一元函数微分学1.doc

第一篇 一元函数微分学第1章函 数1. 函数的概念 设有两个变量x 和 y，变量x的变域为 D，如果D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作 ， x自变量，y因变量，变域D为定义域，记为 ，y取值的集合称为函数的值域，记作 函数概念的两要素：定义域： 自变量x的变化范围（若函数是解析式子表示的，则使运算有意义的实自变量值的集合即为定义域） 对应关系： 给定x值，求y值的方法。典型例题1.1 下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的。 解：选项A中，前者，但 后者x可取1，即两者定义域不相同； 选项B中， 对应关系不同； 选项C中， 两者定义域不同； 选项D中， 对任意 。故应选D解题指导 给定的两个函数，当且仅当其定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数。强化训练1 下列各对函数中，（）中的两个函数相等。A. 与B. 与C. 与 D. 与强化训练2 下列各对函数中，（）中的两个函数相等。 A. 与 B. 与 C. 与 D.与强化训练3 下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的。 典型例题1.2 设 ，则=（ ） A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，说明表示运算：，因此再将代入，得=故应选D强化训练4 若函数，则()A-2 B-1 C-1.5 D1.5强化训练5 函数 则（ ）A. B. C. D. 强化训练6 若， 则 典型例题1.3 ，则 解法1 将代入原式有： 解法2 令则由题设有：,解题指导 函数的表示法只与定义域和对应关系有关，而与用什么字母表示无关，即 简称函数表示法的“无关特性”。这是由的表达式求解的表达式的有效方法。强化训练7 若，则f(x) = ( )。A. B. C. D. 强化训练8 若函数，则= ( ) 。 A. B. 2 C. 2 D. 2强化训练9 若函数，则2. 函数定义域的求法 函数的定义域使函数有意义的自变量取值范围。它是函数两要素之一。求定义域要注意以下几点： （1）分母不能为零。 （2）负数的偶次方根没有意义。 （3）零和负数无对数。 （4）由多项表达式的代数和构成的函数，其定义域为各表达式的定义域的交集。 （5）应用函数的定义域由实际问题确定（如产量是非负的）。记住下列简单函数的定义域典型例题1.4求函数的定义域。解： 这函数是两项之和，由第一项有： 由第二项有：， 取两者之交集即为所求之定义域：解题指导 求复杂函数的定义域，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。强化训练10 函数的定义域是强化训练11 函数的定义域是 .强化训练12 函数的定义域是 .典型例题1.5 若函数的定义域是0，2，则的定义域是( ) 。 A. B. C. D. 解：由 有 得的定义域为故应选C强化训练13 若函数的定义域是0，1，则的定义域是 强化训练14 若函数的定义域是(0，1，则的定义域是 强化训练15 若函数的定义域是0，1，则的定义域是 。3. 函数的奇偶性 设在定义域上对称于原点， 若：，则为偶函数，图形对称于y轴； 若：，则为奇函数，图形对称于原点。判断函数是奇函数，或是偶函数，可以用定义去判断；也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用如下的性质来判断： 奇函数奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数典型例题1.6 下列函数中，（）是偶函数 A B C D 解：根据奇函数的定义以及“奇函数奇函数是偶函数“的性质，可以验证选项A中和都是奇函数，故它们的乘积是偶函数因此选项A是正确其它的选项是错误的强化训练16 下列函数中的偶函数是（）(A) (B) (C) (D) 强化训练17 下列函数中的奇函数是（）(A) (B) (C) (D) 强化训练18下列函数中为奇函数的是（）A B C D典型例题1.7 设，试证是奇函数.证 因为 所以是奇函数.强化训练19 下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 强化训练20 下列函数中（）是偶函数. A. B. C. D. 强化训练21 设是偶函数，是奇函数，则下列必为奇函数的是（ ）4. 分段函数 了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。