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圆的方程【知识要点】一、圆的标准方程1、圆的定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 由此我们可知：以点为圆心，以为半径的圆的标准方程为.2、圆的标准方程的推导设圆心为，半径为，点满足的条件为. 由两点距离公式可知，点满足的条件为.把上式两边平方，得：即圆的彼岸准方程为.3、圆的标准方程的特点圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小. 确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小. 在确定圆的过程中，如果由已知条件容易求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.4、圆的几个特殊位置的标准方程（1）圆心在原点，半径为的圆的标准方程为；（2）半径为且与轴相切于点的圆的标准方程为；（3）半径为且与轴相切于点的圆的标准方程为；（4）半径为且与轴、轴都相切的圆的标准方程为.二、圆的一般方程1、方程表示圆的充要条件二元二次方程表示圆的充要条件为：；.其中，条件与条件皆为二元二次方程表示圆的必要条件. 因为若二元二次方程仅满足条件与条件，那么二元二次方程可以转化为.对上式配方可得：（i）当时，原方程表示一个点；（ii）当时，原方程不表示任何图形；（iii）当时，原方程表示一个圆，其圆心为，半径为.2、圆的一般方程二元二次方程表示圆的充要条件为：.对二元二次方程，配方可得：（i）当时，原方程表示一个点；（ii）当时，原方程不表示任何图形；（iii）当时，原方程表示一个圆，其圆心为，半径为.因而，当时，我们把方程叫作圆的一般方程.3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化（1）圆的一般方程化为圆的标准方程：把圆的一般方程：（注意隐含条件：）配方可得圆的标准方程：；（2）圆的标准方程化为圆的一般方程：把圆的标准方程：展开可得圆的一般方程：.三、点与圆的位置关系1、平面内一点与圆的位置关系的判定已知圆的方程为，显然圆心为，半径为，那么平面内一点与圆的位置关系有：（1）点在圆上；（2）点在圆内；（3）点在圆外.2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离平面内一点到圆上的点的最大距离为；点到圆上的点的最小距离为（其中，为圆的圆心，为圆的半径）.四、确定圆的方程的方法确定圆的方程的重要方法是待定系数法.1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关于、的方程组，求出、的值，或直接求出圆心及半径. 一般步骤如下：Step 1：根据题意，设所求圆的标准方程为；Step 2：根据已知条件，建立关于、的方程组；Step 3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心及半径，这样的话，将会大大减少计算量. 一般可以利用圆心的三个几何性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在某一条弦的垂直平分线上；圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数. 在圆的一般方程中，含有三个相互独立的参数、，因此，必须具备三个独立的条件才能通过列出关于、的方程组，求出、的值，最终确定出圆的一般方程. 一般步骤如下：Step 1：根据题意，设所求圆的一般方程为；Step 2：根据已知条件，建立关于、的方程组；Step 3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.五、圆的直径式方程的求法设、是圆的某条直径的两个端点，为圆上任意异于点、的一点，则，即，于是有，而，故有，此即圆的直径式方程.六、常见的圆系方程1、过定直线与定圆的交点的圆系方程过定直线：和定圆的交点的圆系方程为.2、过两圆的交点的圆系方程过两圆和的交点的圆系方程为，特别地，当时，该方程表示两圆公共弦所在直线的方程.【例题解析】题型1 圆的定义1、 若方程表示圆，则_.解：方程表示圆（）若，则原方程即为，亦即，表示圆；（）若，则原方程即为，亦即这里，. 由于因此，方程不表示任何图形。故题型2 圆心到直线的距离2、 圆的圆心到直线的距离为1，则_.解：圆的标准方程为，圆心为（1，4）圆心（1，4）到直线的距离为1题型3 圆的标准方程和一般方程3、 经过坐标原点和点，且圆心在直线上的圆的方程为_.解：，OP中点为OP的中垂线方程为，即所求圆的圆心在直线上，而弦OP的中垂线也过圆心联立可得，此即所求圆的圆心为（4，-3）又圆的半径故圆的方程为4、 经过点，且圆心在直线上的圆的方程为_.解：，AB中点为AB的中垂线方程为，即所求圆的圆心在直线上，而弦AB的中垂线也过圆心联立可得，此即所求圆的圆心为（-2，-1）又圆的半径故圆的方程为5、 若圆心在轴上、半径为的位于轴左侧，且与直线相切。则的方程为_.解：设圆心为，由题意知，与直线相切圆心到直线的距离等于半径于是有，舍去故的方程为6、 已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被直线所截得的弦长为。则圆的标准方程为_.解：由于半径、半弦、弦心距构成一个直角三角形因此弦心距又所求圆的圆心在直线上所以可设所求圆的圆心为于是有故所求圆的标准方程为7、 经过，两点，且在轴上所截得的弦长为6的圆的方程为_.解：设所求圆的方程为由于圆过，两点因此，又圆被轴所截得的弦长为6，设该弦左端点为,右端点为则由得，于是由，有由得，或故所求圆的方程为或8、 经过，两点，且在轴上所截得的弦长为的圆的方程为_.解：设所求圆的方程为由于圆过，两点因此，又圆被轴所截得的弦长为，设该弦上顶点为，下顶点为则由得，于是由，有由得，或故所求圆的方程为或题型4 与圆的有关的最值问题9、 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD。则四边形ABCD的面积为_.解：圆，即，圆心为，半径圆内过点的最长弦为，最短弦为.故【方法总结】（）直径是圆内最长弦；在所有过圆内某点的弦当中，垂直于过该点的直径的弦最短。下证：证明：而，当且仅当“”时，“”成立。这表明，当取得最小值时，.又是圆内过点的直径故（2） 对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半。