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小学数学部分知识讲座 第一讲 小学数学技能小学数学新课程标准确定了小学数学课程“知识与技能”、“过程与方法”、“情感、态度与价值观”三位一体的课程功能。“数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。”（新课标）正确的知识必须和技能，即运用知识的技巧结合起来。（第斯多惠）德数学技能的获得必须依靠数学知识和数学能力为基础；数学技能的获得必须依靠练习。适当多练是培养技能的有效方法，但练习不等于机械重复。基础知识天天练，重要知识经常练，难点知识分散练，易混知识对比练，易错知识反复练。讲必练，练必改，改必评，评必练。练技能、练巩固、练提高。数学技能一 阅读技能1、 单一性朗读。即一字一句的读。低年级学生刚开始表现为一字一顿地读，或用手指着字读，跟着老师或模仿老师的读法来读。因为低年级儿童识字不多，有的字儿童不认识，有的字容易混淆，所以，低年级数学课不仅要教数学知识，还要帮助儿童扫除文字上的障碍。2、 数式性朗读。比如：16+（ ）=39，可读成：16加多少等于39；16和哪一个数的和是39；比16多几的数是39；比几多16的数是39；加数是16和是39，另一个加数是多少？a(b+c)=ab+ac可以读成：两个数的和与一个数相乘，等于把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，这叫做乘法分配律。3、 精读。比如：当读“分子比分母小的分数叫真分数。”就应当思考：是否还有“分子比分母大（相等）的分数”吗？它们又叫什么分数呢？“扩大10倍”不是“扩大至10倍”；甲、乙、丙三个数两两互质，其中的“两两”是指每两个数都互质。4、表达技能。说数、说式子、说方法、说思路、说做法。说出来的是自己所想到的，想不到的肯定说不出。举例子，说过程，正反说（6能被3整除，3能整除6），比较说，边看边说，边做边说，边想边说，讨论说，辩论说，想想再说，。语速适当，吐字清楚，思路清晰，有逻辑性，用数学语言，用准确的数学语言。不打断别人的说话，不人身攻击，不意气用事，不强词夺理，不察言观色，不带口头禅。认真听别人发言，听懂别人的话，不随意打断别人的话，争论时不情绪化，错了敢于承认错误，不固执，不强辩，无攻击性的言辞；说话时表达要清楚明白，有条理、有内容，声音要宏亮，并且简明扼要。杜绝讨论似吵架，评价如评理的现象发生。数学技能二 识别技能1、识数：学习数学的基础是“识数”，不识数肯定学不好数学。如果仅能读写而不理解数字和数的意义，或虽能理解意义但不能读写数字和数，都不能说已经识数了。能正确理解电视、报刊上的数字吗？有大小多少的概念吗？知道“基数、序数”吗？还要了解它属于哪一类性质的数：整数、自然数、奇数、偶数、零、质数、合数、约数、倍数、公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数、可约数、互质数、分数、真分数、假分数、带分数、最简分数、小数、有限小数、无限小数、纯小数、带小数、循环小数、纯循环小数、混循环小数、近似数等。运算中的：加数、被减数、减数、乘数或因数、被除数、除数、余数、分数值、比值等。认识计算工具上的数。直尺、三角板、圆规、计算器、量杯、商品标价、时刻表等。2、识文。“把两个数合并成一个数的运算叫做加法。”“合并”是什么意思？数学中的“逆运算”、“检验”“整除与除尽”等。不理解其意学不好数学。比如：1806=30的文字表述就非常丰富。把180平均分成6份，每份是30；180包含30个6；180是6的30倍；180个同学平均分成6个班，每班有30人；每6个同学编成一组，180个学生可以编成30个小组。还有一些数学术语：“增加、减少、增加了、增加到”，“比多、比少”等。3、 识符。符号化是数学的一大特点，也是一个优点。数符号是国际通用语，不需要翻译。代表数的：0、1、2、3、4、阿拉伯数字；a、b、c、d小写字母代表已知数；x、y、z代表未知数；代表圆周率。代表运算的：+、-、，比号“：”，分数线，等等。代表运算顺序的：（ ）， ，等。代表关系的：=、，等。代表形状的：、，等。符号的识记需要不断体验和积累。比如，一看到0.25就想到了14就想到了25%。4、 识图数和图是小学数学的两大基本内容，数可以用图来表示，图也可以用数来计算。这叫做数形结合。当今时代也叫读图时代。识别常用图形：点、线、射线、直线、角、垂线、平行线，三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、四边形、梯形、平等四边形、长方形、正方形、圆形、扇形、棱柱、长方体、正方体、圆柱、球等。