典型例题1.8 的定义域是 解 这是分段函数，其定义域应是两段函数定义域的并集，即为：强化训练22 设，则的定义域是 强化训练23 设,则的定义域是 强化训练24 设,则的定义域是 典型例题1.9 设 求：（1） （2） （3）解 （1） （2）， （3）， 强化训练25 若函数，则()成立 Af (-1) = f (0) Bf (0) = f (1) Cf (-1) = f (3) Df (-3) = f (3)强化训练26 若，则.强化训练27 设函数，则()成立 A= BC D=5. 应用：经济分析中常见的函数 了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。市场均衡价格需求函数：供给函数： 价格函数：，是需求函数或供给函数的另一形式。 收入函数：（收入=销量价格） 成本函数：，其中为固定成本。 称为平均成本。利润函数：使，即的点为保本点（盈亏平衡点）。典型例题1.10 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求： (1) 生产件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出件该种产品的总收入； (3) 若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？解（1） 生产件该种产品的总成本为 （元）； 平均成本为： （元/件） （2） 售出件该种产品的总收入为： （元） （3） 生产件该种产品的利润为： = =（元）强化训练28 已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 强化训练29 已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为强化训练30 某产品的成本函数为，那么该产品的平均成本函数 6. 综合杂例 复合函数：，中间变量的值域部分或全部包含于的定义域中。典型例题1.11 下列函数中，（ ）不是基本初等函数A B C D 解 因为是由，复合组成的，所以它不是基本初等函数正确答案：B强化训练31 函数的值域是.A. B. C. D. 强化训练32 下列结论中，（）是正确的 A基本初等函数都是单调函数 B偶函数的图形关于坐标原点对称 C奇函数的图形关于坐标原点对称 D周期函数都是有界函数强化训练33 若，则（ ）成立 。A. B. C. D. 典型例题1.12 将复合函数分解成简单函数。解 令，则； ，则所以，函数由简单函数复合而成。典型例题1.13 某厂产品日产量为1500吨，每吨定价为150元，销售量不超过1000吨的部分按原价出售，超过1000吨的部分按9折出售，若将销售总收入看作销售量的函数，试写出函数表达式.解 设销售量为吨，销售总收入为元，那么 销售量不超过1000吨的部分按每吨定价为150元出售，销售总收入为；超过1000吨的部分按9折出售，销售总收入为. 所以，销售总收入函数为：第1章 强化训练题解答1.D 2.A 3.C 4.A 5.A 6. 7.B 8.C 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.B 17.A 18.C 19.B 20.B 21.D 22. 23. 24. 25.D 26. 27.C 28. 29.3.6 30. 31.D 32.C 33.C笫2章 极限、导数与微分1.极限的概念 数列极限 函数极限 双边极限： 单边极限： 极限存在的充要条件： 典型例题2.1 若，则在点处( ) A有定义 B没有定义 C极限存在 D有定义，且极限存在解 函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关正确答案：C强化训练1 函数在x = 2点() A有定义 B.有极限 C没有极限 D既无定义又无极限典型例题2.2 设函数，求在处的左、右极限并讨论 在处是否有极限存在？分析 函数是个分段函数，且是函数的分段点，即，根据左右极限的定义和极限存在的充分必要条件判定。解 左极限；右极限因为函数在处的左右极限存在但不相等，所以在处极限不存在。强化训练2 设 则强化训练3 下列极限存在的是（）. A. B. C. D. 强化训练4 设则*2.无穷小量与无穷大量 定义 为无穷小量 为无穷大量 性质 无穷小量（0除外）的倒数为无穷大量。无穷大量的倒数为无穷小量。 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。有限个无穷小量的和、差、积均为无穷小量。