10、 已知实数满足方程.（1） 求的最大值和最小值；（2） 求的最大值和最小值；（3） 求最大值和最小值.解：方程，即表示圆，该圆圆心为，半径（1）令，则当直线与圆相切时，其斜率取得最大值和最小值于是有故，（2） 令，则当直线与圆相切时，其斜率取得最大值和最小值于是有故，（3） 表示圆上的点与坐标原点之间的距离的平方由平面几何知识知，在坐标原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值由于坐标原点到圆心的距离为2因此；.【方法总结】与圆有关的最值问题，可借助图形，利用数形结合求解。一般地：（）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（）形如的最值问题，可转化为两点之间的距离的平方的最值问题。题型5 圆的参数方程的应用 11、 （1）把圆的参数方程（为参数）化为标准方程；（2）若实数，满足，求的最大值.解：（1）由得，于是有故所求圆的标准方程为（2） 将圆的一般方程变形为标准方程于是该圆的参数方程为（为参数）于是故的最大值为题型6 与圆的有关的综合问题12、 曲线：，下列说法中不正确的是（）A. 曲线关于原点对称B. 曲线关于直线对称C. 曲线是封闭的，且封闭图形的面积大于D. 曲线与曲线：有四个交点，这四个交点构成的图形是正方形解：对于A：设是曲线：上任意一点则设点为点关于坐标原点的对称点则点也在曲线：上故曲线关于原点对称对于B：设是曲线：上任意一点则设点为点关于直线，即的对称点则点也在曲线：上故曲线关于直线对称对于C：设是曲线：上任意一点则于是有，故曲线：不是封闭图形（是封闭图形的话，、的取值范围是有限区间）对于D：显然，曲线：与曲线：都关于坐标原点、轴、轴对称，并且它们有四个交点，分别为，而这四个交点恰好是一个正方形的四个顶点故这四个顶点构成的图形是正方形注：证明：点关于直线的对称点为证：设，为点关于直线的对称点于是，故，即点关于直线的对称点为13、 已知两点，若经过点A和点B，且与轴相切的圆有且只有一个，求的值及圆的方程.解：由题意可设所求圆的方程为（）则由该圆过，两点，有（）当时，方程即为此时所求圆的方程为（）当时，由方程有唯一解，有即而， 所以代入方程中，得此时所求圆的方程为故当时，所求圆的方程为；当时，所求圆的方程为.14、 设，若，则的取值范围为_.解：（法一）曲线，即，表示圆心为，半径的下半圆周（不包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即下半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又曲线：，与直线：有公共点故，即的取值范围为（法二）对于曲线：，即下半圆周，令，则点，是曲线上的点曲线：，与直线：有公共点方程在上有解于是有又于是故，即的取值范围为注：（1）当曲线：与直线：有且仅有一个公共点时，可求得的取值范围为。解法如下：曲线，即，表示圆心为，半径的下半圆周（不包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即下半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又曲线：与直线：有且仅有一个公共点故或，即的取值范围为（2）当曲线：与直线：有两个公共点时，可求得的取值范围为。解法如下：曲线，即，表示圆心为，半径的下半圆周（不包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即下半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又曲线：与直线：有两个公共点故，即的取值范围为15、 若直线：与曲线：有公共点，则的取值范围为_.解：（法一）曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又直线：与曲线：有公共点故，即的取值范围为（法二）对于曲线：，即上半圆周，令，则点，是曲线上的点直线：与曲线：，即上半圆周，有公共点方程在上有解于是有又于是故，即的取值范围为注：（1）当直线：与曲线：有且仅有一个公共点时，可求得的取值范围为。解法如下：曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又直线：与曲线：有且仅有一个公共点故或，即的取值范围为（2）当直线：与曲线：有两个公共点时，可求得的取值范围为。解法如下：曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又直线：与曲线：有两个公共点故，即的取值范围为16、 已知曲线：与直线：有两个交点，则的取值范围为_.解：曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又曲线：与直线：有两个交点故，即的取值范围为注：（1）当曲线：与直线：有交点时，可求得的取值范围为。解法如下：（法一）曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又曲线：与直线：有交点故，即的取值范围为（法二）对于曲线：，即上半圆周，令，即，则点，是曲线上的点直线：与曲线：，即上半圆周，有公共点方程在上有解于是有又于是故，即的取值范围为（2）当曲线：与直线：有且仅有一个交点时，可求得的取值范围为。解法如下：曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）当直线：过点时，有当直线：过点时，有当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离又曲线：与直线：有且仅有一个交点故并且，即的取值范围为17、 已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在的直线方程为，点在AD边所在的直线上.（1） 求AD边所在直线的方程；（2） 求矩形ABCD的外接圆的方程.（3） 若动圆过点，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程.解：（1）由AB边所在的直线方程为，且，有由点在AD边所在的直线上，可得AD边所在直线的方程为，此即（2） 矩形ABCD的两条对角线相交于点点为矩形ABCD的外接圆的圆心联立，得，即点A的坐标为于是所求圆的半径故矩形ABCD的外接圆的方程为（3） 动圆过点，且与矩形ABCD的外接圆外切动圆的半径等于，且（注：点必在轴左侧）由此有，而所以点的轨