般正态分布与标准正态分布的关系定理2.7 设随机变量,随机变量，则有 其中与分别是X与Y的分布函数。定理2.8 设随机变量，,则有。4.正态分布表 设随机变量,由于其概率密度对称于轴，因而的分布函数满足： 习题 随机变量的分布和数字特征1.设随机变量的概率分布为， ，试求：（1）；（2）；（3）.2.已知随机变量只能取，四个值，相应的概率依次为，试确定常数，并计算.3.一袋中装有只球，编号为，.在袋中同时取只，以表示取出的只球中的最大号码，写出随机变量的概率分布.4.已知离散型随机变量的概率分布为，试求：的分布函数.5.设离散型随机变量的分布函数为试求：（1）的概率分布；（2）.6.设的分布函数为试求：；.7.设随机变量的概率密度为试求：的分布函数.8.已知的概率密度函数为试求：；.9.设连续型随机变量的分布函数为试求：（1），的值；（2）；（3）概率密度函数.10.已知的概率分布为试求：（1）；（2）的概率分布.11.设随机变量的概率分布为试求：；.12.设连续型随机变量的概率密度为其中：，又已知，求：，的值.13.设随机变量的概率密度为试求：（1）的数学期望；（2）的数学期望.14.设甲，乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命（单位：小时）和的概率分布分别为试问：哪家工厂生产的灯泡质量较好？15.设随机变量，相互独立，且有，.设试求：；.16.设随机变量，.若，求.17.设书籍上每页的印刷错误的个数服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同.求任意检验页，每页上都没有印刷错误的概率.18.已知，且，.试求：的全部可能取值，并计算.19.设随机变量服从上的均匀分布，如果（1） （2）试求：.20.设测量误差，现进行次独立测量.求误差的绝对值超过的次数不小于的概率.21.某工厂生产的仪器使用寿命服从参数为的指数分布，当寿命大于时，可直接出厂，否则需进一步加工，加工后以概率可以出厂.现该厂新生产出台仪器，假设生产过程相互独立，试求：（1）都能出厂的概率；（2）恰有两件不能出厂的概率；（3）至少有两件不能出厂的概率.22.家商店联营，他们每两周售出的某种农产品的数量（单位：千克）分别为，.已知，.且，相互独立.（1）求家商店两周的总销售量的均值和方差；（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？23.在每次试验中，事件发生的概率为，利用切比雪夫不等式估计，在次独立重复试验中，事件发生的次数在之间的概率.24.一盒同型号螺丝钉共有个.已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是，标准差是，求一盒螺丝钉的重量超过的概率.25.计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则.为简单计，现在对小数点后面第一位进行舍入计算，则可以认为误差服从上的均匀分布，若在一项计算中进行了次数学计算，求平均误差落在区间上的概率.26.某公司有名员工参加一种资格证书考试.按往年经验，该考试通过率为，试计算这名员工至少有人通过考试的概率.27.设总体具有概率分布为其中为未知参数.已知取得了样本值，.试求：的最大似然估计量.28.设总体的概率密度为其中是未知参数，为一个样本.试求参数的最大似然估计量.29.设的概率密度为 （），是的一个样本.求的最大似然估计量.复习题1.某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可以从出租公司得到元.因代营业务，每天加油站要多付职工服务费元.设每天出租汽车数是一个随机变量，它的概率分布如下：求：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.2.某城市饮用水的日消费量（单位：百万升）是随机变量，其概率密度为试求：（1）该城市的水日消费量不低于万升的概率；（2）水日消费量介于万升到万升的概率.3.已知的概率密度为试求：常数及.4.已知的概率密度为计算：. 5.设随机变量的概率密度为试求：的概率密度.6.设随机变量的概率密度为并已知，求系数，.7.设随机变量，相互独立，其中在上服从均匀分布，服从参数的指数分布，服从参数的泊松分布，记求.8.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），试求：（1）某一天从中午时至下午时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午时至下午时至少收到次紧急呼救的概率.9.某地区岁女青年的血压（收缩压，单位：）服从.在该地区任选一岁女青年，测量她的血压.（1）求，；（2）确定最小的，使.10.设各零件的重量都是随机变量，他们相互独立，且服从相同的分布.其数学期望为，标准差为.问只零件的总重量超过的概率是多少？教学内容第一章 随机事件与概率1.1 随机事件1.2 概率教材分析重点随机事件的概念的理解难点运用随机事件间的关系求解事件的概率关键教学目的及要求通过的随机事件概念的理解，同时运用事件的频率来近似代替事件的概率，并运用事件间的关系运算概率教学方法教具备 注教学进程1.1 随机事件一、 随机事件的概念二、样本空间与事件三、事件间的关系与运算1.2 概率一、事件的频率与概率二、概率的定义三、概率的性质四、古典概型教学后记教学内容1.3 条件概率与独立性1.4 全概率公式教材分析重点条件概率难点区分函数的独立性与互不相容的关系关键判断题型是否需要用全概率公式教学目的及要求 通过条件概率的讲解得到乘法公式以及判断事件的独立性。掌握全概率公式的运用教学方法教具备 注教学进程1.3 条件概率与独立性一、条件概率二、乘法公式三、事件的独立性1.4 全概率公式 其中构成一个完备事件组，教学后记 教学内容1.4 贝叶斯公式1.5 习题课教材分析重点贝叶斯公式 难点关键教学目的及要求 掌握并通过全概率公式理解贝叶斯公式；讲解本章重要知识点，同时辅以相关的习题；加强对概率的计算并运用事件间的关系运算概率教学方法教具备 注教学进程一、贝叶斯公式其中构成一个完备事件组，且二、习题教学后记 教学内容第二章 随机变量的分布和数字特征2.1 随机变量及其分布教材分析重点离散型随机变量的分布函数、连续型随机变量的概率密度难点对于两种随机变量的性质的理解关键利用对应随机变量性质计算教学目的及要求 理解离散型、连续型随机变量的性质，计算离散型随机变量的分布函数、通过连续型随机变量的概率密度计算连续型随机变量的概率；分布函数的计算教学方法教具备 注教学进程2.1 随机变量及其分布一、随机变量的概念二、离散型随机变量