典型例题2.3 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. B. C. D. 分析 根据无穷小量的定义进行判别。解 选项A中：因为 时，故 ，不是无穷小量； 选项B中：因为时，故是无穷小量； 选项C中：因为 时，故；但是时， ，故，因此当时不是无穷小量。 选项D中：因为，故当时，不是无穷小量。 因此正确的选项是B。强化训练5 当时，下列变量中（ ）是无穷大量 A. B. C. D. 强化训练6 当时，下列变量中的无穷小量是（）(A) (B) (C) (D) 强化训练7 当时，下列变量中的无穷小量是（）(A) (B) (C) (D) 强化训练8 当时，下列变量中的无穷小量是（）(A) (B) (C) (D) 典型例题2.4 极限 解 因为当时，是无穷小量，是有界变量故当时，仍然是无穷小量 所以 0 正确答案：0强化训练9 强化训练10 强化训练11 .3.极限的四则运算法则 极限的四则运算法则：若 则 典型例题2.5 计算极限 分析 对于分式求极限问题，首先要看分母的极限是否为0，若是，再看分子的极限是否为0，如果分子、分母的极限都为0，且分子分母都是的多项式，则利用分解因式的方法将函数变形，再用除法法则求极限。解 。可能出现的错误： 。解题指导 当分母的极限为0时，一定不能直接用极限的除法法则，必须对函数进行适当的变形，例如这道题目中的变形是分解因式，消去为零的因式。强化训练12 计算极限 强化训练13 计算极限 强化训练14 计算极限 典型例题2.6 计算极限 分析 此题也是当时，分母的极限为0，且分子的极限也为0，而且分子中含有无理根式，这样就不能用前一题的分解因式的方法求解。对于这类题目是采用根式有理化的方法，利用公式：，将分式的分子、分母同乘，即注意到，变形后的分式，当时，分母的极限不为0，于是可以用极限的除法法则求解。解 可能出现的错误：，因为分子、分母的极限都是0。强化训练15 计算极限 强化训练16 计算极限强化训练17 典型例题2.7 计算极限解 先通分，然后消去零因子，再四则运算法则进行计算即 = 强化训练18 计算极限 强化训练19 计算极限 强化训练20 计算极限 典型例题2.8 计算极限 解 当时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则，由教材中公式（2.2.4）可直接得到结果，即强化训练21计算极限强化训练22 计算极限强化训练23 计算极限4.两个重要极限两个重要极限的一般形式： 典型例题2.9 极限 解 利用第一个重要极限的扩展形式，有正确答案：2强化训练24 当时，下列变量是无穷小量的有（ ）A B C D强化训练25 已知，若为无穷小量，则的趋向必须是（）. A. B. C. D. 强化训练26 已知，当（ ）时，为无穷小量. A. B. C. D. 典型例题2.10 解 。解题指导可能出现的错误答案为0，原因是将视为第一个重要极限。的确，形式上很象第一个重要极限，但是，仔细注意一下，第一个重要极限是，它们的自变量的变化趋势不同，而是无穷小量乘以有界变量，故，强化训练27 强化训练28 极限等于 强化训练29 当时，下列变量中不是无穷小量的有()A B C D典型例题2.11 计算极限解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算即 = = 解题指导 当时分式的分子、分母的极限都为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化。强化训练30 计算极限强化训练31 求极限强化训练32 求极限典型例题2.12 计算极限：解 先将分子分解因式，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算即 =强化训练33 求极限强化训练34 求极限强化训练35 求极限强化训练36 求极限典型例题2.13 求极限分析 利用极限的加法法则，此极限为两个极限的和，且为无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，再利用第一个重要极限求解。解 解题指导可能出现的错误：将也视为第一个重要极限，于是。强化训练37 求极限 强化训练38 求极限 典型例题2.14 求极限 解 利用第二重要极限计算，即 。强化训练39强化训练40 下列极限计算正确的是（ ）A BC D强化训练41 下列极限计算正确的是（ ）A. B. C. D.典型例题2.15 求极限 分析 利用指数运算法则，其中可以利用第二个重要极限求解，但要进行适当的变形，使其成为第二个重要极限的扩展形式；而。解 。