识别实物图形：课本的封面是长方形、三角板的一个角是直角、车轮是圆形、整块是长方体、硬币的面是圆形，而它整个又是圆柱体等。数学技能三记忆技能没有记忆就没有学习，记忆技能不是天生的，是先靠后天训练才能培养出来的。小学数学，要记住符号、法则、性质和公式等，才能计算与解题。1、 图记记形象的东西比记抽象的记号，效率要高几十倍。用具体形象或图示帮助记忆：比如幼儿学阿拉伯数字时：1像小棒，2像鸭子，3像耳朵，4像小旗，5像秤钩，6像哨子，7像镰刀，8像葫芦，9像姑娘的辫子，0像鸭蛋。圆面积公式的推导方法（图1）利用此图还能记忆各图形面积公式的推导过程。利用数量关系图帮助记忆和理解：（图2）（a）求两个数相差多少。(b)求比一个数多几的数。(c)求比一个数少几的数。2、诀记数学口诀是表达数学法则、性质简练顺口的语言，易读易记，对学习很有帮助。“九九乘法口诀表”是我国宝贵的文化遗产。正确理解数学口诀。“三七二十一”的意思是三与七的乘积是二十一。“四舍五入”的意思是不满5的统统舍去，大于或等于5的要进一，等。熟悉使用数学口诀。记和用要结合，不能只记不用，或记口诀与计算两分离。比如，加法法则口诀是“数位对齐，个位加起，满十进一”，小数乘法口诀是“小数当作整数乘，因数小数共几位，乘积小数要记录，缺零补零须弄懂。”这些都是练和记结合起来才有效。学会编制数学口诀。事实上，小学数学中的数学法则、公式基本上都可编成口诀，当然要编得好并不容易。比如，十一的减法“十一减二等于九，十一减三等于八，十一减四等于七，”当然，口诀只是帮助记忆，而不能代替学习过程和理解。3、诵记用有声或无声的背诵方法来记忆知识叫诵记，它是一种用的最多也最有效的记忆方法。短句记忆。有些数学知识只有一两句，比如“10个一是一十，10个十是一百，10个百是一千，10个千是一万。”“乘法中，0和任何数相乘都得0；除法中，0不能作除数，0除以任何数，都得0”。都应反复诵记，滚瓜烂熟。长句短记。对于高年级的学生，一些数学结论、公式较长，可以分成句子或作小段的方法来诵记，但一定要整体把握，切不可“不识庐山真面目”。理解性诵记。感觉了的东西往往并不能理解它，理解了的东西才能更深刻地感觉它，才能比较容易地记住它。我听见了,我忘记了;我看见了,我记住了;我做过了,我理解了!比如圆面积公式，分数的基本性质：(图3)录记。录记对学习非常重要，一个人若从小养成随时记录的好习惯，将受益一生。“眼过十遍，不如手抄一遍。”低年级学生由于识字不多，可对于重要的内容用笔勾划，或用符号标出等方法。中年级的学生可在书页空白处，记下有价值的材料，如批注、口诀、解题方法，趣味数学等。高年级的学生可以备一笔记本，除了记录上述内容外，还有错题记录，学习心得等。这样做，一可以帮助记忆，二可以养成习惯，三可以加深理解，四可以练字，五可以促进学习。数学技能四思考技能用大脑寻找事物的本质或规律的过程叫思考。掌握思考技能，对学生学好数学有决定性意义。思考要尽量避免盲目与呆板，肤浅与狭隘。一个人从小到大，思维一般要经过三个阶段：直觉动作思维阶段，具体形象思维阶段，抽象逻辑思维阶段。小学生正处在从具体形象思维为主要形式向抽象逻辑思维为主要形式过渡阶段。但数学有高度的抽象性和严密的逻辑性，所以必要依靠形象作中介（桥梁），也就是实物教具、学具等。思考技能包括：比较、联想、分析、综合、抽象、概括、梳理、分类、判断、推理等。1、 比较比较是一种确定事物相同和差别的思维形式（比较的目的就是发现异同）。由于数学知识具有严密的逻辑性和系统性，因此，新、旧知识之间联系往往是十分密切的，旧知识是新知识的基础，新知识是旧知识的自然延伸和发展，新旧知识之间即有相同的地方，又有不同的地方，只要把这些地方比较清楚了，就能了解各部分知识之间的联系及其特征，才能记得牢，理解得深，形成新的牢固的知识结构。（建构学习理论）什么是新知识？用乔永洁的话说就是：新知识向前走了一小步或把旧知识进行综合。分清新旧知识，分清知识的组合情况，才能学会数学知识。培养比较技能可以从以下几方面着手：（1） 在观察中比较。没有观察就没有比较。观察是一种有意识的、有计划较持久的知觉活动。对所学习的事物，观察多了，才能有效比较，比较清楚了，知识才能很好掌握。例如教学“乘法的初步认识”，可先让学生对下面式子进行比较，分成两大类：222555553568844933333然后引导学生分析发现：每个式子的加数都相同。教学有余数的除法时，只有多观察一些有余数的除法算式，才能比较各个算式中除数与余数有大小，从而发现“余数都比除数小”这个结论。商不变的规律，分数的基本性质等的教学都是需要观察比较，引导学生发现知识，进而获取知识的。（2） 用同一标准进行比较。从不同标准的比较中学以新知，比如：用1角和9分钱比较，让学生明白必须先把单位统一（也就是标准同一）。比较同类事物才能比较，面积和重量就不能比较。（3） 方法比较。