第九天(正弦定理、余弦定理).doc

正弦定理、余弦定理1三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA2正弦定理：证明：由三角形面积 得画出三角形的外接圆及直径易得：3余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 证明：如图ABC中，当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题4利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinAab时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；absinA时无解。5利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。一、求解斜三角形中的基本元素例1 中，BC3，则的周长为（ ）A BC D分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出bc，则周长为3bc而得到结果 解：由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B)故三角形的周长为：3bc，故选(D)评注：由于本题是选择题也可取ABC为直角三角形时，即B，周长应为33，故排除(A)、(B)、(C)而选(D)例2) 在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且，设BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例3 在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故选(B)解法2：由题意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故选(B)三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例4 在中，若，则的面积S_分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式SABACsinA即可解决解：由余弦定理，得cosA，解得AC3 SABACsinA ABACsinAACh，得hAB sinA，故选(A)四、求值问题例5 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B.由已知条件，应用正弦定理解得从而五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇例6ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， （）求cotA+cotC的值； （）设，求ac的值.分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由由b2=ac及正弦定理得 则 （）由，得cacosB，由B，可得ac2，即b22 由余弦定理b2=a2+c22ac+cosB，得a2+c2=b2+2accosB=5. 易错题解析 例题1在不等边ABC中，a为最大边，如果，求A的取值范围。错解：。则，由于cosA在（0，180）上为减函数且又A为ABC的内角，0A90。辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。正解：由上面的解法，可得A90。又a为最大边，A60。因此得A的取值范围是（60，90）。例题2在ABC中，若，试判断ABC的形状。错解：由正弦定理，得即。2A2B，即AB。故ABC是等腰三角形。辨析：由，得2A2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得，2A 或。或。故ABC为等腰三角形或直角三角形。例题3在ABC中