解题指导 可能出现的错误：（1）（没有记清第二个重要极限的扩展形式，它只在指数上乘2、除2,但忽视了底应为，所以必须在指数上同乘同除）。（2）错误计算的结果为11，所以。强化训练42 求极限 强化训练43 求极限 强化训练44 求极限 典型例题2.16 求极限 解 先进行恒等变形，在利用第2个重要极限。即 强化训练45 求极限强化训练46 求极限 强化训练47 设，则 5.函数的连续性和间断点 在连续：在处间断，是指出现下列三种情况之一： （1）在处无定义。 （2）在处极限不存在。 （3）在处有定义，且存在，但初等函数在其定义区间内都连续。典型例题2.17 函数的连续区间是（ ）A BC D分析 根据函数连续性的结论，“初等函数在其定义区间内都是连续的”进行判别。解 因为函数是初等函数，所以其定义区间就是连续区间。又函数的定义域为，所以B选项正确。强化训练48强化训练49 函数的连续区间是（ ）A. B. C. D. 典型例题2.18 求下列函数的间断点分析 函数的间断点即为不连续的点，在这样的点上，一定有。对于题中的函数在处有，且，所以是间断点。解 因为，所以是间断点。解题指导 可能发生的错误：因为在处没有定义，所以是间断点。错误在于函数在是有定义的， ，所以是间断点。错误在于没有指明极限值不等于函数值。强化训练50 函数的间断点是.强化训练51 强化训练52 典型例题2.19 当k 时，在处连续解 由连续函数的定义，函数在处连续的充分必要条件是 在题目中且即当1时，有，即在连续正确答案：强化训练53 已知，若在内连续，则 .强化训练54 函数 在x = 0处连续，则k = ()A-2 B-1 C1 D2 强化训练55 强化训练56 若在点处连续，则（ ）A B C D 典型例题2.20 当k 时，在处仅仅是左连续解 因为函数是左连续的，即 若 即当1时，在不仅是左连续，而且是连续的 所以，只有当时，在仅仅是左连续的正确答案：强化训练57 设，若在处连续，则_。强化训练58 当k 时，在处仅仅是右连续强化训练59 当（ ）时，在处连续 A0 B 1 C2 D 1强化训练60 设，若在处连续，则 6.导数的定义 导数定义：典型例题2.21 设，则（ ）A B C1 D4分析 极限式是在处导数的定义式，解 又因为，则，所以正确选项为D。解题指导 函数在某点处的导数一定是一个数值，而不是函数，所以不能选择A。强化训练61 设，则（ ）。 AB. C. D. 不存在强化训练62 设在处可导，且，则( )。 A.不存在B. C.0D. 任意强化训练63 则强化训练64 典型例题2.22 若，则（ ） A B0 C D分析 这个极限的表达式正是函数在x处导数的定义,且 是常数函数，常数函数是可导的，而且它的导数是0解由导数定义可得 = 0 所以，正确的选项是B强化训练65 设，则（）。 A不存在 B.C. D. 强化训练66 极限 A. 1 B. cosx0C. sinx0 D.不存在强化训练67 若函数，则= 7.导数的几何意义 的几何意义是表示曲线在处的切线斜率，其切线方程为：典型例题2.23 曲线在点（1，0）处的切线是（ ） A B C D 解 由导数的定义和它的几何意义可知， 是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ，即故正确的选项是A强化训练68 曲线在处切线的斜率是（ ）A. B. C. D.强化训练69 曲线在点处的切线斜率是.强化训练70 曲线y = sinx在点(0, 0)处的切线方程为（ ） A. y = x B. y = 2x C. y = x D. y = -x强化训练71 函数在处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 强化训练72 强化训练73 曲线在点（4, 2）处的切线方程是8.导数基本公式和导数的四则运算法则 求导公式（见教材P95），法则（见教材P96）典型例题2.24 设函数， 求解 因为 所以 解题指导 求导数时，要先观察函数，看看能否将函数化简，若能，应将函数化简后再求导数，简化计算过程强化训练74 设，求 强化训练75 已知，求典型例题2.25 求函数的导数：分析 利用导数基本公式。解 解题指导 可能发生的错误：，这是将等同于，而；或，原因是公式用错了。强化训练76 已知，则= . 强化训练77强化训练78 设，则 9.复合函数求导法则 复合函数求导数要注意下面两步： 分清函数的复合步骤，明确所有的中间变量； 依照法则依次对中间变量直至自变量求导，再把相应的导数乘起来典型例题2.26 （）。 A. B. C. D. 解 根据复合函数求导法则，得=故正确选项应是A。强化训练79 强化训练80 强化训练81 若可导，且，则下列不等式不正确的是( )。 