解法比较：应用题的一题多种解法：综合式与分步式，用方程解、算术式与比例解等。根据实际需要方法比较：求圆柱表面积时的有上下底面、无上下底面、只有一个面的算法比较。算法与验算（检验）的方法比较。解题方法简繁的比较。（4） 数形比较。数字5与实物5个东西比较。应用题列的算式与所画图形的比较。钟表上的刻度与实际时间的比较。图形的位置及大小比较。数与数之间的大小、多少的比较。2、 联想。联想是一种从一事物想起另一事物的思维形式。掌握联想的技能可以提高思维的效率，使思维更加广泛、灵活，甚至有所创造。（1） 旁近联想。看到数字6，就可以联想到：它的前面是5，后面是7，它可以分成1和5，2和4，；（高年级）它自然数，也是整数，它是合数，是偶数，。“甲班有45人，乙班有48人”就可以联想：两共有多少人？乙班比甲班多多少人？甲班比乙班少多少人？甲班人数是乙班的几分之几？甲乙两班人数的比是多少？由异分母分数加减法要先通分，联想到：为什么整数、小数加减法计算时一定要数位对齐。（2） 纵横联想。学习了同分母分数相加后，纵想：分母不同的怎么办？横想：同分母减法怎么算？能想到这些的学生思维品质肯定高一些。看到算式：7+8=15，可以想到在现实生活中，那些事情可发用这个算式表示？线段图怎么画？（3） 变形联想。3加6的和一定是9吗？只有3加6得9吗？甲班人数与乙班人数的比是4：5，那么，乙班人数与甲班人数的比呢？甲乙两班人数的和与甲班人数的比呢？根据“一辆汽车每小时行驶60千米，3小时行驶了180千米”可以编成几道题呢？联想能力差的学生，难于完成。3、 抽象与概括。智力的核心是思维，思维的基础是逻辑思维，抽象与概括又是逻辑思维的基础。抽象：从现象中发现事物的本质属性。符号“+”就是“合并”的本质属性。分数的基本性质“分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变”它剔除了哪些偶然属性呢？概括：把一种本质属性正确推广应用到另外事物上的思维形式。分数的基本性质与除法商不变规律与比的基本性质相通，因为它们本质上是一样的，可以互化。但整小数加减法的“数位对齐”就不能应用到整小数乘法上，因为它们本质上不同。（1） 对具体事物的抽象与概括。所有的数字都是由具体的事物抽象来的，现实中有5个人，5张桌子，5元钱抽象出“5”这个数；而“5”这个数又概括了：5张纸，5吨，5辆车。园也是由很多园形东西抽象来的，反过来它又概括了“园形”的这类东西。（2） 对式子、运算、事物性质的抽象与概括。由汽车每小时行驶80千米，飞机每小时飞行800千米，人步行每小时5千米抽象出“速度”，进而“速度”用字母“V”来表示。由3+7=7+3，08+8=8+08，抽象出“加法交换律”，进而抽象出“a+b=b+a”.（3） 对事物关系的抽象与概括（数量关系式）。单价数量=总价，速度时间=距离。大园、小园、各种颜色的园通过测量计算抽象出C=r,等等。反之，符合这些数量关系的量之间，都可以用这些公式或数量关系进行运算。4、 分析与综合。分析与综合是思维的基本形式之一，也是重要的逻辑方法。分析是把事物的整体分解为各个组成部分，综合是把各个组成部分联合成一个整体。没有分析就很难把握整体，没有综合就不能认识整体。（1） 对具体实物或图形的分析与综合。比如对数“5”的认识：摆小棒，感知“5”到底是多少；“5”的读音、写法；“5”与前面的“4”比较；“5”与“第5”的区别；举出一系列许多个用5来表示的事物例子在这些“分析”的基础上，整体认知“5”的意义。许多失败的数学课，都是因为引导学生“分析”不到位造成的。分析到位了，才能“水到渠成”。（2） 对文字、符号、法则、公式的分析与综合。不要小看这些，这是学生能否学好数学的基础。三角形的面积=底高，面积指的是什么？底的位置，高的位置，底与高的关系等都要分析清楚，并非只会套公式算题那么简单。（3） 组合运用的分析与综合。两步计算的应用题的关键是“求中间量”，为什么要求这个中间量，如何求这个中间量，都是要通过分析的。这比较两个数的大小，整小数是从哪比起的，而分数又是如何比的，各有各的分析思路，有分析思路才有解题思路。（4） 分析法与综合法。“执果索因”为分析法：要求圆柱的体积必要知道圆柱的底面积和高，要求底面积必要知道底面半径。“执因求果”为综合法：知道圆柱的侧面积和底面周长为什么可以求出圆柱的体积，这其实就是一个综合的思维过程。往往在解决问题时，是两法并用。5、 梳理与分类。梳理是把学生学到的数学知识加以条理化、次序化、逻辑化的一种思维形式。经常进行梳理，可以使学到的知识沟通联系，理清思路，分清主次，以简化繁，使知识结构清晰完善，这样不仅可以不断巩固与加深理解已学过的知识，而且还有助于发展智力、提高能力。一节课，一单元，一册书甚至整个小学学习的数学知识都应当进行梳理分类，哪个学生梳理分类清楚了，哪个学