不等式恒成立问题的基本类型及常用解法.doc

汤阴一中高三数学学习材料编写人：苗丽敏2011-9-4不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+b f(x) 0在x上恒成立 f(x) 0在x上恒成立.例1. 设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在-2,2上变化，y恒取正值，求实数x的取值范围。解：设f(t)=y=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1， t-2,2问题转化为：f(t)0对t-2,2恒成立 0x或x8。故实数x的取值范围是（0，）（8，+）。例2. 对于 -1a1,求使不等式()()恒成立的x的取值范围。解：原不等式等价于x2+ax0在a-1,1上恒成立,则须满足x2或x0故实数的取值范围是(-,0)(2,+).类型2：设f(x)=ax2+bx+c (a0) f(x) 0在xR上恒成立a0且0;f(x) 0在xR上恒成立a0且0.说明：.只适用于一元二次不等式.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式1对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。解：由4x2+6x+3=(2x+)2+0,对一切实数x恒成立，从而，原不等式等价于2x2+2mx+m4x2+6x+3, (xR)即：2x2+(6-2m)x+(3-m)0对一切实数x恒成立。则 =（6-2m）2-8(3-m)0 解得：1m3 故实数m的取值范围是（1，3）。类型3：设f(x)=ax2+bx+c (a0)（1） 当a0时 f(x) 0在x上恒成立或或或0或. f(x) 0在x上恒成立.（2） 当a0时 f(x) 0在x上恒成立 f(x) 0在x上恒成立或或或0或.说明：只适用于一元二次不等式.类型4：af(x) 恒成立对xD恒成立af(x)， af(x)对xD恒成立 af(x).说明：. f(x) 可以是任意函数 .这种思路是：首先是-分离变量，其次用-极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。例4.（2000.上海）已知f(x)= 0在x上恒成立，求实数a的取值范围。分析1：当x时，f(x) 0恒成立，等价于x2+2x+a0恒成立,只需求出g(x)= x2+2x+a在上的最小值，使最小值大于0即可求出实数a的取值范围。解法1： f(x)= 0对 x恒成立 x2+2x+a0对 x恒成立。设g(x)= x2+2x+a x问题转化为：g(x) 0g(x)= x2+2x+a=(x+1)2+a-1, xg(x)在上是增函数。g(x)=g(1)=3+a 3+a0 a-3即所求实数a的取值范围为a-3。分析2 ：分离变量，转化为af(x)或af(x)恒成立问题，然后利用极端值原理：af(x) 恒成立af(x)af(x) 恒成立 af(x).解法2： f(x)= 0对 x恒成立 x2+2x+a0 对x恒成立。 a-（x2+2x）对x恒成立。设(x)= -（x2+2x） x问题转化为：a(x) (x)= -（x2+2x）=-(x+1)2+1 x(x)在上是减函数。 (x)= (1)=-3 a-3即所求实数a的取值范围为a-3。例5.已知x时,不等式1+2x+(a-a2).4x0恒成立，求实数a的取值范围。分析：要求a的取值范围，如何构造关于a的不等式是关键，利用分离变量的方法可达到目的。解：设2x=t, x,t 原不等式可化为：a-a2. 要使上式对t 恒成立，只需：a-a2（）. t =-()2+由 （）=-a-a2-即：4a2-4a-30从而 -a类型5：.f(x)g(x) 对任意xD恒成立 . f (x1)g(x2) 对任意x1、x2D恒成立例6 已知f(x)=-x3+ax,其中aR，g(x)=-x，且f(x)g(x)在x上恒成立，求实数a的取值范围。分析：有的同学把“f(x)g(x)在x上恒成立”转化为：“当x时，f(x) g（x）,”然后求出a的取值范围。这种方法对吗？1g(x)=-x+f(x)=-2x2我们先来看一个例子，如图，当 x0，1 时，f(x) =0， g（x）= - ，并不满足 f(x) g（x）显然这种转化方式是不对的。错在哪里呢？原因在于用分离变量方法得到的不等式一边是参数，另一边是x的函数关系式。而此题解法中的不等式，两边都是关于x的函数关系式，所以上面这种转化方式是错的。 正确的方法是先分离变量，再利用极端值原理。解：f(x)g(x)在x上恒成立 -x3+ax+x0 对x恒成立 ax2-x对x恒成立设h(x)= x2-x x问题转化为：ah(x) h/(x)=2x-=由h/(x)=0，得x=当x 时 h(x) 0，h(x)在递减。当x 时 h(x) 0，h(x)在 递减。 h(x) 在x= 时取最小值，h(x) = a例7.已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中kR（1） 若对任意的x-3,3,都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；（2） 若