A. B. C. D. 典型例题2.27 已知 求分析 函数的复合过程为，利用复合函数求导法则求导。解 解题指导可能出现的错误:函数的复合关系搞错，出现的情形。强化训练82 已知 求强化训练83 已知 求强化训练84 已知，求强化训练85 设，求y典型例题2.28 计算函数的导数分析 这是两个复合函数相乘构成的函数，在求导时，应先用导数的乘法法则，而后在分别用复合函数的求导法则和导数公式求导。解 解题指导 可能出现的错误：将函数乘积的导数错记为函数导数的乘积。即没有将看作复合函数，即。强化训练86 若，则=（ ）A. 2 B. 1 C. -1 D. -2强化训练87 设，求典型例题2.29 求函数的导数分析 利用导数的加法法则求导，且的复合过程为，的复合过程为，他们的导数分别为:。解 =。解题指导 可能出现的错误：分不清和的复合过程，造成求导的错误； =强化训练88 设，求 强化训练89 已知，求；强化训练90 设强化训练91 *10.隐函数求导的方法 典型例题2.30 设函数由方程确定，求 解 方程两边对自变量求导，视为中间变量，即 整理得 解题指导 依照隐函数求导法则，第一步：方程两边对自变量求导，视为中间变量；第二步：整理方程，解出。注意:在第一步完成时，可以得到一个关于的一次方程，第二步是解方程，是解方程求出的；在求导时，要清楚是的函数，在对的函数求导时，一定不要忘记对求导，又因为是的隐函数，所以，对导数只能写成。可能出现的错误：（）不会求；（）对的函数求导时，忘记对求导。强化训练9 由方程确定是的隐函数，求 强化训练9设函数由方程确定，求强化训练9 由方程确定是的隐函数，求. 强化训练9设函数由方程确定，求。强化训练9设方程确定函数，求。典型例题2.3设函数由方程确定，求 解 方程两边对x求导，得 当时，所以，强化训练9设 ，求强化训练9强化训练9设函数由方程确定，求 11.高阶导数 二阶导数：的一阶导数的导数为二阶导数 高阶导数：二阶及二阶以上的各阶导数统称为高阶导数。典型例题2.32 设 求 解 强化训练100 若，则（ ）.A0 B1 C 4 D-4 强化训练101 已知，则= .强化训练102 已知，则=（ ） A. B. C. D. 强化训练103 若，则（ ） A B C D强化训练104 设，则 12.微分的概念及运算法则 微分：由微分的定义知微分的计算可归为导数的计算。典型例题2.33 下列等式正确的是（ ）A. B. C. D. 解 由右向左，直接利用微分计算的公式计算： ， ， ， 正确答案：B强化训练105 下列等式中正确的是（） (A) (B) (C) (D) 强化训练106 下列等式正确的是（ ）A. B. C. D. 强化训练107 下列等式不成立的是（ ） A B C D. 强化训练108 下列等式中（）是正确的. A. B. C. D. 典型例题2.34 已知函数y = f(x)的微分dy = 2xdx, 则y=( )。 A.0 B.2x C.2 D.x2解 由于函数y = f(x)的微分为dy = 2xdx，即，于是y2。故正确的选项是C。强化训练109 设 则 强化训练110强化训练111设是可微函数，则（ ）A. B. C. D. 强化训练112 若，则=（）. A. B. C. D. 典型例题2.35 设 ，求解 利用导数除法法则 解题指导 运用导数的除法法则求函数的导数时一定要注意除法法则的构成，计算时要细心。强化训练113 强化训练114 设 y，求dy 强化训练115 已知y =，求dy 强化训练116 设，求强化训练117 设，求dy典型例题2.36 设， 求解 因为 且 强化训练118 设，求。 强化训练119 设，求强化训练120 设，求强化训练121 设，求强化训练122 设，求dy典型例题2.37 ，求。分析 依照隐函数求导法则，第一步：方程两边对自变量求导，视为中间变量；第二步：整理方程，解出，再由，求出。解 整理得 解题指导 可能出现的错误：不会求；对的函数求导时，忘记乘以对求导；忘记。强化训练123 由方程确定是的隐函数，求强化训练124 由方程 确定 y = f (x) ，求 dy强化训练125 由方程 确定 y = f (x) ，求 dy强化训练126 由方程确定是的隐函数，求 13.综合杂例 典型例题2.38 ，则。分析这个题目是求函数值的问题，解法应是将中的换之以，而。解 。可能出现的错误答案为:，或。强化训练127 设，则 强化训练128 设，则 强化训练129 若，则（ ）。A B C D典型例题2.39 需求量q对价格的函数为，则需求弹性为解 强化训练130 已知某商品需求函数为 ，则需求弹性值=（ ）。A. B. C. D. 强化训练131 已知需求函数为，其中p为价格，则需求弹性