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第三节 二重积分的计算(2)有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等. 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.内容分布图示 利用极坐标系计算二重积分 二重积分化为二次积分 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 平面薄片的重心 例11 平面薄片的转动惯量 例12 例13 平面薄片对质点的引力 例14 一般曲线坐标系中二重积分的计算 例15 例16 例17 内容小结 课堂练习 习题9-3 返回内容要点： 一、在极坐标系下二重积分的计算极坐标系下的面积微元 ，直角坐标与极坐标之间的转换关系为 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式 (3.1) 二、 二重积分的应用 平面薄片的重心 平面薄片的转动惯量 三、 在一般曲线坐标系中二重积分的计算 二重积分的一般换元分式.例题选讲： 在极坐标系下二重积分的计算例1（讲义例1）计算其中是由圆所围成的区域.例2 计算二重积分 其中是由所确定的圆域. 例3（讲义例2）计算, 其中积分区域是由所确定的圆环域.例4（讲义例3）计算, 其中D是由曲线所围成的平面区域.例5（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域例6 计算, 其中为由圆 及直线 所围成的平面闭区域.例7 将二重积分化为极坐标形式的二次积分, 其中是曲线 及直线所围成上半平面的区域.例8（讲义例5）求曲线和所围成区域的面积.例9（讲义例6） 求球体被圆柱面 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图9-3-10）. 例10（讲义例7）计算概率积分 二重积分的应用例11 （讲义例8）求位于两圆和之间的均匀薄片的重心（图9-3-13）.例12（讲义例9）设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量），两直角边长分别为，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.例13 已知均匀矩形板(面密度为常数)的长和宽分别为和, 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.例14 求面密度为常量、半径为的均匀圆形薄片： 对位于轴上的点处的单位质点的引力 在一般曲线坐标系中二重积分的计算例15（讲义例10）求椭球体的体积.例16 计算 其中由轴、轴和直线所围成的闭区域.例17（讲义例11）求曲线所围平面图形的面积.注: 题中利用函数组与反函数组之间偏导数的关系式 来求避免了从原函数组直接解出反函数组的困难. 但在简单情况下，也可以直接解出来直接计算之.课堂练习1.计算其中.2. 设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密
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