基于截断HOSVD的图像压缩算法.doc

基于截断HOSVD的图像压缩算法摘要：本文提出了一种新的图像压缩技术。受高阶奇异值分解（hosvd）的启发，该技术将每一幅灰度和彩色图像都作为高阶张量，并丢弃奇异子张量相应较小的奇异值来实现图像压缩。在文中还证明了hosvd是svd矩阵自然扩伸，并且由于n模式奇异向量相应的较大n模式奇异值在张量分解奇异值耗费更多的资源，我们采用截断hosvd来实现图像压缩。通过对比实验表明，基于截断hosvd图像压缩技术比jpeg可以获得更好的性能。关键词：图像压缩；张量分解；截断hosvd；jpegimage compression algorithm based the truncated hosvdli guoqiang(henan water conservancy and hydroelectric power school,zhoukou466001,china)abstract:this paper presents a new image compression technology.by the higher order singular value decomposition the inspiration of (hosvd),the technology every one grayscale and color images as a higher order tensor,and discard the singular sub-tensor corresponding smaller singular values to achieve the image compression.in the text also proved the hosvd svd matrices natural expansion stretched,and consuming more resources due to the n-mode singular vectors corresponding larger n mode singular value decomposition in tensor singular value,we have adopted the the truncated hosvd to image compression.the experiment shows that the compression based truncation hosvd images than jpeg can get a better performance.keywords:image compression;tensor decomposition;truncated hosvd;jpeg一、介绍在过去的几十年中，很多应用都需要处理大量的多维数据。未压缩的多媒体数据需要相当大的存储容量和传输带宽。尽管在海量存储密度、处理器速度和数字通信系统的性能方面取得了快速进展，人们对数据存储容量和数据传输带宽的需求仍不断超越现有的技术能力。最近由于数据密集的多媒体web应用的增长，不仅持续需要更有效的方式来编码信号和图像，而且信号和图像的压缩已成为存储和通信技术的核心部分。虽然静止图像压缩的jpeg标准的国际标准已经由国际标准化组织（iso）和国际电工委员会（iec）建立，但因为底层的基于块的离散余弦变换（dct）架构使得这种编码器的性能在低比特率普遍降低1。因此，小波变换已经成为了图像压缩研究的尖端技术，jpeg- 2000标准中的热门是所有基于小波变换的压缩算法2。二、高阶奇异值分解一个n阶张量表示为 。这是由n个指数即 ，n=1n，每个 指明了a的n模式，n的维称为a的阶（模式）。特别是，一个标量是零阶张量，一个向量是一阶张量，一个矩阵是一个二阶张量。定义1：（标量张量积）两个张量 的标量积表示为 ，其中 。定义2：（弗罗贝纽斯规范）frobenius范数的张量a定义为 。定义3：（张量距离）在a和b之间的距离定义为 。定义4：（n模式积）假设张量 ，矩阵 ，则a和u的积被称为n模式积，它可以表示另一个张量 ， 。定义5：（展开模式- k）n阶张量 的展开模式- k矩阵可以表示为 ，其列索引等于 .定义6：（a的n -秩）记为 ，它是跨区模式n向量的向量空间的维数。观察1：考虑二阶张量 ，它是一个矩阵，它的模式- 1矩阵 展开等于自己，模式- 2矩阵展开等于 。观察1有助于我们建立张量和它的展开矩阵之间的连接，并且对证明定理2是非常有用的。定理1：（hosvd）任何张量 可用积表示：（1）具有以下属性：(1)是单一的矩阵( )。(2)核心张量 具有以下属性：正交：两个核心张量 和 ，对n的所有可能值它都是正交的，当 ， 和 都是遵从这个特性，并且 。排序：n的所有可能值 。定义7：弗罗贝纽斯规范 ，表示 ，它是a的n -模式奇异值，向量 是n -模式的第i个奇异向量。hosvd矩阵可用可展开的a和b表示：(2)其中 表示kronecker积。定义为对角矩阵 和优先列的正交矩阵如下：(3)(4)其中， 。那么很显然，hosvd导致的展开的svd矩阵为：(5)因此，公式（5）表示一个给定的张量 的hosvd可以通过两个步骤来计算：（1）计算投影矩阵，投影矩阵 对应的模式- n的展开矩阵 的左奇异矩阵。（1）计算核心张量：(6)四、实验结果及分析为了证明算法的效率，我们用jpeg压缩与之进行比较实验。三个大小为 的不同类型的图像如图1所示。图1 压缩的抽样图像 图 2 可变压缩率下的重建图像的psnr从信息学的角度来看，狒狒图像的信息主要是高频信息，lena图像中含有较多的中间频率信息，辣椒图像包含了一些低频信息。我们使用psnr对于在不同的压缩率下重建图像质量进行估算，其结果如图2所示。使用jpeg和hosvd两种算法采用高压缩率后的重建图像如图3到图5所示。图3图4图3 基于jpeg和thosvd采用压缩率95，90，85，80时重建狒狒图像的比较图4 基于jpeg和thosvd采用压缩率95，90，85，80时重建lena图像的比较图5 基于jpeg和thosvd采用压缩率95，90，85，80时重建辣椒图像的比较从实验中我们能得出以下结论：（1）采用jpeg和thosvd压缩时，psnr随着压缩率的提高而下降。事实上，当压缩率变得越大，信息丢失就更多，它在重建时图像的质量就会越差。（2）对于狒狒和辣椒图像，新的压缩算法比jpeg压缩能获得更好的重建质量比。（3）对于中间频率的图像，当压缩率接近1时，基于jpeg的重建图像的psnr要优于那些基于thosvd的。（4）当压缩率很高时，基于jpeg的重建图像有明显的块效应，但基于thosvd的图像没有出现这个现象。（5）很明显，从图3到图5，重建图像的质量与psnr值是一致的。五、结论在文中，我们提出了基于截断hosvd压缩算法。首先，我们通过理论分析表明，hosvd是svd矩阵自然延伸。其次，为了实现数据压缩，我们引入截断hosvd。与jpeg的比较实验表明，对于彩色图像，该算法具有比jpeg更好的性能，而且，在计算机视觉算法上，它很容易得到任意的高阶张量。参考文献：1g.wallace, “the jpeg still picture compression standard,” communications of the acm,vol.34,no.4,pp.30-4