第二十六章第3-4节圆的确定;圆周角.doc

年 级初三学 科数学版 本上海科技版内容标题圆（二）编稿老师梁湘义【本讲教育信息】一. 教学内容：圆（二）圆周角和圆心角的关系、确定圆的条件二. 教学要求1、理解圆周角的概念及其相关性质，并能熟练地运用它们进行论证和计算。2、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。三. 重点及难点重点：圆周角定理及其推论，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。难点：圆周角定理的证明，不在同一直线上的三个点作圆的方法。四. 课堂教学知识要点知识点1、圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。说明：圆周角的两个特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦，二者缺一不可。知识点2、圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。说明：（1）定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半。（2）不能忽略“同一条弧”这个基本前提，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”。知识点3、圆周角定理的推论推论1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。如图所示，所对的圆周角有ACB，ADB，AEB，因此ACBADBAEB。说明：（1）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立如图1所示，ACB，ADB，AEB所对的弦是同一条弦AB，ADBAEB，但ACB与ADB，AEB与ACB却不相等。（2）此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。如图（2）中所示，如果ACBDFE，那么推论2、直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。如图3所示，若AB为直径，则ACB90，若ACB90，则AB为直径。知识点4、过三点的圆由圆的定义可知，圆有两个要素，一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。知识点5、三角形的外接圆、三角形的外心的概念三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。注意：（1）“接”说明三角形的顶点与圆的关系，圆经过三角形的各顶点，“三角形的外接圆”是以三角形为准，说明圆在它的外面。（2）锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边中点。钝角三角形的外心在三角形外部，无论哪种三角形，它们的外心都是两边的垂直平分线的交点，另外只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了。【典型例题】例1. 如图所示，在O中，并判断。解：因为所以因为所以（圆周角定理）例2. 如图所示，AB，CD是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E为AO的中点，连接CE并延长，交O于另一点F，求弦CF的长。分析：由CD为直径，连接FD，可得CFD90，易知OCE与FCD相似，CF的长可由相似三角形的对应边成比例求得。 解：连接FD，因为CD为直径，所以CFD90又CDAB，所以COECFD90又因为ECODCF，所以OCEFCD所以例3. 如图所示，O的内接四边形ABCD的对角线ACBD，OEBC于E，求证OE。分析：设法构造2OE，连接CO并延长，交O于F，连接AF，BF.因为CF为直径，所以FBCFAC90，所以BFBC，因为OEBC，所以OEBF，所以CEBE，在CBF中，因为CEBE，OEBF，所以OEBF，因为FAC90，所以FAAC，因为ACBD，所以FABD，所以FABABD所以BFAD，所以OE例4. 在ABC中，ABAC10，BC12，求其外接圆半径。分析：如图所示，作ADBC，垂足为D，由等腰三角形性质可知ABC的外接圆圆心O必在AD上，欲求外接圆半径，只要求出DC即可，OC可在RtODC中由勾股定理求得。解：如图所示，作ADBC于D，在RtABD中，BDBC6，AD由因为ADBD于D，ABAC所以，根据等腰三角形“三线合一”的性质。可知ABC的外心O在AD上，连接OC，设OAOCR，则ODADAO8R，CDBC6，在RtODC中，所以即三角形外接圆的半径是例5. 如图所示，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心O。（2）设ABC是等腰三角形，底边BC10，腰AB6，求圆片的半径R（3）若（2）中的R的值满足mRn（m，n均为正数），试估算m和n的值。分析：第（1）问利用过不在同一直线上的三点作圆的方法，即可找到圆心O，第（2）问由垂径定理可得，第（3）问根据数的大小关系。估算m，n的值。解：（1）作AB，AC的垂直平分线，其交点即为圆心O，（2）连接BO，AO，AO交BC于E，因为ABAC，所以所以AEBC，BEBC5在RtABE中，AB6，BE5， 所以AE在RtOBE中，解得（3）所以【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、在同圆中，同弦所对的圆周角（）A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 互余2、如图1所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有（ ）对。A. 2 B. 3 C. 4 D. 5图13、圆内接四边形ABCD的四个内角的度数之比A：B：C：D可以是（ ）A. 1：3：4：2 B. 2：3：1：4 C. 3：2：4：1 D. 4：1：2：34、若ABC的外接圆的圆心在ABC的外部，则ABC是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 无法确定5. 可以作圆且只可以作一个圆的条件是（ ）A. 已知圆心 B. 已知半径C. 过三个已知点 D. 过不在同一直线上的三点6、根据下列条件，A，B，C三点能确定一个圆的是（ ）A. AB1，BC1，AC2B. AB4 ，BC2，AC8C. AB3，BC4，AC6D. AB1，BC1，AC2二、填空题7、如图2所示，AB为O的直径，AB6，CAD30，则弦DC（ ）8、如图3所示，四边形ABCD内接于O，BCD120，则BOD（ ）9、等腰三角形ABC内接于半径为5厘米的圆，若底边BC8厘米，则ABC的面积是（ ）10、若等边三角形的边长为4厘米，则它的外接圆的面积为 （ ）三、计算题11、在ABC中，已知BC的长为24，外心到BC的距离为5，求外接圆的半径。12、如图所示，等腰三角形ABC内接于半径为5的圆中，ABAC，（1）求BC的长。